精品解析：沈阳沈阳市大东区2025-2026学年下学期九年阶段学情诊断数学学科

2025-2026学年度（下）九年阶段学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A. 15，14 B. 14，15 C. 14，14 D. 15，15 6. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中， 、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 9. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 13. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则菱形的面积是______． 14. 如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若，则CG的长是________． 15. 已知 ，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接 ，则的度数为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算与化简： （1） （2） 17. 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 18. 为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A编程、B足球、C篮球、D陶艺．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． 增设的兴趣班人数条形统计图 增设的兴趣班人数占比扇形统计图 （1）求问卷调查的总人数； （2）计算扇形统计图中代表“C篮球”兴趣班的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1000名学生，估计最希望增设“D陶艺”兴趣班的学生人数． 19. 如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边 以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． （1）求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 20. 小亮和小颖两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A，B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A，B，C在同一水平面内），小亮同学在点A处测得为 ，小颖同学在点B处测得为，两人之间的距离AB为90米，求此河流的宽度．（参考数据：，，，，，．） 21. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接 ，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证： ； （2）若，，求的长． 22. 在中，，将绕点C旋转得到，点A对应点D落在边上，连接． （1）如图1，求证： ； （2）如图1，当，时，求的长； （3）如图2，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点H．求证： ； （4）如图2，当，时，直接写出的值． 23. 抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于C，D是抛物线顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点，且点M为线段的中点，求t的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为10，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）九年阶段学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定与 值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时， 是正整数；当原数的绝对值时， 是负整数． 【详解】解：． 故选：A 4. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选A． 5. 一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A. 15，14 B. 14，15 C. 14，14 D. 15，15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可． 【详解】解：平均数为：， 5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14， 故选：A． 6. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 7. 在 中， 、分别是 、的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， ∵D、E分别为 的中点， ∴是 的中位线， ∴． 故选：D． 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得：； 解不等式 ，得：， ∴不等式组的解集为： ； 故选C． 9. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 10. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（ ）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 13. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则菱形的面积是______． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，解题关键在于利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】解：∵菱形的两条对角线相交于点，， ∴菱形的面积是， 故答案为：30． 14. 如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若，则CG的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质计算和，发现 是等腰三角形，又因为是等腰直角三角形，得出的结论，最后根据求解即可． 【详解】解：设 与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得： ，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， 在 中，， 解得：， 即 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质和折叠的性质，灵活运用这些知识是解题的关键． 15. 已知 ，点 在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点 ．若分别以点 ， 为圆心，长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】等边三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 三角形内角和定理 根据作图得到对应边相等．先判定为等边三角形．分点 的不同位置计算的度数． 【详解】解：连接，，． 由作图可知：，． 是等边三角形 ． 在 中，， ． 分两种情况： ① 当点 在靠近点一侧时． ． ② 当点 在远离点一侧时． ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算与化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先计算有理数的乘法、二次根式的乘法以及零指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯 饮料元，每杯 饮料元，根据“小丽买了 ， 饮料各1杯，用了元；小明买了3杯 饮料和5杯 饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯 饮料元，每杯 饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯 饮料元，每杯 饮料8元． 18. 为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A编程、B足球、C篮球、D陶艺．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． 增设的兴趣班人数条形统计图 增设的兴趣班人数占比扇形统计图 （1）求问卷调查的总人数； （2）计算扇形统计图中代表“C篮球”兴趣班的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1000名学生，估计最希望增设“D陶艺”兴趣班的学生人数． 【答案】（1）100人 （2） （3）300 【解析】 【分析】（1）用A类人数除以A类人数占比即可求出总人数． （2）用360度乘以“C篮球”人数所占总人数的比例即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（人） 答：问卷调查的总人数为100人． 【小问2详解】 解： ． 答：代表“C篮球”兴趣班的扇形圆心角的度数为 ． 【小问3详解】 解：“D陶艺”兴趣班的学生人数为：（人） （人） 答：该校最希望增设“D陶艺”兴趣班的学生人数为300人． 19. 如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边 以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． （1）求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，展开的画面面积 就是的面积；当时， 矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积 ，再分别代入（1）中的关系式可得 的值，计算总时间，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，当 时，， 如图，当时，； 综上， （单位：关于点的运动时间 （单位：的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：， 当 时，， ， ∴， 当时，，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 20. 小亮和小颖两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A，B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A，B，C在同一水平面内），小亮同学在点A处测得为 ，小颖同学在点B处测得为，两人之间的距离AB为90米，求此河流的宽度．（参考数据：，，，，，．） 【答案】此河流的宽度为54米 【解析】 【分析】过点 作于点 ，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点 作于点 ， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得： ， ∴（米）， 答：此河流的宽度为54米． 21. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接 ，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证： ； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别切于点A，点B， 平分， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得 ，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，先解 ，然后证明 ，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点F，连接，由是直径得 ， ，分别切于点A，点B， C为的中点， ， ， 又，， ， ∴， ∴， ， ， ， 又 ， ∴ ， ． 22. 在 中，，将 绕点C旋转得到，点A对应点D落在边 上，连接． （1）如图1，求证： ； （2）如图1，当，时，求的长； （3）如图2，过点E作 的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点H．求证： ； （4）如图2，当，时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵将 绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边 上， ∴， ∴， ∴ ； （2） （3） 证明：设旋转角为α，则 ，， ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （4） 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明 ； （2）求出， ,过D作，则 ，即 ，在 中勾股定理求出，则，在 中勾股定理求出，根据 ，得出，即可求出； （3）设旋转角为α，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出 ， ，根据，得出 ， ， ，即可得 ，根据，得出 ，即可得 ，证明 ，得出，结合，得出 ； ②证明四边形 是平行四边形，得出，由（3）得，在中，勾股定理得出，则，，证明 ， ，则，求出，证出点C，D，B，E四点共圆，根据圆周角定理得出 ，证明，得出，设，，，，则，根据旋转可得则，联立①②求出x，y，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴ ， 过D作，如图， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得， 即， 解得：， （舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵ ， ∴， 即， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 即 ， 即 ， ∴ ，则 ， ∴， 即， ∴， 由（3）可得，，， ∴ ， ∴点C，D，B，E四点共圆， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 设，，，， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立①②可得，，， ∴． 23. 抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于C，D是抛物线顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点，且点M为线段的中点，求t的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为10，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线的解析式，然后利用二次函数的性质求对称轴即可； （2）设，，求得，由，求得，再代入函数解析式求出t的值即可； （3）先求出新函数的顶点坐标为，得到该段抛物线的最大纵坐标为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：； ； 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线解析式为， 对称轴为直线， 设，，则， ∵点，且为线段的中点， ∴，即， ∴， 解得， 将代入得； 【小问3详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴的最小值为， ∵直线，之间的距离为10，为定值， ∴该段抛物线的最大纵坐标为， 令 ，则， 整理得， 解得， ∴当，时，取得最大值， ， 答：的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $