精品解析：河南郑州市第四十七初级中学2025-2026学年下学期九年级第一次质量检测数学试题

2025—2026学年下学期第一次质量检测试题九年级数学 一、选择题（本题共10小题每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵， ∴四个数中最小的数是． 2. 汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据立体图形的左视图的定义即可解答． 【详解】解：如图其左视图为． 3. 已知，，，则a，b，c三数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各数化为同指数的科学计数法形式，再比较系数即可得到大小关系． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 即． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择、样本容量和调查方式． 根据统计图的用途、样本容量的定义和普查的适用条件判断各选项． 【详解】解：∵ 扇形统计图适用于表示各部分占总体的比例，折线统计图适用于表示变化趋势， ∴ A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，从5万中抽取300，样本容量是300， ∴ B错误； ∵ 普查适用于个体数量较少的情况，某班学生数量少， ∴ C正确； ∵ 样本容量越大，对总体的估计越准确， ∴ D错误． 故选：C． 5. 不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由2−x≥3得：x≤-1， 由得：x＞−5， ∴原不等式组的解集为：−5＜x≤−1． 在数轴上表示为： 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 6. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 根据题意得出且，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 故选：． 8. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（ ） A. 2.4米 B. 2米 C. 1.6米 D. 1.2米 【答案】C 【解析】 【分析】过点O分别作于点E，延长交于点F，推导出，继而得出，得到，即可解答． 【详解】解：过点O分别作于点E，延长交于点F，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴物体的高度为． 9. 已知点，，在下列某个函数的图象上．则这个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可知和时函数值相等，依次验证各选项，排除不符合条件的选项，即可得到结果． 【详解】解：点，的纵坐标相等， ∴函数在和处的函数值相等． 对选项A，： 当时，，当时，，，不符合，排除A． 对选项C，： 当时，，当时，，，不符合，排除C． 对选项D，： 当时，，当时，，，不符合，排除D． 对选项B，： 当时，，当时，，函数值相等，满足在函数图象上． 再验证点，： 当时，，即， ∵， ∴，符合条件． 因此这个函数是． 10. 如图，点坐标为，点在轴的正半轴上，过点作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在边上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，点坐标为，由旋转性质得到，从而，由勾股定理得到，根据过点作轴于点得到轴，得到，从而，得到，即，解得，从而得到点的坐标为． 【详解】解：由旋转性质得到， 点坐标为， ， ，，， 轴， ， ， ，即，解得， 点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查利用全等及相似求线段长，涉及旋转性质、全等三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转性质是解决问题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 黑河最低气温，最高气温．那么当天的气温差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这天的温差就是最高气温与最低气温的差，列式计算即可． 【详解】解：依题意，当天的气温差为：． 故答案为：． 12. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 13. 在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为_____． 【答案】24． 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：a＝24， 经检验：a＝24是分式方程的解， 故答案为：24． 【点睛】本题考查的知识点是事件的概率问题，弄清题意，根据概率公式列方程求解比较简单. 14. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等边三角形的判定可得是等边三角形，然后过D点作于点E，根据勾股定理求出DE长，再根据解答即可． 【详解】解：如图，连接，，，， 由翻折可知，， ∴四边形是菱形，， ∴是等边三角形， 过D点作于点E， 则，， ． 故答案为：． 15. 如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题． 【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴＝， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴， ∴＝＝， ∴PT＝PB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt中， ∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT＝＝， ∴PB+PC≥， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据乘方运算、绝对值运算、算术平方根及零指数幂先求解，再利用有理数的加减运算即可得到答案； （2）根据分式混合运算法则直接化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数混合运算及分式化简，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 17. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间x（小时）分为五组：共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图． （2）在这次调查中，学生每周锻炼时间的中位数落在第______（填序号）组，达到平均每天运动1小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比为______； （3）请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）见解析 （2）③， （3）评价：该校学生平均每天运动1小时及以上的人数不到一半．建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼 【解析】 【分析】（1）先求出样本容量为，再求出第④组的人数，最后补全频数分布直方图； （2）由中位数的定义即可得出结论；用样本中平均每天运动1小时及以上的学生人数除以样本容量即可； （3）根据（1）中求出的平均每天运动1小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比可对该校学生运动时间的情况做出评价，并提出两条建议，答案不唯一． 【小问1详解】 解：由图可得调查的样本容量为：， 第④组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 由统计图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250个和第251个数据的平均数， 故落在第③组； 平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在这两组，占被调查人数的百分比为：， 故答案为：③，； 【小问3详解】 评价：该校学生平均每天运动1小时及以上的人数不到一半． 建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键． 18. 在下列网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，，均为格点． （1）_____． （2）在上找到点，使．请用无刻度直尺画出找点的过程． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先作出矩形的对角线交点F，再连接，则，在格线上作出，且，连接与的交点，即为点P． 【小问1详解】 解：由图，可得 ； 【小问2详解】 解：如图所示，点P即为所求； 理由如下： 由作图可知，点F为矩形的对角线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，主要考查：函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式和平行于轴的线段长度的计算方法． （1）利用一次函数求点的坐标，然后利用点求反比例函数的； （2）利用反比例函数求点的坐标，再利用一次函数求点的坐标，最后计算的长． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 将代入，得：，解得，即． ∴． 20. 某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点处，乙位于轴的处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方； （3）经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？ 【答案】（1） （2）小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方 （3）他们可以安全起跳，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点的坐标为，可设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，可得该抛物线的解析式； （2）将代入，解得的值即可； （3）由（2）可知当时，，，可以站立跳绳的距离为米，小明与其他位同学一起跳绳需要站立的最短距离为米，因为，所以他们可以安全起跳． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入，中，得， ∴该抛物线的解析式是． 【小问2详解】 解：将代入， 解得，， ∴小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方． 【小问3详解】 解：他们可以安全起跳，理由如下： 当时，，， ∴可以站立跳绳的距离为米， 又∵米， ∴， ∴他们可以安全起跳． 【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． 21. 乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线AB与弧所在的圆相切于点，连接，且，．若弓形的高为，，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，，设与交于点H，根据的正切值求出半径的长，从而得到的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，，设与交于点H， ∵直线与圆O相切于点G， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，弓形的高为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 22. 我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴.与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构.各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备.可以将房脊抽象成数学问题.如图，分别与相切于点，连接.连接，交于点，交于点.延长交于点， （1）若，①连接，判断四边形的形状，并说明理由. ②若的半径为，直接写出劣弧的长为______. （2）若，求的长. 【答案】（1）①四边形是正方形，理由见解析；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据四个角是证明四边形是矩形，根据邻边相等证明是正方形即可； ②根据弧长公式求解即可； （2）设，并用x表示各线段的长度，证明，根据对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 解：①四边形是正方形， 理由：，分别与相切于点，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②由（1）知，四边形是正方形， ， ， 劣弧的长为； 故答案为：． 【小问2详解】 设，则， ， ， ， ，分别与相切于点，， ，平分，， ， ， ， ，即： 化简得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 故； 故答案为：． 【点睛】,本题主要考查圆的综合应用，牢记弧长计算公式，掌握圆的切线的性质是判定四边形形状的关键，解题难点是利用三角形相似求得圆中线段的长度． 23. 综合实践 在中，点是边的中点． （1）如图①，延长到点，使，连接，可得出，其依据是______．（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ （2）如图②，在边上任取点，（不与两点重合）连接，并延长到点，使．连接，在图②中画出相应的图形，并观察四边形是特殊的四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由． 解决问题 如图③，在中，，点为平面内一点，，将线段绕点顺时针旋转得，点为中点，当时，请求出的长． 【答案】（1）②；（2）画图见解析，四边形是平行四边形，证明见解析；问题解决：的长为和 【解析】 【分析】（1）已知点是边的中点，得到，由对顶角，再结合，根据两个三角形全等的判定定理，利用即可得到，即可得到得到答案； （2）根据题意作出图形，由平行四边形的判定定理可知四边形平行四边形；根据题意，分两种情况①在线段上；②在线段延长线上；由平行四边形的判定与性质，结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：（1）点是边的中点， ， 在和中， ， ， 故选：②； （2）如图1所示： 四边形平行四边形， 理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形． 解决问题：根据题意，分两种情况：①在线段上；②在线段延长线上； ①延长到点，使，连接，如图2所示： ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵， ， 在中，，由勾股定理得， ∴； ②延长到点，使，连接，如图3所示： 同理，由①可知， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵， ， 在中，，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为和． 【点睛】本题考查几何综合，涉及全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握相关几何性质，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期第一次质量检测试题九年级数学 一、选择题（本题共10小题每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. 汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c三数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 5. 不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（ ） A. 2.4米 B. 2米 C. 1.6米 D. 1.2米 9. 已知点，，在下列某个函数的图象上．则这个函数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点坐标为，点在轴的正半轴上，过点作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在边上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 黑河最低气温，最高气温．那么当天的气温差是______． 12. 计算：_____． 13. 在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为_____． 14. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为_____________． 15. 如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间x（小时）分为五组：共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图． （2）在这次调查中，学生每周锻炼时间的中位数落在第______（填序号）组，达到平均每天运动1小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比为______； （3）请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 18. 在下列网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，，均为格点． （1）_____． （2）在上找到点，使．请用无刻度直尺画出找点的过程． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 20. 某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点处，乙位于轴的处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方； （3）经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？ 21. 乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线AB与弧所在的圆相切于点，连接，且，．若弓形的高为，，且，求的长． 22. 我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴.与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构.各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备.可以将房脊抽象成数学问题.如图，分别与相切于点，连接.连接，交于点，交于点.延长交于点， （1）若，①连接，判断四边形的形状，并说明理由. ②若的半径为，直接写出劣弧的长为______. （2）若，求的长. 23. 综合实践 在中，点是边的中点． （1）如图①，延长到点，使，连接，可得出，其依据是______．（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ （2）如图②，在边上任取点，（不与两点重合）连接，并延长到点，使．连接，在图②中画出相应的图形，并观察四边形是特殊的四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由． 解决问题 如图③，在中，，点为平面内一点，，将线段绕点顺时针旋转得，点为中点，当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $