10.2.2 加减消元法（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版）

**基本信息** 以加减消元法为核心，构建“定义-步骤-策略-题型”四层体系，通过9类题型系统训练运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|含步骤策略|步骤五环节+四消元策略|从概念原理到操作规范| |基础应用|3类题型（典例+变式）|直接/变形加减消元|从简单到复杂情境| |综合应用|6类题型（典例+变式）|换元/整体代入/参数求解|从知识应用到创新迁移|

10.2.2 加减消元法 内容导航 知识点一 加减消元法 1 题型1 加减消元法的运用判断 2 题型2 直接用加减消元法解二元一次方程组 4 题型3 变形后用加减消元法解二元一次方程组 6 题型4 二元一次方程组的特殊解法 9 题型5 已知方程组解的关系求参数 13 题型6 方程组的错解复原问题 15 题型7 方程组的同解问题 18 题型8 二元一次方程组的实际应用 21 题型9 二元一次方程组的新定义问题 22 综合练习 25 知识点一 加减消元法 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.（加减消元法的依据是等式的基本性质.） 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 步骤 具体做法 目的 注意 变形 取绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （1）变形取最小公倍数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘. （2）选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单. （3）回代时选择系数较简单的方程. 代入 当未知数的系数相等时，将两个方程相减；当未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加 消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 回代 把求得的未知数的值代人方程组中某个较简单的方程 求出另一个未知数的值 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 加减消元法的四种策略 策略一：对于同一个未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于同一个未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元. 策略三：当二元一次方程组中同一个未知数的系数成倍数关系时，应适当变形后消去这个未知数。 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的同一个未知数作为“消元”的目标更简便， 【基础练习1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解方程组即可． 【解析】解： ， 得，解得， 将代入①，得，解得， 所以方程组的解是． 【基础练习2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了加减法二元一次方程组， 由，，消去x求出y,再代入求出方程组的解即可． 【解析】解：，得， ，得， ，得， 解得． 把代入方程①得， 解得， 因此，是原二元一次方程组的解． 题型1 加减消元法的运用判断 【典例】（2025七年级下·江苏·专题练习）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将①② B．要消去y，可以将①② C．要消去x，可以将①② D．要消去y，可以将①② 【答案】C 【分析】观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可． 【解析】解：要消去，可以将①②， 可得， 可得． 故A错误； 要消去，可以将①②，故B、D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键． 【变式练习1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程组时，下列四种方法中，最简便的是（   ） A．①变形，得 B．①-②，先消去 C．①-②，先消去 D．①+②，两方程相加 【答案】D 【分析】本题考察根据方程组中未知数系数的特点，分析哪种消元方法最简便，关键是观察系数的对称性，判断加减消元的便捷性． 【解析】解：A、用代入消元法，将①变形为,再代入②，计算时涉及分数运算，步骤繁琐，不符合题意； B、 消去，计算与的乘积，运算量大，步骤复杂，不符合题意； C、通过消去，同样涉及等复杂乘法运算，步骤繁琐，不符合题意； D、将①+②，得，即，化简为后续结合原方程消元更简便，符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组中未知数系数的对称性，灵活选择加减消元法，简化运算过程． 【变式练习2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列是关于方程组的两种解法： 方法一：由①②可消去． 方法二：由①②可消去． 下列判断正确的是（   ） A．方法一对，方法二不对 B．方法一不对，方法二对 C．方法一对，方法二也对 D．方法一不对，方法二也不对 【答案】A 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法， 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 根据加减消元法解二元一次方程组的方法分别判断题干中方法一和方法二，即可解答． 【解析】解：方法一：由①得，， ②得，， 故由①②可消去； 方法二：由①得，， ②得，， 由①②不可消去， 因此方法一对，方法二不对， 故选：A． 题型2 直接用加减消元法解二元一次方程组 【典例】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 根据加减消元法计算即可． 【解析】解：， 由，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解是． 【变式练习1】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 化简后用加减消元法求解即可． 【解析】解：将原方程组整理可得 由，得， ∴． 将代入①，得， ∴． 原方程组的解为． 【变式练习2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练计算是解答此题的关键． 整理后利用加减消元法求解可得； 【解析】解：原方程组可转化为， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 方法技巧：两个方程中，当同一个未知数的系数互为相反数时，两个方程相加消元；当同一个未知数的系数相同时，两个方程相减消元. 题型3 变形后用加减消元法解二元一次方程组 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）（2）利用加减消元法解方程组． 【解析】（1）解： ，得， 解得． 把代入①， 得， 解得， ∴原方程组的解为 （2）解： 由②，得．③ ，得， 解得． 把代入①， 得， ∴原方程组的解为． 【变式练习1】（25-26七年级下·全国·单元测试）方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用加减消元法求解方程组，消去一个变量后求解另一个变量，再代入求值． 【解析】解：方程组： 将 得： ： ∴ ∴ 将 代入： ∴ ∴ 故解为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法． 【变式练习2】（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程组 (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法进行运算即可． 【解析】（1）解：， 得： ， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为； （2）原方程组可变形为， 得：， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为． 方法技巧：(1)两个方程中，如果同一个未知数的系数成整数倍，可以在系数绝对值较小的方程两边同乘倍数，使之与另一个方程中同一未知数的系数的绝对值相等，再将两个方程相加或相减，即可消元。 (2)当两个方程中同一个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单（或相对较小）的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数，然后加减消元。 (3)若方程组比较复杂，应先化简整理， 易错警示：运用等式的性质进行方程变形时漏乘常数项 在用加减消元法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一未知数的系数变成相等或互为相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，这时容易忽略常数项，造成漏乘现象，出现错解。 题型4 二元一次方程组的特殊解法 【典例】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】 (1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【解析】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 【变式练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将方程组变形为，根据题意得出，从而求出方程组的解．观察方程组的结构特征得出是解题的关键． 【解析】解：∵方程组可化为， 又∵关于x，y的方程组的唯一解是， ∴， 解得：， 即关于，的方程组的解是． 故答案为：． 【变式练习2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可； （2）根据题干给定的方法求解即可； （3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可． 【解析】（1）解： 得：，所以③ ③得：④ 得：， 把代入③得：， 解得： 原方程组的解是：； （2）解：， 得：③ ③得：④ 得：，解得： 把代入③得：， 解得：， 原方程组的解是：； （3）解：猜测：， 当时，第一个方程：左边右边， 第二个方程：左边右边， 是原方程组的解． 规律总结：整体代入解二元一次方程组的步骤 第1步：找准“整体”，从已知方程组中找到可以作为整体的式子； 第2步：正确变形，求解整体，把方程组看作以选定的“整体”为未知数的二元一次方程组，并求解； 第3步：求原方程组的解，此时得到的解并不是原方程组的解，需根据选择的“整体”进一步求出原方程组中未知数的值。 题型5 已知方程组解的关系求参数 【典例】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】 (1)，； (2) 【分析】（1）先将方程变形为，再根据、为正整数的条件，确定的取值范围，进而得到对应的值． （2）可将与原方程组中的组成新的方程组，先求出、的值，再将、的值代入含的方程中，求解． 【解析】（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 【变式练习1】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】两方程相减得出，进而求出k的值． 【解析】解：， 得：， ∵x减去y的差等于5， ， 解得：． 【变式练习2】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】 (1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【解析】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 方法技巧：求二元一次方程组中字母的值的一般步骤 (1)把字母参数看成已知数并解方程组；(2)根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程；(3)解方程求得字母参数. 题型6 方程组的错解复原问题 【典例】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】 (1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【解析】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 【变式练习1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【解析】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【变式练习2】（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【解析】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 题型7 方程组的同解问题 【典例】（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】 (1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【解析】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 【变式练习1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【解析】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 【变式练习2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】 (1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【解析】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 方法技巧：利用同解方程组求字母参数的方法 当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参数的值. 题型8 二元一次方程组的实际应用 【典例】（25-26九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 【答案】1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克 【分析】设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得，解方程组即可； 【解析】解：设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得 解得 答：1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克． 【变式练习1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】有5人，物价为28钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【解析】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 【变式练习2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）小红去文具店购买文具，如果购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元． (1)请你帮小红算算钢笔和笔记本的单价各多少元？ (2)如果购买17支钢笔和20本笔记本需要多少钱？ 【答案】 (1)钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元 (2)341元 【分析】（1）设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元，列出方程组，解方程组即可； （2）根据钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元，列式计算即可． 【解析】（1）解：设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元； （2）解：（元）， 答：购买17支钢笔和20本笔记本需要341元． 题型9 二元一次方程组的新定义问题 【典例】（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】 (1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【解析】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 【变式练习1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【解析】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 【变式练习2】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】 (1)的值为； (2)的值为或． 【分析】（）先解方程与方程，然后根据“和方程”可得，进而问题可求解； （）设另一个方程的解为，由题意得，则或，然后解方程组即可． 【解析】（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为； （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 综合练习 一、选择题 1、（24-25七年级下·云南昆明·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】A 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【解析】解：， 要消去x，可以将或，故选项A正确，选项B错误； 要消去y，可以将，故选项C，D错误． 故选：A 2、（25-26七年级下·重庆·月考）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据y的系数互为相反数，可使用加减消元法消去y，求出x的值，再代入求y的值即可． 【解析】解： ∵ 可得， 解得． 把代入②得，， 解得， ∴原方程组的解为． 3、（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【解析】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 4、（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将求出x，y的值，再代入计算即可． 【解析】解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 5、（24-25七年级下·辽宁营口·期中）解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【解析】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 6、（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组解的定义，通过对已知方程组变形，对比待解方程组的对应项即可求出解． 【解析】解：∵ 方程组的解是， ∴ 将代入方程组得    ， 将方程组两边同时除以，整理得，对比待解方程组， 可得． 7、（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【解析】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 8、（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【解析】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 二、填空题 9、（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路：________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【解析】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 10、（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 【答案】 【分析】将两个方程相减可得，再根据可得答案． 【解析】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 11、（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【解析】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 12、（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【解析】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 13、（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知二元一次方程组的解是，则方程组的解是____． 【答案】 【分析】根据已知方程组的解得到，解方程组即可得到答案． 【解析】解：由已知方程组的解得到， 解得：． 14、（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【解析】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 三、解答题 15、（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解方程组： (1)； (2) 【答案】 (1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【解析】（1）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程的解为； （2）解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程的解为． 16、（25-26八年级上·安徽宿州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】 (1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解析】（1）解： ，得，解得 将代入①，得 则方程组的解为； （2）解：原方程可化为 ，得 将代入①，得 则方程组的解为． 17、（25-26七年级下·湖南长沙·月考）解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到；再利用小刚看错但解满足第一个方程的条件，将其解代入方程得到，联立两个关于的方程求出，最后代入算出结果为． 【解析】解：由题意得：是方程组的解， ∴， 解得：，， ∵小刚只看错了，解得， ∴是方程的解， ∴， ∴联立， 解得：， ∴． 18、（25-26七年级下·山东淄博·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 【答案】的值为，的值为． 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出方程组的解，再代入方程组，即可求出未知数的值． 【解析】解：根据题意得：方程组 ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴ 把代入方程组， 得， 解得： ∴的值为，的值为． 19、（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【解析】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 20、（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【答案】 (1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【解析】（1）解：， ，得， 解得； （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得； （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴． 21、（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【解析】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2.2 加减消元法 内容导航 知识点一 加减消元法 1 题型1 加减消元法的运用判断 2 题型2 直接用加减消元法解二元一次方程组 3 题型3 变形后用加减消元法解二元一次方程组 4 题型4 二元一次方程组的特殊解法 5 题型5 已知方程组解的关系求参数 7 题型6 方程组的错解复原问题 8 题型7 方程组的同解问题 9 题型8 二元一次方程组的实际应用 10 题型9 二元一次方程组的新定义问题 11 综合练习 12 知识点一 加减消元法 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.（加减消元法的依据是等式的基本性质.） 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 步骤 具体做法 目的 注意 变形 取绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （1）变形取最小公倍数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘. （2）选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单. （3）回代时选择系数较简单的方程. 代入 当未知数的系数相等时，将两个方程相减；当未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加 消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 回代 把求得的未知数的值代人方程组中某个较简单的方程 求出另一个未知数的值 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 加减消元法的四种策略 策略一：对于同一个未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于同一个未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元. 策略三：当二元一次方程组中同一个未知数的系数成倍数关系时，应适当变形后消去这个未知数。 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的同一个未知数作为“消元”的目标更简便， 【基础练习1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）解方程组： 【基础练习2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组：． 题型1 加减消元法的运用判断 【典例】（2025七年级下·江苏·专题练习）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将①② B．要消去y，可以将①② C．要消去x，可以将①② D．要消去y，可以将①② 【变式练习1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程组时，下列四种方法中，最简便的是（   ） A．①变形，得 B．①-②，先消去 C．①-②，先消去 D．①+②，两方程相加 【变式练习2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列是关于方程组的两种解法： 方法一：由①②可消去． 方法二：由①②可消去． 下列判断正确的是（   ） A．方法一对，方法二不对 B．方法一不对，方法二对 C．方法一对，方法二也对 D．方法一不对，方法二也不对 题型2 直接用加减消元法解二元一次方程组 【典例】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）解方程组：． 【变式练习1】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）解方程组： 【变式练习2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组：． 方法技巧：两个方程中，当同一个未知数的系数互为相反数时，两个方程相加消元；当同一个未知数的系数相同时，两个方程相减消元. 题型3 变形后用加减消元法解二元一次方程组 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【变式练习1】（25-26七年级下·全国·单元测试）方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程组 (1) (2) 方法技巧：(1)两个方程中，如果同一个未知数的系数成整数倍，可以在系数绝对值较小的方程两边同乘倍数，使之与另一个方程中同一未知数的系数的绝对值相等，再将两个方程相加或相减，即可消元。 (2)当两个方程中同一个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单（或相对较小）的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数，然后加减消元。 (3)若方程组比较复杂，应先化简整理， 易错警示：运用等式的性质进行方程变形时漏乘常数项 在用加减消元法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一未知数的系数变成相等或互为相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，这时容易忽略常数项，造成漏乘现象，出现错解。 题型4 二元一次方程组的特殊解法 【典例】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【变式练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于，的方程组的解是______． 【变式练习2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 规律总结：整体代入解二元一次方程组的步骤 第1步：找准“整体”，从已知方程组中找到可以作为整体的式子； 第2步：正确变形，求解整体，把方程组看作以选定的“整体”为未知数的二元一次方程组，并求解； 第3步：求原方程组的解，此时得到的解并不是原方程组的解，需根据选择的“整体”进一步求出原方程组中未知数的值。 题型5 已知方程组解的关系求参数 【典例】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【变式练习1】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式练习2】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 方法技巧：求二元一次方程组中字母的值的一般步骤 (1)把字母参数看成已知数并解方程组；(2)根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程；(3)解方程求得字母参数. 题型6 方程组的错解复原问题 【典例】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式练习1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式练习2】（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 题型7 方程组的同解问题 【典例】（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【变式练习1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 方法技巧：利用同解方程组求字母参数的方法 当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参数的值. 题型8 二元一次方程组的实际应用 【典例】（25-26九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 【变式练习1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【变式练习2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）小红去文具店购买文具，如果购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元． (1)请你帮小红算算钢笔和笔记本的单价各多少元？ (2)如果购买17支钢笔和20本笔记本需要多少钱？ 题型9 二元一次方程组的新定义问题 【典例】（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【变式练习1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【变式练习2】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 综合练习 一、选择题 1、（24-25七年级下·云南昆明·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 2、（25-26七年级下·重庆·月考）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3、（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4、（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5、（24-25七年级下·辽宁营口·期中）解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 6、（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 7、（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 8、（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 二、填空题 9、（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路：________________． 10、（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 11、（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 12、（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 13、（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知二元一次方程组的解是，则方程组的解是____． 14、（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 三、解答题 15、（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解方程组： (1)； (2) 16、（25-26八年级上·安徽宿州·期末）解方程组： (1)； (2)． 17、（25-26七年级下·湖南长沙·月考）解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 18、（25-26七年级下·山东淄博·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 19、（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 20、（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 21、（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $