精品解析：广东佛山市华南师范大学附属中学南海实验高级中学2025-2026学年第一学期高一第一次质量检测数学试题

华附南海实验高中 2025~2026学年第一学期高一年级第一次质量检测 数学试题 本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．若有选做题，请把答题卡上选做题 3．考试结束，将答题卡交回考务室 第I卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数是 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的是（　　） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“，使得”的否定是“” D. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列两个函数是相同函数的有（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 已知实数、，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2 8. 命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 的解集为 11. 若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（ ） A. 集合是“完美集” B. 有理数集Q是“完美集” C. 设集合A是“完美集”，，则 D. 设集合A是“完美集”，若，则 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知命题恒成立，则实数的取值范围为__________. 14. 已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________. 四、解答题：共77分． 15. 设全集为，集合，．求，，. 16. 求下列不等式的解集： （1）： （2）； （3）. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值 （3）解不等式 18. 已知函数． （1）求m的值； （2）用定义法证明：函数在上是减函数； （3）若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 19. 已知关于的二次函数. （1）若的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集. （3）已知有两个正实数根，，且满足，求的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华附南海实验高中 2025~2026学年第一学期高一年级第一次质量检测 数学试题 本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．若有选做题，请把答题卡上选做题 3．考试结束，将答题卡交回考务室 第I卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的并集定义即得. 【详解】因，，则. 故选：D. 2. 已知实数是 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】由，得，显然满足，即不能推出， 所以是的必要而不充分条件. 故选：B 3. 下列说法正确的是（　　） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“，使得”的否定是“” D. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B：举出反例即可得；对C：借助特称命题的否定定义即可得；对D：解出不等式后利用必要不充分条件定义计算即可得. 【详解】对A：取无理数，则为有理数，故A错误； 对B：取，则，但， 故“”不是“”的充分条件， 取，，则，但， 故“”不是“”的必要条件， 故“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对C：命题“，使得”的否定是“”，故C错误； 对D：若，则，则且不能同时取等， 解得，故实数的取值范围是，故D正确. 故选：D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 5. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断即可. 【详解】为上的减函数；，在上单调递减； 为上的增函数，符合题意；在上单调递减； 故选：C 6. 下列两个函数是相同函数的有（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故B错误； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：D． 7. 已知实数、，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用“1”的代换化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 故选：A 8. 命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据原命题为假命题推出其否定命题为真命题，从而得出与的关系，构造函数并求出最小值，进而得出的取值范围． 【详解】命题“，有解”是假命题， 其否命题“，”是真命题， 在上恒成立，即小于的最小值， 令，则开口向上，对称轴为， ，故在内的最小值为， ． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用不等式的同向可加性即可判断；B选项举反例可判断；C选项利用反比例函数的单调性可判断；D选项利用作差法比较大小即可. 【详解】对于A选项，由可得，又，则有，故A正确； 对于B选项，因为，，若，，，， 此时，，所以，故B错误； 对于C选项，因为在上单调递减，又，所以，故C正确； 对于D选项，由，则，即， ，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB：直接代入运算即可判断；对于CD：分和两种情况，结合题意解方程或不等式即可判断. 【详解】因为， 对于选项AB：，，故A正确，B错误； 对于选项C：当时，，解得； 当时，，解得； 所以的解集为，故C错误； 对于选项D：当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的解集为，故D正确； 故选：AD. 11. 若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（ ） A. 集合是“完美集” B. 有理数集Q是“完美集” C. 设集合A是“完美集”，，则 D. 设集合A是“完美集”，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，有理数集Q满足两个条件，B正确；C选项，得到，所以，C正确；D选项，若中有0或1时，显然，当均不为0，1时，得到，推出，，同理可知，，，，故，所以，，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，有理数集Q满足（1），，（2）若，则， 且时，，故有理数集Q是“完美集”，B正确； C选项，集合A是“完美集”，，，则， 所以，C正确； D选项，集合A是“完美集”， ，，任取， 若中有0或1时，显然， 当均不为0，1时，则，显然， 所以，则， 由C可知，，同理可知， 由C可知，， 从可得，所以， 故，所以， ，则，D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】使用换元法即可求得的解析式. 【详解】令，则， 所以， 则. 13. 已知命题恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】由题意可知，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即. 故答案为： 14. 已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令，即可得到在上单调递减，则问题转化为即，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】解：因为函数定义域为，对任意的，都有， 即， 令，即，又因为，所以函数在上单调递减， 不等式可变为， 又因为，所以， 所以，即， 又因为函数在上单调递减，所以，解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：共77分． 15. 设全集为，集合，．求，，. 【答案】，, 【解析】 【分析】根据集合间运算的定义分别可得解. 【详解】由已知，， 则，， 或， 所以. 16. 求下列不等式的解集： （1）： （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）把二次项系数转化为正数再因式分解即可求解； （3）移项通分，然后转化为一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 或， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 ， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值 （3）解不等式 【答案】（1），最大值为4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． 【小问2详解】 ，，， 即. 【小问3详解】 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 18. 已知函数． （1）求m的值； （2）用定义法证明：函数在上是减函数； （3）若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； （3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为，将代入函数，可得， 解得． 【小问2详解】 设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． 【小问3详解】 在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 19. 已知关于的二次函数. （1）若的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集. （3）已知有两个正实数根，，且满足，求的最大值 【答案】（1），； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次方程根与系数的关系求解即得. （2）化简可得，再以为分界点讨论a的范围，求解不等式即可. （3）由韦达定理及判别式得到和，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由的解集为，得与1是方程的两个实根，且， 因此，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由，，则不等式化为：， 当时，不等式化为，无解；当时，，解得； 当时，，解得；当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由方程有两个不等的正实数根，得， 由，得，则，即， 由，得，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $