湖北省武汉市江汉区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

2024-2025学年八年级下学期期中数学试题 (考试时间:120分钟 试卷总分:150分) 第I卷(本卷满分100分) 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。 1．若二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，则等于　　 A． B． C． D． 4．下列各式中，计算结果为的是　　 A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的是　　 A．平行四边形对角线平分对角 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 6．下列条件中，不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 7．菱形中，若对角线，，则菱形的周长是　　 A．25 B．20 C．15 D．10 8．桐桐早晨从家出发去上学，先向正南方向走了，接着向正东方向走了到达学校，桐桐家到学校的距离为　　 A． B． C． D． 9．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这只铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是　　 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11．的值为 　 　． 12．比较大小： 　 　（填“”或“” ． 13．已知三角形的三边长分别是5，5，8，则这个三角形的面积是　 　． 14．面积为24的菱形的一条对角线长为6，则这个菱形的边长为 　 　． 15．如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为 　 　度． 16． 勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为 　 　． 三、解答题（共5小题，共52分） 17．计算： （1）； （2）． 18．如图，在中，，是对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，．求线段长． 19．如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、，联结． （1）如果，，求证：； （2）如果，平分，，求的长． 20．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求线段的长． 21．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上． （1）过点C画AB的平行线CD； （2）过点A画BC的垂线，垂足为G； （3）过点A画AB的垂线，交BC于点H； （4）线段 　 　的长度是点H到直线AB的距离． 第II卷(本卷满分50分) 四、填空题(共4小题，每小题4分，共16分) 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卷指定的位置. 22．已知，，则　 　． 23．已化简的和是同类二次根式，则　 　． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E为AD上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后，点A的对应点为A′，连接A′D，当△A′DE为直角三角形时，AE的长是 　 　． 24题图 25题图 25．如图，▱ABCD中，点E在边CD上，且BE＝BC，过点A分别作AP⊥BE交线段BE于点P，AQ⊥BC交线段CB延长线于点Q，连接AE．点F是线段BQ上的一点，且AF＝AE，∠BAP＝30°，AB＝10，FC的长是　 　． 五、解答题(共3小题，共34分) 下列各题需要再答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形. 26．在数学课堂上，刘老师定义了一个新概念如下：经过多边形某一边的中点，且平分该图形周长的直线叫这个多边形在该边上的“平衡线”，其中与多边形边的两个交点间的线段（含两个交点）叫做该边上的“平衡线段”，如图（1）E为四边形ABCD，BC边上的中点，且EF平分四边形ABCD周长，则称直线EF为四边形ABCD，BC边上平衡线，称线段EF为BC边上的平衡线段． （1）如图（2）△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12． ①直接写出△ABC，BC边上的平衡线段长为 　 　； ②求出△ABC中，AC边上的平衡线段的值． （2）如图（3）DE为△ABC中AB边上的“平衡线段”，AF⊥DE于G交BC于F，H为BC中点． 判断：DH与EH的数量关系，并证明. 27．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且∠EOF＝90°，连接EF． （1）如图1，若点E，F分别是AB，BC的中点，且AB＝16，AD＝12，则EF的长为 　 　； （2）如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，探究线段EF2，CF2，AE2的数量关系，并给出证明； （3）如图3，若点E在AB的延长线上，且AE＝AC，∠BCA＝60°，AC＝2，求线段EF2的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形OABC中，OA=16， OC=10， 若点D为射线CB上的一点，将△OCD沿OD折叠，点C落在平面内一点C′ 处（如图1）． （1）若点C' 落在线段OA上，D点的坐标为　 　； （2）若点D落在线段CB上，S△ABC′=50时，求△BC′C的面积． （3）当△ABC′ 是以AC′ 为腰的等腰三角形时，求点D的坐标． 参考答案与试题解析 第I卷(本卷满分100分) 一．选择题（共10小题） 1．若二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：二次根式有意义，，解得． 故选：． 2．下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 、是最简二次根式； 、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选：． 3．在平行四边形中，，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 四边形是平行四边形，， ，，， ，， ， 故选：． 4．下列各式中，计算结果为的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据二次根式的运算法则逐项分析判断如下： ．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项正确，符合题意； 故选：． 5．下列命题是真命题的是　　 A．平行四边形对角线平分对角 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【解答】解：、平行四边形对角线互相但不一定平分对角，故错误，是假命题； 、菱形的对角线垂直平分但不一定相等，故错误，是假命题； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确，是真命题； 、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题； 故选：． 6．下列条件中，不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．设，，，因为，，即，所以△是直角三角形，故选项不符合题意； ．设，，，因为，，即，所以△是直角三角形，故选项不符合题意； ．由，，可得，所以△是直角三角形，故选项不符合题意； ．因为，所以，，，所以△不是直角三角形，故选项符合题意． 故选：． 7．菱形中，若对角线，，则菱形的周长是　　 A．25 B．20 C．15 D．10 【解答】解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， ， 菱形的周长是：， 故选：． 8．桐桐早晨从家出发去上学，先向正南方向走了，接着向正东方向走了到达学校，桐桐家到学校的距离为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，根据勾股定理得，桐桐家到学校的距离， 故选：． 9．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这只铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部长度， 所以这只铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是． 故选：． 10．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是　　 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【解答】解：两组对边的长度分别相等， 四边形是平行四边形，故①正确， 向右扭动框架，的长度变大，故②错误， 平行四边形的底不变，高变小了，平行四边形的面积变小，故③错误， 平行四边形的四条边不变，四边形的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：． 二．填空题（共8小题） 11．的值为 　 　． 12．比较大小： 　　（填“”或“” ． 【解答】解：，，，； 故答案为：． 13．已知三角形的三边长分别是5，5，8，则这个三角形的面积是　 　． 【解答】解：如图，过作．垂足为．，． 由等腰三角形的性质可得：，， ，三角形的面积． 故答案为：12． 14．面积为24的菱形的一条对角线长为6，则这个菱形的边长为 　 　． 【解答】解：设菱形的另一条对角线长为， 由题意得，，，即菱形的另一条对角线长为8， 菱形的对角线互相垂直平分，菱形的边长， 故答案为：5． 15．如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为 　 　度． 【解答】解：，为对角线的中点，， ，， 在△中，， 同理可得到： ， ． 故答案为：34． 16．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为 　 　． 【解答】解：设直角三角形的斜边的长为，较长直角边的长为，较短直角边的长为， 在△中，由勾股定理得：，， ， ， 故答案为：12． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）； （2）． 18．如图，在中，，是对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，．求线段长． 【解答】（1）证明：连接交于， 四边形是平行四边形，，， ，， ，四边形是平行四边形； （2）解：①，，， 在中，， ，， ，． 19．如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、，联结． （1）如果，，求证：； （2）如果，平分，，求的长． 【解答】（1）证明：是的垂直平分线，， ， 在△中，，， ，； （2）解：是的垂直平分线，，， 平分，，， ，，， ． 20．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求线段的长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，．． 平分，．．． 同理：．．四边形是平行四边形． ，四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，，为等边三角形， ， ，， 过点作于，如图所示：，， ，， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/10 14:00:31；用户：18850063911；邮箱：18850063911；学 号：624第II卷(本卷满分50分) 5002222222222222222．已知，，则　 　． 【解答】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为：4． 23．已化简的和是同类二次根式，则　 　． 【解答】解：已化简的和是同类二次根式， 可得：，解得：，把，代入， 故答案为：． 24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后，点A的对应点为A′，连接A′D，当△A′DE为直角三角形时，AE的长是 　 　． 【解答】解：①如图1，当∠EA'D＝90°时，B，A'，D共线， 设AE＝EA'＝x， 在Rt△ABD中，BD13， ∵BA'＝BA＝5， ∴DA'＝13﹣5＝8， 在Rt△EA'D中，DE2＝EA'2+DA'2， ∴（12﹣x）2＝x2+82，∴x＝，∴AE＝； ②如图2中，当∠A'ED＝90°时，AE＝AB＝5． 综上所述，满足条件的AE的值为 或5． 故答案为： 或5． 25. 如图，▱ABCD中，点E在边CD上，且BE＝BC，过点A分别作AP⊥BE交线段BE于点P，AQ⊥BC交线段CB延长线于点Q，连接AE．点F是线段BQ上的一点，且AF＝AE，∠BAP＝30°，AB＝10，FC的长是　 　． 【解答】∵AQ⊥BC，AP⊥BE， ∴∠Q＝∠APB＝90°． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠ABQ＝∠C，∠ABP＝∠BEC， ∵BE＝BC，∴∠C＝∠BEC，∴∠ABQ＝∠ABP． 在△ABQ和△ABP中， ，∴△ABQ≌△ABP（AAS）， ∴AP＝AQ，BP＝BQ， 在Rt△AQF和△APE中， ，∴Rt△AQF≌△APE（HL）， ∴QF＝PE，∴FB＝BQ﹣QF＝BP﹣PE． ∵∠BAP＝30°，AB＝10，AP⊥BE，∴BPAB＝5， ∵BE＝BC，∴FC＝BF+BC＝BP﹣PE+BP+PE＝2BP＝10． 26. 在数学课堂上，刘老师定义了一个新概念如下：经过多边形某一边的中点，且平分该图形周长的直线叫这个多边形在该边上的“平衡线”，其中与多边形边的两个交点间的线段（含两个交点）叫做该边上的“平衡线段”，如图（1）E为四边形ABCD，BC边上的中点，且EF平分四边形ABCD周长，则称直线EF为四边形ABCD，BC边上平衡线，称线段EF为BC边上的平衡线段． （1）如图（2）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6． ①直接写出△ABC，BC边上的平衡线段长为 　 　； ②求出△ABC中，AC边上的平衡线段的值． （2）如图（3）DE为△ABC中AB边上的“平衡线段”，AF⊥DE于G交BC于F，H为BC中点．判断：DH与EH的数量关系，并证明； 【解答】解：（1）①如图，AM为△ABC中AC边上的“平衡线段”， ∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴MC＝3， ∴AM⊥BC， 在Rt△AMC中，AM2＝AC2﹣MC2，∴AM＝4， 故答案为：4； ②如图，DE为△ABC中AC边上的“平衡线段”，过点A作AM⊥BC于点M， ∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴MC＝3， 在Rt△AMC中，AM2＝AC2﹣MC2，∴AM＝4， 过点D作DN⊥BC于点N， ∴∠AMC＝∠DNC＝90°，∴AM∥DN， ∵D为AC中点， ∴，NC， ∵DE为△ABC中AC边上的“平衡线段”，∴EC＝， ∴EN＝﹣NC＝， 在Rt△END中，ED2＝EN2+DN2， 即ED2＝，∴ED＝； （2）DH＝EH，证明如下：设EH＝a，EC＝b， ∵H为BC中点，∴BC＝2HC＝2a+2b， ∵DE为△ABC中AB边上的“平衡线段”，∴AC+EC＝BE，∴AC＝BE﹣EC＝2a， ∵D为AB中点，H为BC中点，∴． 27．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且∠EOF＝90°，连接EF． （1）如图1，若点E，F分别是AB，BC的中点，且AB＝16，AD＝12，则EF的长为 　 　； （2）如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，探究线段EF2，CF2，AE2的数量关系，并给出证明； （3）如图3，若点E在AB的延长线上，且AE＝AC，∠BCA＝60°，AC＝2，求线段EF2的值． 【解答】解：（1）如图， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝16，AD＝12， ∴∠B＝90°，BC＝AD＝8， ∵O、E分别是AC、AB的中点， ∴EO∥BC，， ∴∠AEO＝∠B＝90°，∴∠OEB＝180°﹣∠AEO＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴四边形BEOF是矩形， ∴BF＝EO＝6，， ∴，∴EF的长是10； 故答案为：10； （2）EF2＝AE2+CF2，证明如下， 证明：如图，延长EO交DC的延长线于点G，连接FG， ∵矩形ABCD，∴AE∥CG， ∴∠CGO＝∠AEO，∠GCO＝∠EAO， ∵AO＝OC，∴△CGO≌△AEO， ∴EO＝OG，AE＝CG， ∵∠EOF＝90°，∴FO是线段EG的垂直平分线，∴EF＝FG， 在Rt△CFG中，FG2＝CG2+CF2， ∴EF2＝AE2+CF2； （3）如图，延长FO交DA的延长线于点N，连接EN， ∵∠ABC＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2， ∴AE＝AC＝2，BC=1， ∴，， ∵矩形ABCD，∴AN∥CF， ∴∠ANO＝∠CFO，∠NAO＝∠FCO， ∵AO＝OC，∴△ANO≌△CFO，∴NO＝OF，AN＝CF， ∵∠EOF＝90°，∴EO是线段FN的垂直平分线，∴EF＝EN， 设AN＝CF＝a，∴BF＝CF+BC＝a+1， 在Rt△BEF中，， 在Rt△AEN中，EN2＝AN2+AE2＝a2+22， ∴，解得， ∴． ∴线段EF2的值是． 28．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形OABC中，OA＝16，OC＝10，若点D为射线CB上的一点，将△OCD沿OD折叠，点C落在平面内一点C′处（如图1）． （1）若点C′落在线段OA上，求点D的坐标． （2）若点D落在线段CB上，S△ABC′=50时，求△BC′C的面积． （3）当△ABC′是以AC′为腰的等腰三角形时，求点D的坐标． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是长方形，OA＝16，OC＝10， ∴OB＝OA＝16，AB＝OC＝10，∠COA＝∠OAB＝∠B＝∠OCB＝90°，OA∥BC， 由折叠的性质得：OC＝OC′＝10，∠OCD＝∠OCD'＝90°， 当点C′落在线段OA上时，如图1所示： ∵∠COA＝∠OCD＝∠OCD'＝90°， ∴四边形OCDC′是矩形， 又∵OC＝OC′，∴矩形OCDC′是正方形，∴CD＝CD'＝10， ∴点D的坐标是（10，10）； （2）当点D在线段CB上时，过点C′作C′E⊥AB于点E，EC′的延长线交OC于点F，如图2所示： ∴∠AEF＝∠OAB＝∠COA＝90°， ∴四边形OAEF是矩形， ∴EF＝OA＝16，∠OFE＝90°，EF∥OA∥BC， ∵△ABC′的面积为50， ∴AB•C'E＝50，∴10×C'E＝50，∴C'E＝10，∴C'F＝EF﹣C'E＝16﹣10＝6， 在Rt△OC'F中，OC'＝10，C'F＝6，由勾股定理得：OF8， ∴CF＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，∴S△BC′CBC•CF16； （3）设点D的坐标为（a，10），则CD＝a， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2＝OC2+CD2＝102+a2， 当△ABC′是以AC′为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当D在线段CB上时，又有以下两种情况： （ⅰ）当AC'＝AB＝10时，过点C'作C'Q⊥OA于点Q，QC'的延长线交CB于点P，如图4所示： 则PQ＝OC＝10，OC'＝AC'＝10， ∴△OAC'是等腰三角形， ∴OQ＝AQ＝CP＝8， 在Rt△OC'Q中，由勾股定理得：C'Q6， ∴C'P＝PQ﹣C'Q＝10﹣6＝4，∴DP＝CP﹣CD＝8﹣a， 在Rt△DC'P中，由勾股定理得：C'D2＝DP2+C'P2＝（8﹣a）2+42， 在Rt△OC'D中，由勾股定理得：OD2＝C'D2+OC'2＝（8﹣a）2+42+102， ∴（8﹣a）2+42+102＝102+a2，解得：a＝5， ∴点D的坐标为（5，10）； （ⅱ）当AC'＝BC'时，过点C'作C'R⊥AB于点R，RC'的延长线交OC于点T，过点C'作C'Q⊥OA于点Q，QC'的延长线交CB于点P，如图5所示： ∴AR＝BR＝C'Q＝C'P＝5， 在Rt△OC'Q中，由勾股定理得： OQ， ∴CP＝OQ， ∴DP＝CP﹣CD， 在Rt△DC'P中，由勾股定理得：C'D2＝DP2+C'P2＝（）2+52， 在Rt△OC'D中，由勾股定理得：OD2＝C'D2+OC'2＝（）2+52+102， ∴（）2+52+102＝102+a2， 解得：，∴点D的坐标为； ②当点D在CB的延长线上时，此时点C'在长方形OABC的外部， 过点C'作C'N⊥y轴于点N，过点D作DM⊥C'N交NC'的延长线于点M，过点C'作C'K⊥OA于点K，如图6所示： ∴∠BAC'＝∠OAB+∠OAC'＝90°+∠OAC'， ∴△ABC'为钝角三角形， ∴当△ABC′是以AC′为腰的等腰三角形时，只有AC'＝AB＝10一种情况， ∴AC'＝OC'＝10，∴△OAC'是等腰三角形，∴OK＝AK＝8， 在△OC'K中，由勾股定理得：C'K6， ∴DM＝OC+C'K＝10+6＝16，C'M＝CD﹣OK＝a﹣8， 在Rt△C'MD中，由勾股定理得：C'D2＝CM2+DM2＝（a﹣8）2+162， 在Rt△OC'D中，由勾股定理得：OD2＝OC'2+C'D2＝102+（a﹣8）2+162， ∴102+（a﹣8）2+162＝102+a2，解得：a＝20，∴点D的坐标为（20，10）， 综上所述：当△ABC′是以AC′为腰的等腰三角形时，点D的坐标为（5，10）或 或（20，10）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$