精品解析：湖北武汉市武珞路中学2025—2026学年八年级下学期期中素养调研数学试卷

2025—2026学年度八年级下学期期中素养调研 数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】需根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一判断选项是否正确． 【详解】解：选项A：根据二次根式乘法法则，当时，， ∵ ， ∴ 选项A计算正确． 选项B：∵ 与不是同类二次根式，不能合并， ∴ ，选项B计算错误． 选项C：∵ ， ∴ 选项C计算错误． 选项D：∵ ， ∴ 选项D计算错误． 综上，计算正确的是A． 3. 的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A、，，， ， 符合勾股定理的逆定理，则能判定是直角三角形； 选项B： ， ， ， ， ， 则能判定是直角三角形； 选项C：设，，， 由三角形内角和得 ， 解得， ，，， 三角形没有直角，不能判定是直角三角形； 选项D：，，， ， 符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形． 4. 已知是整数，则正整数n的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 5. 四边形的对角线，相交于点O，下列条件下能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，，符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，则能判定四边形是平行四边形； B选项：当，时，四边形可能是等腰梯形，无法判定是平行四边形，则不能判定四边形是平行四边形； C选项：，，对角线互相平分，符合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，则能判定四边形是平行四边形； D选项：， ， ， ， 四边形两组对边分别平行，符合平行四边形定义， 则能判定四边形是平行四边形． 6. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，，然后根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴． 7. 如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出，即．根据直角三角形斜边中线的性质可得出，从而可证．再根据，即得出，即，进而可求出，最后即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∵E是斜边的中点， ∴, ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 8. 如图，在中，，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，连接，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，在中利用角性质和勾股定理求出、的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， ， 以点A为圆心，长为半径作弧交于点D， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 9. 已知，则代数式的值为（ ） A. 14 B. 30 C. 35 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出​的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对  分母有理化， ∴ ∴ 原式． 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线分别交，于点，，若是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形性质可得，，，证明，则有，，根据题意可得，，，可得垂直平分，所以，，推出，通过等角对等边得，设，则，，勾股定理得：，即，求出即可． 【详解】解：∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 化简：_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：． 12. 一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 【答案】四 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和等于，可得这个多边形的内角和是，再根据n边形的内角和为，列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是四边形， 故答案为：四． 13. 已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 【答案】 8或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边长求第三边，需分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：当和都是直角边，为斜边时，根据勾股定理得 . 当为斜边，为直角边，为直角边时，根据勾股定理得 . 两种结果均满足三角形三边关系，故的值为或. 14. 如图，在中，点E在上，，平分，，则的面积是________． 【答案】 4 【解析】 【分析】先作，作，再根据平行四边形的性质得，进而得出，接下来根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质定理求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点F，过点A作，分别交于点G，H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得． ∵是的平分线，， ∴， ∴． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，与，分别交于点，，．下列四个结论：；；；．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，由正方形性质可得垂直平分，从而判断；由等边三角形，得，，然后通过三角形内角和定理即可判断；由四边形是正方形，则，，得，，通过勾股定理求出，再由即可判断；如图，过作于点，过作于点，则，又是等边三角形，则有，，，可得平分，通过角平分线性质可得，由勾股定理得，所以，然后通过线段的和与差即可判断． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分，，，， ∴，故正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，故错误； 如图，过作于点，过作于点，则， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确的是． 16. 如图，在等腰中，，，点D为边上一点，连接，作的垂直平分线与，分别交于点P，Q，CE平分交于点E，若，，则的长是________． 【答案】 2 【解析】 【分析】作，先根据直角三角形的性质求出，再说明，可得，进而得出，然后根据等腰三角形的性质求出，接下来根据线段垂直平分线的性质定理得出，可得，再说明是直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：过点E作，于点F， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． ∵， 根据勾股定理，得， 解得， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简各二次根式，再根据二次根式除法法则计算，合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 19. 如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O．利用平行四边形的性质得到，，则可得，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 【详解】略． 20. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边分别交于点M，N，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：设交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，且． 在和中，  ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． （2）60 【解析】 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，可得．因为是的垂直平分线，所以，，可证，得到．因为且，所以四边形是平行四边形．又因为，所以平行四边形是菱形． （2）因为且，所以，可利用勾股定理求出的长度．因为四边形是菱形，且，可结合平行四边形的面积与菱形的面积关系，或利用菱形面积公式来求解，先通过已知条件求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理： ． ∵，即，又， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴面积： ． 故四边形的面积为． 21. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，作平行四边形． （2）在图1中，点E是边与网格线的交点，在边上找一点F，使． （3）在图2中，点M是边与网格线的交点，在上画点N，使． （4）在图3中，点P是格点，在上画点Q，使最小． 【答案】（1） 四边形即为所求： （2） 即为所求： （3）如图所示： （4） 点即为所求： 【解析】 【分析】（1）因为平行四边形对边平行且相等，所以可通过平移线段或，找到点D的位置，使得平行且等于平行且等于． （2）因为平行四边形中平行且等于，所以可利用网格的等距性，根据的长度，在边上找到对应长度的线段，使． （3）因为平行四边形对边平行，所以可通过构造以为边的网格平行四边形，结合点M的位置，在上找到满足的点N． （4）因为两点之间线段最短，所以可作点P关于的对称点，连接该对称点与点B，与的交点即为点Q，使得最小． 【小问1详解】 画法：根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定， 长度为4个网格边长， 将点向右平移4个网格单位得到格点， 连接、， 【小问2详解】 画法：平行四边形的对角线交于中心点， 连接并延长，交于点， 依据：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 画法：同（1）作，延长交于格线E，连接，交于点N，则． 依据：由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问4详解】 画法：利用将军饮马最短路径模型，作点关于直线的对称点， 连接，交于点， 依据：∵， ∴， ∴； ∴与的交角为，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平分， ∴垂直平分， ∴， 因此， 根据“两点之间线段最短”，此时取得最小值． 22. 如图1，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）点E是四边形边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点B落在点F处． ①如图2，当点F恰好落在对角线上，求的长． ②如图3，当点E为线段的中点时，延长交于点G，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，，． ∵  ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 平行四边形对角线相等，则四边形是矩形． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，，由  ，得，得 ．可得四边形是矩形． （2）①先利用矩形性质和勾股定理求出的长度；由折叠性质可得， ；设，用x表示出和，在中，根据勾股定理建立方程求解的长．②先利用矩形性质和E是中点，得出；由折叠性质可得， ，进而得到；可通过证明三角形全等或相似，结合勾股定理求出相关线段长度，最终计算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① ∵ 矩形中 ， 由勾股定理得： ． 由折叠性质得：，，， ∴ ，． 设，则， 在 中由勾股定理：   解得 ​， 即 ．​ ② 以点B为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则 ， ∵E为中点， 则． 由折叠性质：，， 设 ， 则  展开 ∴， 代入，得， 解得（舍去），或， ∴ ， 由两点距离公式：  ， 即 ​​​． 23. 在菱形中，点M是边上一点，，，连接． （1）如图1，当时，则的度数为________． （2）如图2，，求的度数（含的代数式表示）． （3）如图3，，，，点P，Q分别是边上两个动点，且，连接，则的最小值为________（直接写答案） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1）（2）：延长到点E，使，连接，因为菱形中，所以可通过角的推导得到．可得，得，，得，得，由,即可得到的度数． 对于（3）：因为要找的最小值，所以可利用平移变换，将平移，使Q点与P点重合，转化为求两点之间线段最短的问题．先根据，结合（2）的结论确定点N的位置，再通过平移构造出对应线段，最后利用勾股定理计算最小值． 【小问1详解】 延长到点E，使，连接， 则， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 延长到点E，使，连接， 则， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴； 【小问3详解】 延长到点E，使， 在上取点G，使，连接， 过点N，G分别作于点F，于点I， 过点N作于点H， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点Q在上时， ， 此时取得最小值， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故最小值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，且m，n满足：． （1）直接写出点B的坐标为________． （2）如图1，点D在第二象限，，，，求线段的长度． （3）如图2，点E在边上，，F为y轴上一点，与相交于点G，且，求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3）或30 【解析】 【分析】对于（1）：因为二次根式有意义的条件是被开方数非负，所以可得且，由此确定的值，进而求出的值，得到点的坐标． 对于（2）设第二象限内，得，，化简得，解得​，得．得． 对于（3）：以为斜边构造等腰直角三角形，再构造全等三角形，点F在y轴正半轴或点F在y轴负半轴，分类讨论，求出直线的解析式，即可解决问题． 【小问1详解】 解：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）：， 解得， 代入， 得， 因此B点坐标为：； 【小问2详解】 解：由矩形性质得：，， 设第二象限内， 根据题意：，， 两式相减消去， 化简得， 解得​， 代入得​， 结合得． 由两点间距离公式：， ​因此长度为：． 【小问3详解】 解：设， 过点E作， 过点O作于点H， 过点H作轴于点I，交于点J， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点F在y轴正半轴上时， ， ，， ，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 当点F在y轴负半轴上时， ， ，， ，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 综上，的长度为或30． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级下学期期中素养调研 数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. ，， 4. 已知是整数，则正整数n的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 四边形的对角线，相交于点O，下列条件下能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，连接，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 已知，则代数式的值为（ ） A. 14 B. 30 C. 35 D. 48 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线分别交，于点，，若是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 化简：_______． 12. 一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 13. 已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 14. 如图，在中，点E在上，，平分，，则的面积是________． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，与，分别交于点，，．下列四个结论：；；；．其中正确的是______（填写序号）． 16. 如图，在等腰中，，，点D为边上一点，连接，作的垂直平分线与，分别交于点P，Q，CE平分交于点E，若，，则的长是________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 19. 如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边分别交于点M，N，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求四边形的面积． 21. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，作平行四边形． （2）在图1中，点E是边与网格线的交点，在边上找一点F，使． （3）在图2中，点M是边与网格线的交点，在上画点N，使． （4）在图3中，点P是格点，在上画点Q，使最小． 22. 如图1，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）点E是四边形边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点B落在点F处． ①如图2，当点F恰好落在对角线上，求的长． ②如图3，当点E为线段的中点时，延长交于点G，连接，求的长． 23. 在菱形中，点M是边上一点，，，连接． （1）如图1，当时，则的度数为________． （2）如图2，，求的度数（含的代数式表示）． （3）如图3，，，，点P，Q分别是边上两个动点，且，连接，则的最小值为________（直接写答案） 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，且m，n满足：． （1）直接写出点B的坐标为________． （2）如图1，点D在第二象限，，，，求线段的长度． （3）如图2，点E在边上，，F为y轴上一点，与相交于点G，且，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $