河南省郑州市高新区郑州中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年河南省郑州中学九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是(    ) A. B. 1 C. 2 D. 3 2.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿．则1兆等于(    ) A. B. C. D. 3.下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A. B. C. D. 4.《论语》是中华优秀传统文化的代表之一，值得我们每位华夏子孙认真研读和领悟.现将其中的“学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是(    ) A. 不 B. 思 C. 则 D. 罔 5.鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构.图是六根鲁班锁图中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是(    ) A. B. C. D. 6.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是(    ) A. B. C. D. 7.关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 9.已知A为整式，若计算的结果为，则(    ) A. B. C. D. 10.如图①，一动点P从的A点出发，在三角形的内部含边上沿直线运动3次，第一次到点，第二次到点，第三次到点，设点P运动路程为x，，y与x的函数图象如图②所示，若，则a的值为(    ) A. 1 B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共30分。 11.二次根式：一般地，形如______的式子叫做二次根式，其中，a叫作______数. 12.把一个多项式化成几个整式的______的形式，这种变形叫做因式分解.整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形.如：属于______. 13.写出一个同时满足下列条件的二次三项式：______. ①只含有字母a和b； ②每一项的次数都是2； ③按字母a的降幂排列. 14.如图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则，当，，，时，U的值为______. 15.某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 屏幕尺寸 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、屏幕尺寸这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为______分. 16.按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是______.如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是______. 17.河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉.某商户购进一批石榴进行销售，进价为80元/箱，当销售价为120元/箱时，每天可售出20箱.经市场调查发现：每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱. 每箱石榴降价______元时，商家平均每天能盈利1200元. 每箱石榴降价______元时，商家平均每天盈利最多. 18.下列说法中正确的结论有______填序号 ①若a，b互为相反数，则； ②在数轴上表示的点与表示的点距离为5个单位长度； ③在数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数； ④一定是负数； 19.已知a，b，n均为正整数. 若，则______； 若，，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个. 20.如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且，点E为BC边上一动点，将线段DE绕点E顺时针旋转得线段EF，连接AF、DF，当DF与的某条边平行时，则线段CF的长为______. 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题8分 请你用两种方法计算 22.本小题8分 计算： 先化简，再求值：，其中， 化简： 23.本小题8分 近年来网的车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家曾康会司司机月收入进行了描样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入单位：千元如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 甲公司 6 6 c d 乙公司 a b 4 填空；______，______，______，______. 小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由 24.本小题8分 近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元. 求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ 若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 25.本小题8分 已知实数a，b，c，m，n满足，求证：为非负数. 26.本小题8分 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线，交AB，CD于点E、 请用无刻度直尺及圆规过点O作m的垂线，分别交AD、BC于点G、H，保留作图痕迹. 顺次连接E、G、F、H，判断四边形EGFH的形状，并说明理由. 27.本小题8分 在平面直角坐标系中，设二次函数为常数 写出一组b，c的值，使抛物线与x轴有两个不同的交点，并说明理由. 若抛物线经过， ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点为抛物线上点A，B之间不含点A，的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：，，，， 而， 与原点距离最近， 故选： 根据，，，，而，可知1与原点距离最近． 本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：1亿 ， 1兆 ， 故选： 本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：根据题意，不包括即不在解集内， 只有C选项，，不包括 故选： 不包括即不在解集内，由此可得出答案． 本题考查不等式的解集，比较基础，观察各选项即可． 4.【答案】D  【解析】解：“学”对面的字是罔， 故选： 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：从前面看到的图形为： 故选： 根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 6.【答案】C  【解析】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种， 配成紫色的概率为， 故选： 画树状图，共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，再由概率公式求解即可． 本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． 7.【答案】A  【解析】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选： 根据一元二次方程根的判别式解答即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：，所以A选项不符合题意； B.，所以B选项符合题意； C.，所以C选项不符合题意； D.，所以D选项不符合题意； 故选： 根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据算术平方根的定义对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则D选项进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：， 故选： 根据分式的基本性质解答即可． 本题考查分式混合运算，分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：由题意，当时，， ， ， ， 由图②可知，垂直平分BC，垂足为，如下图： 从运动到的过程中，，即，不变， ， ， 故选： 根据题意可求出AC得值，再由勾股定理得到BC的值，推出，由图②可知，垂直平分BC，垂足为，进而求出的值，即可求解． 本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图像列出数量关系式． 11.【答案】  被开方  【解析】解：根据题意可知，二次根式的形式为，a叫作被开方数． 故答案为：；被开方． 根据二次根式的定义即可求解． 本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是关键． 12.【答案】积  整式乘法  【解析】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也称分解因式； 其中整式乘法是将积化为多项式，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式的恒等变形； 如：是将整式的积化为多项式，因此，该式属于整式乘法， 故答案为：积；整式乘法． 根据因式分解的意义即可求解． 本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：根据题意可知，这个多项式可以为： 故答案为：答案不唯一 根据多项式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 本题考查了多项式，掌握多项式的概念是关键． 14.【答案】220  【解析】解：由题意可得 故答案为： 根据题干条件代值即可． 本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键． 15.【答案】  【解析】解： 故答案为： 利用加权平均数按照比例计算，即可求得选手甲的平均分． 本题考查了加权平均数的计算方法，解决本题的关键是熟练掌握加权平均数的计算方法． 16.【答案】正方形  菱形  【解析】解：①如图， 由题意得：， 四边形ABCD是菱形， 角度为， ， 四边形ABCD是正方形， 故答案为：正方形； ②如图， ， 故答案为：菱形． 先画出图形，在根据菱形的判定，正方形的判定进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，折叠的性质， 17.【答案】10或20  15  【解析】解：设每箱石榴降价x元，每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱， ， ， ，， 故答案为：10或20； 设利润为w， 则 ， ， 当时，利润w有最大值，为1250元， 故答案为： 设每箱石榴降价x元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于1200列出方程，求出解即可； 设利润为w，即可得出关于x的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质是解题的关键． 18.【答案】①②③  【解析】解：若a，b互为相反数，则，①说法正确，符合题意； 在数轴上表示的点与表示的点距离为5个单位长度，②说法正确，符合题意； 在数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数，③说法正确，符合题意； 可能是正数，负数和零，④说法错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 根据相反数定义，数轴，有理数的分类逐一判断即可． 本题主要考查了相反数，数轴，有理数的加法，正数和负数，掌握相应的运算法则是关键． 19.【答案】3  2  【解析】解：， ， ，n为正整数， ； 故答案为：3； ， ， 的取值范围为， ， ， 的取值范围为， ， 满足条件的a的个数总比b的个数少2个， 故答案为： 利用夹逼法估算的取值范围，即可求出n的值； 先将不等式两边平方，分别得到a、b的取值范围，即可得出答案． 本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 20.【答案】2或  【解析】解：在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且， ，则， 若，如图1所示： 将线段DE绕点E顺时针旋转得线段EF， 是等边三角形，且边长为4， ； 若，如图2所示： 将线段DE绕点E顺时针旋转得线段EF， 是等边三角形， ， ，则， 为等边三角形，且边长为4， 连接CF，如图3所示： ， 是等边三角形，则，， ， ，即，则， ， 在中，，，则由勾股定理可得； 当E与C重合时，如图3所示： 的情况不存在； 综上所述，线段CF的长为2或 故答案为：2或 根据题意，分三种情况：，，，分类讨论，利用等边三角形的判定与性质，勾股定理求解即可得到答案． 本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意，分类讨论是解决问题的关键． 21.【答案】解：方法一： ； 方法一：   【解析】根据方法一直接利用被开方数相除即可，方法二进行分母有理化． 本题考查了二次根式的运算，分母有理化，掌握知识点的应用是解题的关键． 22.【答案】解： ； 原式 ， 当，时， 原式 ； 原式   【解析】根据零指数幂，负整指数幂法则，绝对值的意义，算术平方根定义进行计算即可； 根据单项式乘以多项式，平方差公式法则进行计算即可； 先算括号内的分式加法，再算分式除法即可． 本题考查了实数的运算，整式的化简求值，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， 23.【答案】；；6；； 选甲公司，理由如下： 因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司．  【解析】解：乙公司平均月收入， 乙公司中位数， 甲公司“6千元”对应的百分比为， 众数， 方差； 故答案为：6；；6；； 选甲公司，理由如下： 因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司． 利用平均数、中位数、众数、方差的定义分别计算后即可确定正确的答案； 根据平均数相同，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 本题考查了平均数、中位数、众数，方差的定义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，掌握定义是解题的关键． 24.【答案】解：设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元， 根据题意得：， 解得： 答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元； 设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚个， 根据题意得：， 解得： 设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则， 即， ， 随m的增大而增大， 又，且m为正整数， 当时，w取得最小值，最小值为 答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．  【解析】设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚个，根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，利用总价=单价数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 25.【答案】证明：，， ，， ， ，b，c，m，n为实数， ， 为非负数．  【解析】利用因式分解解答． 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 26.【答案】解：如图，直线GH即为所求． 四边形EGFH为菱形． 理由：四边形ABCD是平行四边形， ，， ，， ≌， 同理可得， 四边形EGFH是平行四边形． 由作图得， 四边形EGFH是菱形．  【解析】根据垂线的作图方法作图即可． 结合平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质可得，，则四边形EGFH是平行四边形．由作图得，结合菱形的判定可知，四边形EGFH是菱形． 本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27.【答案】解：由题意，抛物线与x轴有两个不同的交点， 不妨取，，满足题意． ①由题意，抛物线经过，， 抛物线的表达式为 又， 顶点为 ②由题意，对于， 令， 点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度， 或 当时，或当时， 或 当在，之间时， 抛物线开口向下， 又当时，y取最大值为4， 当在，之间时， 抛物线开口向下， 又对称轴是直线，且， 此时y随x的增大而增大． 综上，，且  【解析】依据题意，由抛物线与x轴有两个不同的交点，从而，进而可以举例得解； ①依据题意，由抛物线经过，，进而建立方程组计算可以得解析式，又化成顶点式即可得解； ②由题意，对于，令，可得，又点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，可得或，进而可得或，从而根据二次函数的性质进行分类讨论即可得解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$