精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一下学期下学期期中数学热身练习

高一年级下学期期中数学热身练习 I卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 角的终边过点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为角的终边过点，若， 则，解得， 又，所以， 所以. 3. 已知，若的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由再去除两者方向共线（相反）的情况即得. 【详解】由题意，解得， 又由，解得或， 所以的范围是. 4. 在平面直角坐标系中，角与角均以的正半轴为始边，它们的终边关于直线对称，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性得出，再结合诱导公式计算. 【详解】由题意，， 所以. 5. 已知向量满足，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即与的夹角为. 6. 如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的半径为，求出，从而得到劣弧的长，得到是负角，求出答案. 【详解】设的半径为，过作于点，则为边中点．    ∵，，， ∴边长， ∴劣弧的长． 又是负角， ． 7. 以下不满足的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式以及反三角函数的定义即可求解. 【详解】A，，故A满足； B，，不妨令，则， 则，故B满足； C，，故C满足； D，，故D不满足. 故选：D 8. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则， ，， 联立解得，或，，所以或. 当时，， 当时，， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 9. 已知为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解. 【详解】由，且， 解得：或， 又因为为第三象限角，所以，， 所以. 所以. 故选：B 10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置． 11. 已知函数，则的定义域为：___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数和二次根式的定义域要求，列出不等式组，分别求解对数真数大于0、二次根式被开方数非负对应的不等式，再结合正弦函数的周期性求解交集，即可得到函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，需满足： 解不等式，得. 由正弦函数的性质可知，. 解不等式，得，即. 当时，，两者无交集； 当时，，满足范围要求. 当时，，满足范围要求. 当时，，两者无交集. 综上可得，函数定义域为. 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，得 . 故答案为： 13. 函数，的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法将原函数转化为含未知量的函数，求解出函数的值域即为函数的值域. 【详解】令，则. ，，， ∴， 故函数，的值域为. 故答案为：. 14. 已知函数．下列命题： ①函数的图象关于原点对称； ②函数是周期函数； ③当时，函数取最大值； ④函数的图象与函数的图象没有公共点， 其中正确命题的序号是：______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】验证可判断①；由周期函数的组成可判断②；反例法，取特殊值后作商可判断③；根据正弦函数性质可知时，， 时，，然后构造函数后分和讨论可得④.. 【详解】函数的定义域为，，故函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，①正确； 为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误； ，， ，故③不正确； 如图： 设，， 由三角形面积，扇形面积为， 由扇形面积大于三角形的面积可得，当时，， 又当时，，所以时，. 由奇函数的性质可得时，.如图 令， 当时，，，，此时与无交点； 当时，，，，此时与无交点； 综上所述：与无交点，④正确. 15. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是：____________ ① ②图象关于对称 ③在上单调递减 ④若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①将点代入求出，由求出，由和，结合图像得到，结合，求出; ②由对称轴为，计算得解; ③由求出的范围，从而得到在范围内是减函数，在范围内是增函数，故③不正确; ④将图象上每个点的横坐标变为原来的倍求出函数，由得到的范围，求出时，，又的最大值为4，最小值为，结合图像得到，计算得解. 【详解】①因为，点在的图象上， 所以，所以，又因为，所以， 所以. 因为，所以，解得. 又因为点在轴左侧，所以，因此，所以. 因为函数最大值为，最小值为，结合，， 所以，可得周期， 所以，又因为，所以，故①正确. ②因为，所以对称轴满足， 所以，当时，对称轴为，故②正确. ③因为，所以，因为，所以， 所以正弦函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在上单调递减，在上单调递增，故③不正确. ④因为，将图象上每个点的横坐标变为原来的（）倍得到函数， 所以，. 因为，所以. 当时，即时，. 因为的最大值为，最小值为，所以，解得，故④正确. 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.设终边对应的角度为， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件根据同角关系求，利用诱导公式求，，再结合商的关系求结论； （2）利用诱导公式化简，利用齐次化处理方法结合（1）的结论求值. 【小问1详解】 角为锐角，， 则， 所以， ， . 【小问2详解】 . 17. 已知函数，直线与函数两个相邻交点之间的距离为； （1）求在上的单调递增区间： （2）设函数，分别在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，在该条件下，函数在区间上，恒成立，求的取值范围． 条件①：的最大值为； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：为偶函数． 【答案】（1）和 （2）条件①：不符合题意；条件②：；条件③： 【解析】 【分析】（1）利用周期求，再求正弦函数的单调递增区间即可； （2）选条件①，证明其不符合题意；选条件②，根据单调性求出，得到解析式再求其最小值即可；选条件③，根据是偶函数求出，得到解析式再求其最小值即可. 【小问1详解】 因为 所以的最小值为， 所以直线与函数两个相邻交点之间的距离等于的周期，故， 由周期公式，得，所以， 令 ， 解得 又，取得，取得， 所以 在上的单调递增区间为和； 【小问2详解】 由题意得：，， 选条件①：因为，其最大值为对任意均满足，函数不唯一，不符合题意， 选条件②：在上单调递增， 令，得递增区间为， 由在区间上单调递增，可得且 ，解得， 因此，满足题意； 当时，，，故， 若恒成立，则，即的取值范围为， 选条件③：因为为偶函数， 所以，解得， 又，所以，解得， 因此,当时，，， 故， 若恒成立，则，即的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集； （2）求得，因为对任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分类讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为，所以， 所以. 又因为对任意的，都有成立， 所以， ， 因为，所以， 设，可设， 则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 当时，在上单调递增， 所以，所以，解得，所以 当时，在上单调递减， 所以，所以，解得，故； 当时，， 故，解得，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，若总有成立，故. Ⅱ卷（共7道题，满分50分） 一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：C 20. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 21. 已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知直线，整理为，则直线恒过定点； 已知曲线，整理为，对称中心恰好为. 由于直线过双曲线中心，所以交点关于对称，即是中点. 根据向量中点性质，可知， 代入条件，得，即， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部. 则原点到圆心的距离为：， 从而. 二．填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22. 如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接的中位线，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法则表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】 如图所示：连接， 因为D，F分别为，的中点， 所以是的中位线，所以， 则， 所以，所以； 因为， 所以 . 故答案为：；. 23. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为 ，所以 ，故 ， 所以当 时，， 因为对于任意的 ， 恒成立， 所以 ，所以 ， 所以 ，即 的取值范围为 . 24. 已知函数在上有且仅有一个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合余弦函数图象以及复合函数单调性和零点存在性定理即可求解. 【详解】当时，设，， 故时，，而， 有且仅有一个零点， 令，易知在上单调递减， 而，，所以，． 当时，，无零点，不符合题意，舍去； 当，设，故， 所以，易知在上单调递减， 而，，所以，. 综上，． 故答案为： 三．解答题（本大题共1小题，共14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 25. 已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． （1）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （2）对任何具有性质的集合，证明：； （3）判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，， （2）证明见详解 （3），证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用“具有性质的集合”的定义，验证计算作答，直接写出集合和. （2）探讨具有性质的集合的元素个数，即可推理作答. （3）分和讨论，结合新定义求解判断. 【小问1详解】 因为，所以不具有性质； 因为，，，所以具有性质， ，. 【小问2详解】 因为对于任意的，总有， 所以，从而， 因为，，， 所以当时，和至多有一个成立， 否则，与题设矛盾， 所以集合中的元素个数最多为，即. 【小问3详解】 ，证明如下： ①设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； ②设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； 由①②可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级下学期期中数学热身练习 I卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 角的终边过点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角与角均以的正半轴为始边，它们的终边关于直线对称，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 7. 以下不满足的角是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置． 11. 已知函数，则的定义域为：___________ 12. 已知，则_______． 13. 函数，的值域为______． 14. 已知函数．下列命题： ①函数的图象关于原点对称； ②函数是周期函数； ③当时，函数取最大值； ④函数的图象与函数的图象没有公共点， 其中正确命题的序号是：______． 15. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是：____________ ① ②图象关于对称 ③在上单调递减 ④若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.设终边对应的角度为， （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数，直线与函数两个相邻交点之间的距离为； （1）求在上的单调递增区间： （2）设函数，分别在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，在该条件下，函数在区间上，恒成立，求的取值范围． 条件①：的最大值为； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：为偶函数． 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围. Ⅱ卷（共7道题，满分50分） 一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 20. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 21. 已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22. 如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______． 23. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为______． 24. 已知函数在上有且仅有一个零点，则的取值范围是______． 三．解答题（本大题共1小题，共14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 25. 已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． （1）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （2）对任何具有性质的集合，证明：； （3）判断和的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $