精品解析：北京交通大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试卷

北京交通大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试卷 2026.04 考生须知 1.本题共6页，共三部分，20道题，满分120分．考试时间90分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号． 3.答穼一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角（正角）的弧度为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知向量满足，则的夹角（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图像，只需将的图像（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知，则__________. 12. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________. 13. 函数的定义域为__________. 14. 已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在无数个零点； ②区间是的单调区间； ③在上无最大值； ④若，则. 其中所有正确结论的序号为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值． 17. 已知函数 （1）用“五点法”画函数在一个周期内的图象，其中； （2）求的单调递减区间； （3）当时，求函数的最值及取得最值时的值. 18. 已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调. （1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式； 条件①：函数的图象经过点； 条件②：是的对称中心； 条件③：是的对称中心. （2）根据（1）中确定，若函数在上有唯一零点，求的取值范围. 19. 在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间呈周期性连续变化的变星，其“视星等”随时间的变化可近似地用函数来表示，其中为振幅，为光变周期，为平均“视星等”，为初相且.一个天文学团队于每晚20:00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为.下表为连续10次的记录数据： 观测时间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “视星等” 4.5 5.0 4.5 3.5 3.0 3.5 4.5 5.0 4.5 3.5 根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题： （1）求该造父变星的光变周期和平均“视星等”； （2）求时该造父变星的“视星等”； （3）已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由. 20. 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数. （1）分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①； ②. （2）若为阶梯函数，求的所有可能取值； （3）已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交通大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试卷 2026.04 考生须知 1.本题共6页，共三部分，20道题，满分120分．考试时间90分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号． 3.答穼一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】， 故选：B 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 3. 已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角（正角）的弧度为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】设扇形的弧长为，面积为，半径为，该扇形的圆心角（正角）为， 即， 由. 4. 已知向量满足，则的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 因为， 所以. 5. 为了得到函数的图像，只需将的图像（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位即可得解． 【详解】因为，所以只需将的图像上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图像． 故选：C 6. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分性：分与进行分析，必要性：根据得出或分析即可得出结论. 【详解】充分性：由 ， 当时， ， ， 所以若，当时，， 当时， ， 此时 ， 所以若，当时，， 故充分性成立； 必要性：由， 则， 或，方程无解， 故若，则， 所以必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的图象得出函数的解析式，再应用代入检验得出对称性判断①②，再根据单调性判断③，计算值域判断④. 【详解】由函数图象可知， ， 由图象可知，即 当时，，不关于点对称,①错误； 为，关于直线对称,②正确； 当时，单调递减，③正确； 当时，，，④错误. 故选：B. 9. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中，判断出A对，B错；由图像得，判断出C，D错误，即可得出答案． 【详解】对于A，函数， 因为，所以函数为奇函数， 又，故A正确； 对于B，函数， 因为，所以函数为奇函数， 又，故B错误； 对于C，函数， 因为，故C错误； 对于D，函数， ，故D错误， 故选：A． 10. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【详解】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则. 12. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标求出向量坐标，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， 则， 则. 13. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用同角三角函数关系化简结合三角函数值域得出，最后应用正弦函数值域得出定义域. 【详解】函数满足， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数定义域为. 14. 已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积； ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值． 【详解】函数，其中，是这两个函数图象的交点， 当时，． 所以函数的交点间的距离为一个周期，高为． 所以：． 如图所示： ①当时，面积的最小值为； ②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则， 解得的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在无数个零点； ②区间是的单调区间； ③在上无最大值； ④若，则. 其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】令，结合正弦型函数、分式性质确定零点个数，且易得，从而判断①④；由且在和处连续，区间上，即可判断是否为单调区间判断②，根据解析式分析得到且，恒有，再研究随的增大，、的值域情况判断是否存在最值及其对应区间判断③. 【详解】令，即且，则且，显然有无数个零点，①对， 由， 所以关于对称，则，④对， 由，显然在和处连续， 若在上单调，则为单调递减区间，又在区间上， 所以，区间只能是的单调减区间的一个子集， 而不能说区间是的单调区间，②错； 令，则或，若，有， 所以区间上存在最大值点，则且， 当且，恒有， 随的增大，对应区间中函数值递增并趋向于，且恒有， 所以在且上的最大值随的增大而变小， 当，即时对应最大值，即为在区间上的最大值，③错. 三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义和同角的平方关系计算即可求解； （2）根据诱导公式计算即可求解； （3）根据三角恒等变换的化简计算即可求解. 【小问1详解】 因为圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 所以． 所以． 【小问2详解】 原式． 【小问3详解】 由（1）知，，且为锐角， 所以，． 所以 ． 17. 已知函数 （1）用“五点法”画函数在一个周期内的图象，其中； （2）求的单调递减区间； （3）当时，求函数的最值及取得最值时的值. 【答案】（1） 0 0 1 0 0 （2） （3）函数的最大值为，此时；最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，列表、描点、连线，可作出函数在上的图象； （2）根据正弦型函数的单调性可求出函数的单调递减区间； （3）当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可得出的最大值和最小值及其对应的值. 【小问1详解】 因为，当时，， 令分别取，，，，， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 填表如下： 0 0 1 0 0 描点、连线，得图如下： 【小问2详解】 由正弦函数的性质可知，当时，函数单调递减， 所以，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 因为，所以， 令，则， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上，; 又当时，； 当时，； 所以，即， 所以当时，即当时，取得最大值; 当时，即当时，取得最小值. 所以当时，函数的最大值为，此时；最小值为，此时. 18. 已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调. （1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式； 条件①：函数的图象经过点； 条件②：是的对称中心； 条件③：是的对称中心. （2）根据（1）中确定，若函数在上有唯一零点，求的取值范围. 【答案】（1）选①或③都可得，不能选②； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解； （2）根据求得的取值范围，结合三角函数零点个数列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 因为在区间上单调，所以， 因为，且，解得； 又因为是函数的对称轴，所以； 选条件①：因为函数的图象经过点，所以， 因为，所以， 所以，，即， 当时，，满足题意，故. 选条件②：因为是的对称中心，所以， 所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意的函数解析式. 选条件③：因为是的对称中心，所以， 所以，，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得， 要使函数在上有唯一零点， 则，， 所以的取值范围是. 19. 在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间呈周期性连续变化的变星，其“视星等”随时间的变化可近似地用函数来表示，其中为振幅，为光变周期，为平均“视星等”，为初相且.一个天文学团队于每晚20:00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为.下表为连续10次的记录数据： 观测时间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “视星等” 4.5 5.0 4.5 3.5 3.0 3.5 4.5 5.0 4.5 3.5 根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题： （1）求该造父变星的光变周期和平均“视星等”； （2）求时该造父变星的“视星等”； （3）已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）合格 【解析】 【分析】（1）根据表中的记录数据可观察出“视星等”相等时重复规律以及“视星等”的最值，据此即可判断光变周期和平均“视星等”；（2）结合（1）和表中的记录数据求出“视星等”随时间的变化的函数，然后将代入即可求解；（3）结合的图象和方程的解，即可判断不等式符合题意. 【小问1详解】 依题意，该造父变星的光变周期； 因为“视星等”的最小值和最大值分别为3.0和5.0，所以平均“视星等”； 【小问2详解】 由（1）知，，； 又，所以，所以，解得，又，所以，所以； 所以当时，，即当时，该造父变星的“视星等”为； 【小问3详解】 由变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2知，，化简得； 如图，设，满足，则，； 所以，所以； 因为，所以，满足时，； 所以可以判断该造父变星的亮度是“合格”的. 20. 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数. （1）分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①； ②. （2）若为阶梯函数，求的所有可能取值； （3）已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且. 【答案】（1）①否；②是 （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用阶梯函数的定义进行检验即可判断； （2）利用阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解； （3）根据题意得到，，从而取，结合零点存在定理可知在上有且仅有两个零点：，，从而得解. 【小问1详解】 ，则； ，则， 故①否；②是. 【小问2详解】 因为为阶梯函数，所以对任意有： . 所以对任意，， 因为是最小正周期为的周期函数， 又因为，所以，. 【小问3详解】 因为，所以函数， 则， . 取， 则有，， 由于在上单调递减，因此在上单调递减， 结合， 则有在上有唯一零点，在上有唯一零点. 又由于， 则对任意，有，， 因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，. 综上所述，存在，使得在上有4046个零点， 且，，，，，，， 其中，. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义阶梯函数，从而在第3小问推得，，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $