圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练-2026年中考数学二轮复习

圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 考点目录 圆的性质与相似问题综合 圆的性质与折叠问题综合 考点一 圆的性质与相似问题综合 例1．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，内接于，是的直径，于点，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 例2．（2026·浙江衢州·一模）如图1，已知内接于，．弦于点E，连结，交于点F． (1)求证：． (2)如图2，连结．若，求的值． (3)当，时，求的半径． 例3．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，与交于点，． (1)求证：直线是的切线； (2)若平分， ①求证：； ②探究，发现与证明：是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值使等式成立；若不存在，请说明理由． 例4．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为6，求的长． 变式1．（2026·福建三明·一模）在中，，以为直径的分别交线段，于点D，E，连接． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过点E作，垂足为点F，交于点G，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 变式2．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 变式3．（2026·江西萍乡·一模）如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 考点二 圆的性质与折叠问题综合 例1．（2026·河北唐山·一模）如图，的半径为4，弦，弦，，且圆心O在弦，之间，点M是劣弧上任意一点，连接，将弦左下方的图形沿折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设，（）． (1)若． ①求与之间的距离； ②当线段在G的内部（不含边界）时，确定的取值范围； (2)当线段与折叠后的所在圆相切时，且切点到弦中点的距离为1，直接写出折痕的长． 例2．（24-25九年级上·江苏南京·月考）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 例3．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容．李老师在数学实验课上提出了这样的问题：如何在一张半径为的圆形纸片上折出一个等边三角形呢？ 【初步尝试】 轩轩思考后，他先将圆形纸片对折一次得到直径，再将点A与点D重合对折一次得到直径，两条直径交于点O，将点D与点O重合再次对折得到折痕，依次连接，得到等边三角形，如图1所示．（虚线为折痕） （1）下面是部分证明过程，请你补充完整： 证明：连接，由翻折可得，， 又， ∴，即， __________°， 同理， ， 由 得， ，（依据是__________） ，故是等边三角形． （2）如图2，若折痕与的交点为P、Q，则__________； 【深入探究】 （3）如图3，将圆片沿着折叠，使与直径相交于点M和点N，且，则折痕的长为__________. （4）如图4，将圆片沿着折叠，当 时，图中阴影部分的面积为_________； 【思维进阶】 （5）如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着折叠，与直径交于点M，点P是的中点，则的最小值是__________. 变式1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1~图3，是半圆O的直径，且，是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合），将半圆O沿直线翻折．     (1)当点N与点B重合，且时，如图1． ①求劣弧的长； ②当半圆O沿直线翻折后，劣弧是否经过圆心O？__________（填“是”或“否”）； (2)当时，如图2，过点O作，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点C，且点C是半径的中点，如图3，求折痕的长； (4)若折叠后的劣弧始终与直径相切，设，直接写出d的取值范围． 变式2．（2025·吉林·一模）【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】 （1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 变式3．（25-26九年级上·河北承德·月考）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． (1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的性质与相似间题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 考点目录 圆的性质与相似问题综合 圆的性质与折叠问题综合 考点一 圆的性质与相似问题综合 例1.(25-26九年级下·四川南充期中)如图，ABC内接于O0,BC是O0的直径，AD1BC于点D, OF⊥OA,∠F=2∠ABC. (I)求证：BF是O0的切线； ②若m∠C4D-写，BF=20,求00的半径。 【答案】（①）见解析 (2)00的半径为15 【分析】(1)根据垂直的定义结合同角的余角相等证明∠DA0=∠BOF,根据圆周角定理结合己知的∠F=2∠ABC 证明∠A0D=∠F,等量代换即可证明∠B0F+∠F=90°，得到∠OBF=90°，即可得证； (2)根据直径所对的圆周角为直角结合同角的余角相等证明∠CAD=∠ABC,在R1△AOD中，通过勾股定理和正 切值解直角三角形AD与OA之间的数量关系，证明△AOD∽aOFB,由相似三角形的对应边成比例列式求解即可得 解。 【详解】(1)证明：：AD⊥BC,OF⊥OA, ∠DA0+∠A0D=90°，∠A0D+∠B0F=90°， :∠DA0=∠BOF, :∠AOD=2LABC,∠F=2LABC .LAOD=∠F, :∠B0F+∠F=∠DA0+∠A0D=90°， :∠0BF=90°，即OB⊥BF, :OB是00的半径， .BF是OO的切线； 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 (2)解：：AD⊥BC, :LCAD+∠C=90°， :BC是O0的直径， LCAB=90°， .∠ABD+∠C=90°， :ZCAD ZABC, 六tan∠ABD=tan∠CAD= 3 tan∠ABD=A D' AD 1 BD=3 设AD=x,BD=3x,则OD=BD-OB=3x-OA, 在RtaA0D中，AD2+OD2=OA2, 即x2+(3x-OA=OA2, 整理得2x(5x-30A=0, x≠0， 5x-30A=0, 5 01=3, 08-,00=3子- 5 由(1)知，∠AOD=∠F,∠DA0=∠B0F, .△AODn△OFB, 4 REOR 3T OD AD 205, 解得x=9, 5 .0B=。x=15, 3 即00的半径为15. 例2.(2026浙江衢州一模)如图1，已知ABC内接于O0,AB=AC.弦CD⊥AB于点E,连结OB,交CD于 点F. 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 0. E D 图1 图2 备用图 (I)求证：∠BCD=∠AB0, ②如到2，连结D.若m∠CB子求C的值 、BF (3)当CD=11,BF=25时，求O0的半径. 【答案】(1)见解析 20 2 3)56 2 【分析】(1)延长BO交⊙O于点G,连结AG,可得∠BAG=∠BEC=90°，∠AGB=∠ACB,再根据AB=AC,得 到∠ACB=∠ABC,推出∠ABC=∠AGB,即可证明结论： (2)设CE=3a,AC=5a,求出AE=4a,AB=5a,BE=a,BC=10a,易证LCAB=∠BDC,可得 m∠8DC86-号即0-求出8D-子，由D知∠BCD=(480,由co∠8CD=6om480,即求出 r:。,御可求解， (3)延长BO交⊙O于点G,连结AG,过点O作OH⊥AB于点H,先证明BD=DF,设EF=m,CE=n,求出 DE=I1-n，证明△BEFACEB,推出BE2=CEEF=mn,BD=II-n+m,在RtBEF,RtABED中， m2+mn=(25① BF2=BE2+EF2,BD2=BE2+DE2,得到则 ，求出m=2,n=8,进而得到 (11-n2+mm=(11-n+m)2② EF=2,CE=8,DE=3,BD=5,BE=4,再证明△AEC∽△DEB,推出AE=6,则AB=I0,根据垂径定理得到 BH号AB=5,再证明BEF6BA0,推出OB即可 【详解】(1)证明：延长BO交⊙O于点G,连结AG, E D 则∠BAG=90°， 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ~CD⊥AB, ∠BEC=90°， ∠BAG=∠BEC=90°， ADB=4DB ∴.∠AGB=∠ACB, AB=AC, ·∠ACB=∠ABC, ∠ABC=∠AGB, ∠BCD=180°-∠BEC-∠ABC,∠ABO=180°-∠BAG-∠AGB, ∴LBCD=LABO: 3 (2)解：sm∠C1B=亏∠4EC=90, asin∠CAB=CE_3 AC 5' 设CE=3a,AC=5a, ·AE=VAC2-CE2=4a, AB=AC, 2.AB =5a, ∴BE=AB-AE=Q, ∴BC=VBE2+CE2=V10a, BC=BC ∠CAB=∠BDC, ×∠BED=90°， asin∠BDc BD5,即0=3 BE 3 BD 5' B00 由(1)知∠BCD=∠AB0, cos∠BCD=cos∠AB0,即CE-BE BC BF 3a a 10a BF' BF=1 3, 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 5 BD 0 √10 BF√1O 2: 3 a (3)解：延长BO交⊙O于点G,连结AG,过点O作OH⊥AB于点H, G HE B D 由(1)知LBCD=LAB0,则BD=AG, 六BD+AD=AG+AD,即DAG=ADB, ∠ACB=∠DBG, ∠CAB=∠CDB, l80°-∠ACB-CAB=180°-∠DBG-∠CDB,即∠ABC=∠BFD, ~AC=AB,即∠ACB=∠ABC, ∠DBG=∠BFD, :BD DF, 设EF=m,CE=n, ×CD=11, DE=11-n, ~∠BCD=LABO,∠BEF=∠BEC=90°， ABEF∽aCEB, “CEBE,即BE=CEEF=mn, BE EF BD=DF, BD=11-n+m, 在Rt△BEF,Rt△BED中，BF2=BE2+EF2,BD2=BE2+DE2, m2+mn=(25}① 则 11-n2+mm=(11-n+m)2② ①-②得m2-(11-n)=20-(11-n+m,整理得m2=10-11m+mn, 由①得mn=20-m2, 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∴m2=10-11m+20-m2,即2m2+11m-30=0, 15 解得m=2或m=- 2 (舍去)， ∴22+2n=20,解得n=8, EF=2,CE=8,DE=3,BD=5, BE=BD2-DE2=4, LAEC=∠BED=90°，∠ACE=∠DBE, AAEC∽△DEB, 0EE,即华8 .AE CE 34 ∴AE=6,则AB=AE+BE=10, OH⊥AB, .BH=AB=5 ~OH⊥AB,CE⊥AB, .OH‖EF, △BEF∽△BHO, BE BF 即4-2V5 BH OB 5 OB ∴OB= 5V5 即00的半径为5y5 例3.(25-26九年级下·福建福州期中)如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙0的直径.连接AC,BE, CE,CE与BD交于点G,LAEC=∠ACF. E B (1)求证：直线CF是O0的切线： (2)若AC平分∠BAE, ①求证：G0CE=GC.0B; ②探究，发现与证明：是否存在常数a,b,使等式AC2=aBC.CE+bAB·AE成立？若存在，请直接写出一个a的 值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值使等式AC2=aBC.CE+bAB,AE成立；若不存在，请说明理由. 【答案】()见解析 6 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 (2)①见解析；②存在，a=1,b=1,证明见解析. 【分析】(1)延长CO交O0于点M,连接EM,由圆周角定理可得∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，又 ∠AEM=∠ACM,∠AEC=∠ACF,所以∠ACF+LACM=90°，然后由切线的判定方法即可求证； (2)①延长CO交O0于点M,连接EM,根据角平分线的定义得到∠EAC=∠BAC,根据圆周角定理得到 ∠BDC=∠CME,根据直径所对的圆周角是直角得到∠BCD=∠CEM=90°，进而根据等角的余角相等得到 ∠CBD=∠ECM,根据圆周角定理得到LCBD=LCED,证明&EGDCG0,得到GO-GC 进而可证 DG GE GO.CE=GC.OB ②设AC与BE交于点N,由AC平分∠BAE,可得LEAC=∠BAC,CE=CB,通过圆周角定理可得 ZE4C=LEBC=LBAC,正明8 CNACB,△AENAC8,故有8C-C,-8,即有 BC2=ACx CN①，AE×AB=AC×AN②，然后通过①+②即可求解， 【详解】(1)证明：如图，延长C0交⊙0于点M,连接EM, M ~CM是O0的直径， ∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°， ~LAEM=∠ACM,∠AEC=∠ACF, ∴.∠ACF+∠ACM=90°， ∠MCF=90°， ∴OC⊥CF, 0C是00的半径， 直线CF是⊙0的切线； (2)①证明：如图，延长CO交OO于点M,连接EM, M B AC平分∠BAE, 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∠EAC=∠BAC, ·BC=CE, ∴∠BDC=LCME, ~BD、CM是OO的直径 ∠BCD=∠CEM=90°， ∴∠BDC+∠CBD=∠ECM+LCME=90°， ∠CBD=∠ECM, CD=CD, ∠CBD=∠CED, ∠ECM=∠CED, ∠EGD=∠CGO, .△EGDm△CG0, GO GC DG GE G0.GE=GC·DG, G0.GE+GO.CG=GC.DG+GO.CG GOCE=GC.DO, G0.CE=GC·0B; ②解：存在常数a=1,b=1,使等式AC2=aBC.CE+bAB.AE成立； 理由如下： 如图，设AC与BE交于点N, AC平分∠BAE, ∠EAC=∠BAC, ∠EAC=LEBC,∠BEC=LBAC, ∠EAC=∠EBC=∠BAC=LBEC, ∴.CE=CB, 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∠AEB=∠BCA, △BCN∽△ACB,△AEN∽△ACB, BC CN AE AN AC CB' AC AB BC2=AC×CN①，AE×AB=ACx AN②， ①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+ACx AN=AC(CN+AN)=AC2, CE =CB, AC2=BC.CE+AB·AE, 'AC2=aBC.CE+bAB·AE ∴a=1,b=1. 例4.(2026辽宁模拟预测)如图，在ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，0C长为半径 作OO,与AB相切于点D,与AC交于点E,连接CD, D (1)求证：∠ABC=2LACD: (2)若AC=16,⊙0的半径为6，求BC的长. 【答案】()见解析 (2)12 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得到OD⊥AB,则∠A+∠AOD=90°，由∠ACB=90°得到 LA+∠ABC=90°，得出∠ABC=∠AOD,再根据圆周角定理得到LAOD=2LACD,即可证明； (2)利用勾股定理求出AD的长，再证明△AOD∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接0D, B O0与AB相切于点D, ∴OD⊥AB, ∠AD0=90°， 0 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∠A+∠A0D=90°， LACB=90°， LA+∠ABC=90°， ∠ABC=LAOD, DE=DE, .LA0D=2∠ACD, ∠ABC=2∠ACD; (2)解：00的半径为6， .0C=0D=6, ∴.A0=AC-0C=16-6=10, ∠AD0=90°， 六AD=VA02-0D2=V102-62=8, ∠AD0=∠ACB=90°，∠A=∠A, △AOD∽△ABC, 22即是8 BC AC ∴BC=12. 变式1.(2026·福建三明一模)在ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段AC,BC于点D,E,连 接AE. A D E B E B 图① 图② (I)如图①，求证：AE平分∠BAC: (2)如图②，过点E作EF⊥AB,垂足为点F,交⊙O于点G,连接DE,求证：LCDE=∠AEG; (⊙在2)的条件下，若an∠AEF-号，CD=4,求EG. 【答案】（①）见解析 (2)见解析 20 【分析】(I)根据圆周角定理得出∠AEB=90°，证明RtAABE≌Rt△ACE,得出∠BAE=∠CAE,即可证明AE平分 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∠BAC. (2)连接AG,根据圆内接四边形得出∠ADE+∠AGE=180°，结合∠ADE+∠CDE=180°，得出∠CDE=∠AGE, 证明△AEF≌△AGF(SAS),得出∠AEF=∠AGF,即可证明∠CDE=∠AEG. (3)根据AB=AC,得出∠ECD=LABE,证明△ECDn△4EG,得出CD-CE EG AE 结合 m∠4F=m∠4CE-告-有传答告-号结合C0=,甲可院解 【详解】(1)证明：~AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， .LAEB=LAEC=90°， 在Rt△ABE和RtA ACE中， AB=AC,AE=AE, Rte ABES≌RIAACE(HL, ∠BAE=∠CAE. AE平分∠BAC. (2)证明：连接AG. D G B ~四边形ADEG是⊙O的内接四边形， .∠ADE+∠AGE=180°， ∠ADE+∠CDE=180°， ∠CDE=∠AGE. AB为直径，EG⊥AB, .EF GF EF=GF,∠AFE=∠AFG=90°，AF=AF, △AEF≌AAGF(SAS). ∠AEF=∠AGF. 又∠CDE=∠AGE, 0 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∴.∠CDE=∠AEG, (3)解：AB=AC, ∠ECD=∠ABE, 又∠ABE=∠AGE,∠EDC=∠AGE=∠AEG, ZECD ZAEG ZEDC ZAGE ZABE, △ECD∽△AEG, CD CE EG AE ,tan∠AEF=tan∠ACE=4E_5 CE 3' EG_AE-5 CD CE 3 又CD=4, EG=5CD= *420 5 Γ3 变式2.(2026·云南大理一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，点P是AB延长线上一点， AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接PE交⊙O于点F,设⊙O的 半径为r. D (I)当∠CAB=30°，求∠ABC; (2)求证：PC是O0的切线； (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立？若存在，请直接写出一个a, b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF,PF=aPC2+bPF2成立；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)∠ABC=60 (2)见解析 (3)存在常数a,b,使等式EF,PF=aPC2+bPF2成立，且a=1,b=-1,理由见解析 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可； (2)连接OC,结合角平分线证明OC‖AD,得到LOCP=∠ADP,根据切线的判定定理进行即可证明； C3)连接AE,B,证明PBFPEA,则-PA,进-步得到PA:PB=Op-户，结合Op-r=PC, PA PE 12 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 PF.PE=PF2+PF.EF即可证明结论， 【详解】(1)解：：AB是OO的直径， ∠ACB=90°， :∠BAC=30°， ∠ABC=90°-∠BAC=60°； (2)证明：连接0C, D :AD⊥PC, B ∠ADP=90°， :0A=0C, .L0AC=∠0CA, :AC平分∠PAD, .∠CAD=LCAP, LCAD=∠OCA, .OC‖AD, :∠ADP=90°， :∠0CP=∠ADP=90°， 0C⊥PD, 又：0C是00的半径， .PC是OO的切线； (3)解：存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立，且a=1,b=-1,理由如下： 连接AE,BF, D E :四边形ABFE是⊙O的内接四边形， B ∠AEF+∠ABF=180°， 13 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 :∠PBF+∠ABF=180°， .LAEF=∠PBF, ∠FPB=∠EPA, △PBFn△PEA, PF PB PA PE' :PA.PB=PF.PE 在Rt△OCP中，∠0CP=90°， ∴0P2-r2=PC2, PA.PB=(OP+r(OP-r)=OP2-r2, ∴.PAPB=PC2, .PF.PE PF(PF+EF)=PF2+PF.EF, .PC2=PF2+PF.EF, .PF.EF=PC2-PF2, EF.PF aPC2+bPF2, a=1,b=-1. 变式3.(2026江西萍乡一模)如图，AB为O0的直径，C为O0上的一点，连接AC、BC,点E在AB的延长线 上，且满足∠BCE=∠BAC,过点A作AD⊥CE交EC的延长线于点D,交OO于点F, 0 F B (1)求证：CE为O0的切线； (2)求证：BC2=AB·DF; 同)若4B=10eos∠DC=号求F的长. 【答案】（①）证明见解析 (2)证明见解析 (3)2.8 【分析】(1)连接0C,根据切线的判定证明即可； (2)连接OC,CF,证明△DAC∽△CAB,△DFC∽△CAB,证明即可； 14 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 (3)由2)可知∠DAC=∠E4C,得到co∠BAC=co∠B4C-号利用勾股定理和(2)的结论求解即可： 【详解】(1)证明：连接0C,则OA=OC, D ∠BAC=∠AC0, B E :AB为O0的直径， :LACB=90°即∠AC0+∠0CB=90°， .∠BAC+∠0CB=90° 又：∠BCE=∠BAC .LBCE+∠0CB=90° OC⊥CE CE为⊙0的切线； (2)证明：连接CF,则0C=0A, D .∠BAC=LOCA, B E :CD与⊙0相切于点C, CD⊥0C, :AD⊥CD, ∴.AD‖OC,∠D=90° .∠DAC=∠OCA,∠ACB=∠D=90° LDAC=∠EAC, :DAC∽CAB, DCACDA CB AB AC DC CB AC AB :四边形ABCF是OO的内接四边形， 15 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 .∠ABC+∠AFC=180 :∠CFD+∠AFC=180°， :ZCFD=ZABC, .∠ACB=∠D △DFC∽△CAB, DC DF AC CB CB DF AB CB' ∴BC2=ABDF; (3)解：(3)由(2)可知LDAC=LEAC, Cos∠BAC=cos∠BAC=G] :AB为⊙0的直径.∠ACB=90 AC=AB.cos∠BAC=8 :BC=AB2-AC2=6 :BC2=AB·DF DF=3.6 :AC、DA ABAC’ .DA=6.4 AF=AD-DF=6.4-3.6=2.8; 16 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 考点二 圆的性质与折叠问题综合 例1.(2026河北唐山一模)如图，⊙0的半径为4，弦AB=2√7，弦CD=m,AB∥CD,且圆心O在弦AB, CD之间，点M是劣弧AC上任意一点，连接DM,将弦DM左下方的图形沿DM折叠，折叠后的图形记为G(阴 影部分)，设∠CDM=B,(cos41≈3)。 4 R 备川图 (1)若m=42. ①求AB与CD之间的距离； ②当线段AB在G的内部（不含边界）时，确定B的取值范围； (2)当线段AB与折叠后的MD所在圆相切时，且切点到弦AB中点的距离为1，直接写出折痕DM的长. 【答案】(1)①3+2√2；②45°<B<47° (2)√62 【分析】1)①过点0作EF1AB,垂足为么，交CD于点K连接OB,OD,由题意易待BE=4B=万， 08=0D=4,DF=CD=22,然后问题可求解， ②由题意可分当MD为QO的直径时，此时线段AB恰好在G的内部，当点M与点A重合时，此时线段AB满足在 G的内部，连接AC,BD,然后分类进行求解即可； (2)设AB的中点为R,折叠后的MD所在圆的圆心为O,且与线段AB的切点为Q,连接OQ,OR,OD,OO,OO 与MD交于点K,过点O作OT⊥OQ,由题意易得由折叠及切线的性质可知MD所在圆的半径OQ=4,且 OQLAB,MD100,OK=OK=O0,由(1)可知：0R=3,0D=4,然后根据勾股定理及垂径定理可进 行求解. 【详解】(I)解：①过点O作EF⊥AB,垂足为E,交CD于点F,连接OB,OD, 17 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 E B 人 00的半径为4，弦AB=2√7， BE=AB=√万，0B=0D=4, 2 ∴0E=V0B2-BE2=3, AB∥CD, EF⊥CD, m=4√2， DF=CD=2, ∴0F=V0D2-DF2=2√2， ∴EF=0E+0F=3+22, 即AB与CD之间的距离为3+2√2； ②当MD为OO的直径时，此时线段AB恰好在G的内部，如图所示： A D MD=8,∠MCD=90°， CD=42, acos∠CDM=CD-V2 MD 2 ∠CDM=45°； 当点M与点A重合时，此时线段AB满足在G的内部，连接AC,BD,如图所示： (M)A. ⊙ D 18 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 AB∥CD, ∠CDM=∠BAD, ·AC=BD, .AC =BD, ∴四边形ACDB是等腰梯形， ·∠ACD=∠BDC, 由①可知：CD所对圆心角的度数为90°， ÷∠DMC=二×90°=45°， 3 c0s41° ·AB所对圆心角的度数为82°， GZMDB=X8241 AB∥CD, ∴.∠CAB+∠ACD=∠CAB+∠BDC=180°， ∴.∠CMD+∠DAB+∠CDM+∠ADB=45°+41°+2∠CDM=180°， ∠CDM=47°， ∴当线段AB在G的内部（不含边界）时，B的取值范围为45°<B<47°； (2)解：设AB的中点为R,折叠后的MD所在圆的圆心为O,且与线段AB的切点为Q,连接O'Q,OR,OD,OO, 00'与MD交于点K,过点O作OT⊥OQ,如图所示： OR M D OR⊥AB,QR=1, 由折叠及切线的性质可知MD所在圆的的半径00=4，且0QLAB,MD10'0,0K=OK=O0, 2 由(1)可知：0R=3,0D=4, ∠TQR=∠QR0=∠OTQ=90°， 四边形OTQR是矩形， ∴OT=QR=1,OR=QT=3, 19 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∴0T=0Q-TQ=1, ∴00'=V0T2+0'T2=√2， “0k=00=2 2 2 DK=VOD-OK=62 MD⊥0'0， ∴MD=2DK=V62 例2.(24-25九年级上·江苏南京·月考)AB、CD是⊙0的两条弦，且AB=CD A A B B ·0 D D 图1 图2 (I)如图1，若弦AB、CD的延长线相交于点P,求证：PA=PC 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F, 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接AD、BC, 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接AC. 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明. (2)如图2，若O0的半径为2，将AB沿着AB折叠，若折叠后的AB过点O,，求CD的长. (3)如图2，若O0的半径为2，AC=BD,将AB沿着AB折叠，若此时∠A0C=90°，请直接写出折叠后AB上的一 点到CD最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)25 (3)3√2-2 【分析】(1)小明同学：过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F,连接OP,由弦、弧、圆心角、弦心距的 关系可得OE=OF,进而可得RtAEPO≌RtFPO(H),得到PE=PF,再根据垂径定理得AE=CF=】AB=CD, 2 2 进而即可求证： 小华同学：连接AD、BC,则由圆周角定理得∠PAD=∠PCB,由弦、弧、圆心角的关系可得AB=CD,进而得 AD=CB,得到AB=CB,再证明△PAD≌△PCB(AAS)即可求证： 20 圆的性质与相似间题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 小刚同学：连接AC,同理小华同学证明AD=CB,再根据圆周角定理得到∠CAB=∠ACD即可求证； (2)连接OA、OB,过点O作OF⊥AB交O0于点E,则AB=2AF,由AB过点O,可得点O与点E关于AB对称， 即得0F=EF-0E=1,再振据勾最定理即可求解， (3)连接OA、OB、OC、OD,先证明四边形ABCD是正方形，过点O作直线OG⊥AB于G,交折叠后AB于点H ,交折叠前AB于点M,交CD于点F,则LAGO=90°，由图可知线段FH的长为出折叠后AB上的一点到CD最 小值，利用正方形的性质和勾股定理解答即可求解。 【详解】(1)证明：小明同学：过点O作0E⊥AB,OF1CD,垂足为E、F,连接OP, A B C AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD, ∴0E=OF, 0P=0P, :.Rt EPO≌Rt△FPO(HL), .PE PF, AB=CD, ÷AE=CF=AB=CD, 2 2 .PE AE=PF+CF, 即PA=PC; 小华同学：连接AD、BC,则由圆周角定理得∠PAD=∠PCB, AB CD, AB CD, ∴AB+BD=CD+BD, 即AD=CB, AB=CB, ∠P=∠P, ·APAD≌APCB(AAS), 21 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 .PA=PC: A B O。 P D 小刚同学：连接AC, A B 1O。 AB=CD, ∴AB=CD, ·AB+BD=CD+BD, 即AD=CB, ∠CAB=∠ACD, 即∠CAP=∠ACP, .PA=PC; (2)解：连接OA、OB,过点O作OF⊥AB交⊙0于点E,则AB=2AF,∠AF0=90°， D C AB过点0， 点O与点E关于AB对称， *.OF=EF=1OE=1, 2 0A=2, AF=VO-OF2=22-1=3 ∴CD=AB=2V3; (3)解：连接0A、OB、0C、OD, 2 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∠A0C=90°，AB=CD, .∠B0D=90°， AB CD ÷∠A0B=∠c0D=360°-90°-90°=90°， 2 ∠A0D=∠B0C=180°， ∴点A、O、D三点共线，点B、O、C三点共线，AC⊥BD, 0A=0B=0C=0D, AC=BD, 四边形ABCD是正方形， 过点O作直线OG⊥AB于G,交折叠后AB于点H,交折叠前AB于点M,交CD于点F,则LAGO=90°，由图可 知线段FH的长为出折叠后AB上的一点到CD最小值， ~四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD,∠0AG=45°， ∴0F⊥CD 由正方形性质可得，OF=OG, ∠AG0=90°，L0AG=45°， ∴△AOG为等腰直角三角形， 0G=4G=50A=2, 2 ∴GM=OM-0G=2-V2,OF=√2， 根据折叠可知，GH=GM=2-√2， 0H=0G-GH=2-(2-V2)=2V2-2, ∴HF=0H+0F=22-2+√2=32-2， 折叠后AB上的一点到CD最小值为3√2-2. M B G H 、 F 例3.(25-26九年级上·江苏淮安期中)折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建 23 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容.李老 师在数学实验课上提出了这样的问题：如何在一张半径为10cm的圆形纸片上折出一个等边三角形呢？ 【初步尝试】 轩轩思考后，他先将圆形纸片对折一次得到直径AD,再将点A与点D重合对折一次得到直径EF,两条直径交于 点O,将点D与点O重合再次对折得到折痕BC,依次连接AB、BC、AC,得到等边三角形ABC,如图1所示.（虚 线为折痕) 4 G 图1 (1)下面是部分证明过程，请你补充完整： 证明：连接B0、OC,由翻折可得，OG=GD=0D, 2 又：0B=0D, .0G OB 2,即cos∠BOG=1, 1 :ZBOG ， 同理LC0G=60°， .∠B0C=120°， 由∠B0G=∠C0G=60°得∠A0B=∠A0C=120°， :LA0B=∠A0C=∠B0C=120°，（依据是 AB=AC=BC,故ABC是等边三角形. (2)如图2，若折痕EF与AB、AC的交点为P、Q,则PQ= cm; D 图2 【深入探究】 (3)如图3，将圆片沿着BC折叠，使BDC与直径EF相交于点M和点N,且FM=MN=NE,则折痕BC的长 为 cm 24 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 (4)如图4，将圆片沿着BE折叠，当∠FEB=15°时，图中阴影部分的面积为 cm; D F M B 图3 图4 图5 【思维进阶】 (5)如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着BE折叠，BE与直径EF交于点M,点P是ME的中点， 则OP的最小值是 cm 【答家】1)60，等量代换：2)203，C3):（4)了π-255；5)10w2-10 3 3 【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的轴对称性质，解直角三角形、扇形面积计算，点 与圆的位置关系，结合圆的性质、折叠的轴对称性、等边三角形特征是解题的关键. (1)根据特殊角的余弦值求角度即可； (2)先证明4PQ”。ABC,再根据相似三角形对应高的比等于相似比，证得PQ=2BC, (3)设o0过点B,M,N,C,则⊙0与⊙0'是等圆，连接0C,0'N,OD交BC于点H,在RtaO0'W中求0'N=10 ,OH=OH=102在Ra0HC中求得HC=0万，接下来根据BC=2HC求解即可； 3 3 (4)作⊙0关于BE的对称图形o0',设⊙0'交EF于G,连接GO',作⊙0'的直径EH,先求出 ∠GO'H=60°，∠GO'E=120°，然后求出S鼎彩oGE,S.GoE,再根据S阴影=S形oGE-S.coE求解即可； (5)连接BP,OB，,则OP≥BP-B0,当B,O,P在一条直线上时，OP有最小值.作O0关于BE的对称图形⊙O', 则点B,M,P,E在⊙O'上，作⊙O'的直径EN,连按O'P,OB,MN,OP,EF交于点T,OB,MN交于点S,先证四边 形SMO'T是矩形，得LPO'B=90°，然后根据勾股定理求出BP,最后根据OP=BP-B0求解即可. 【详解】解：(1)证明：连接B0、0C,由翻折可得，0G=GD=00, 又：0B=0D, OG 1 1 =2，且卩。s∠ .∠B0G=60°， 同理∠C0G=60°， ∠B0C=120°， 由∠B0G=∠C0G=60°得∠A0B=LA0C=120°， 25 圆的性质与相似间题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 LA0B=LA0C=∠B0C=∠B0G+∠C0G=120°，（等量代换） :AB=AC=BC, :△ABC是等边三角形. 故答案为：60°，等量代换； (2)由折叠可知：OA=0D,0G=GD=0D, 8器子即 OA 2 AG 3' EF⊥AD,BC⊥AD,EF与AB、AC的交点为P、Q, .PQ∥BC, ∴.△APQ∽△ABC, PO A0 2 BC AG 3' pojoc. 08=01=00号40=20=10am, 在R1a08G中，0G=20D=5, .BG=V0B2-0G2=V102-52=5V5(cm), :OG⊥BC, ..BC =10BG=53, P0-号ac-号x1o5-5camj 3 故答案为： ” D D 图2 (3)设⊙0'过点B,M,N,C,则O0与⊙0'是等圆，连接OC,0'N,0D交BC于点H, :且O0与⊙0'关于BC对称，0H=0'H, FM =MN NE 26 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 NM=}EF=x20=20 3 3 3 在Rta00'W中，ON=MN=1x20_10 2*3=3,0W=10, :00'=V002-0N2 0H=0H=100=×202-105, 2 -23 3 在Rta0HC中，0C=10, c=oc-0m-0-9-9, 2 :BC=2HC=207: 3 M 0 E B O D (4)作⊙0关于BE的对称图形o0',设⊙0'交EF于G,连接GO',作⊙0'的直径EH, 根据轴对称的性质，得LFEB=∠HEB=I5°， .∠GEH=2LGEB=30°，∠G0'H=2∠GEH=2x30°=60°， ∠G0'E=180°-60°=120°， 连接GH,则∠EGH=90°， :EH=EF=20, G-h-x20=10,G5=Em-Gm-20-0=10w5, 2 1 11 5=23.a=22 OHGE5 120元×102100元 :S扇形oGE= 360 3 ·S阴影=S痛形0GE-S,G0E= 100元-255cm2, 、3 27 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 故答案为：100x-255: 3 E B 图4 (5)连接BP,OB,则OP≥BP-B0, 当B,O,P在一条直线上时，OP有最小值. 作⊙O关于BE的对称图形o0',则点B,M,P,E在o0'上，作⊙O的直径EN,连按OP,O'B,MN,OP,EF交于点T ,OB,MN交于点S, 由轴对称的性质，得LFEB=∠NEB, .BM =BN, 0'B⊥MN∠0'SM=90°， P是ME的中点， 0'P⊥ME,即∠0'TM=90°， :EN是oO'的直径， ∠EMN=∠O'SM=∠0'TM=90°， :四边形SMO'T是矩形， ∠P0'B=90°， 在RtAPO'B中，O'P=O'B=10, ..BP=VO'B2+0'P2=102 0B=10, 0P=BP-B0=10V2-10cm, 故答案为：10√2-10， 28 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 F B 变式1.(2025河北沧州模拟预测)如图1~图3，AB是半圆O的直径，且AB=6,MN是半圆O的弦（点M,N 可分别与点A,B重合)，将半圆O沿直线MN翻折. M M 0 B(N) B 图1 图2 图3 (1)当点N与点B重合，且LABM=30°时，如图1. ①求劣弧4M的长； ②当半圆O沿直线MN翻折后，劣弧MN是否经过圆心O? (填“是”或“否”)； (2)当MN∥AB时，如图2，过点O作OP⊥MN,垂足为点P,折叠后的劣弧MN恰好经过OP的中点Q,连接NQ, 求tan∠MWQ的值； (3)若折叠后的劣弧MN与直径AB切于点C,且点C是半径OB的中点，如图3，求折痕MN的长； (4)若折叠后的劣弧MN始终与直径AB相切，设MN=d,直接写出d的取值范围. 【答案】(1)①π；②是 Qv5 5 6)3 2 (4)3v2≤d≤3V5 【分析】(1)①连接OM,根据AB=6,∠ABM=30°，得到OA=OB=3,∠APM=2∠ABM=60°，根据弧长公式 求劣弧M的长即可； ②设点O的对称点为W,如图，OW与MN得交点为R,则∠ORN=90°， 29 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 由∠ABM=30°，故OR=。OB=1.5,根据折叠的等距性质，得WR=1.5,解答即可； (2)设OP与圆的交点为T,根据折叠的性质，得PT=PQ,结合折叠后的劣弧MN恰好经过OP的中点Q,得到 PT=PQ=OQ=!0T=1,故OP=2PQ=2,利用勾股定理，正切函数的定义解答即可； 2 (3)设折叠圆弧所在的圆的圆心为O,连接O'O,O'C,OM,设00与MN的交点为H,根据折叠的性质，得 ∠01M=900H=0H=00,0C=01=08=0M=,MH=N=MW,利用勾服定理，垂径定理解答即 可 (4)分类解答即可. 【详解】(1)①解：连接0M, AB=6,∠ABM=30°， M 0 B(N) 0A=0B=3,∠APM=2∠ABM=60°， 劣弧AM=60X3x元=元， 180° 故答案为：π； ②解：当半圆O沿直线MN翻折后，设点O的对称点为W,如图，OW与MN的交点为R,则∠ORN=90°， 由∠ABM=30°， 故OR=5OB=1.5, 根据折叠的等距性质，得WR=1.5, 故OR+WR=3,等于圆的半径， W R 0 B(N) 故点W一定圆上， 故劣弧☑N是经过点W的， 故答案为：是 (2)解：设OP与圆的交点为T, MN∥AB,OP⊥MN, 30 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 ∠OPM=90,PM=PW=MN, 2 根据折叠的性质，得PT=PQ, ~折叠后的劣弧MN恰好经过OP的中点Q, ∴O0=P9, PT=P0=00=OT=1, :.OP=2PO=2, T M 0 B ∴PW=PM=V0M2-0P2=V32-22=√5， ∴tan∠MNg= P№15 PN5 5 (3)解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为O, 连接O'O,O'C,OM,设0'0与MN的交点为H, M O 根据折叠的性质，得∠0HM=90,0H=0H=00,0C=0A=0B=0M=3, MH NH =MN, 2 ~点C是半径OB的中点， 3 2 2 “0H=00=3 4 MH=VDM2-OH-3面 4 31i ·MN=2MH= 2 (4)解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为O, J 圆的性质与相似间题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 根据题意，当点N与点B重合，点M是AB的中点时，切点为B,此时MN取得最小值， M B(N) 根据折叠的性质，∠0B0'=90°，0'B=0A=0B=0M=0'M=3, 四边形O'BOM是正方形， ∴MN=V0M2+0N2=3V2; 当MN∥AB,且MW恰好经过OP的中点K时，取得最大值， D 0 B 根据折叠性质，垂径定理，得 OK-OP= 2 3V5 ∴MN=2KN=3V3, 故3v2≤d≤3V5. 变式2.(2025·吉林一模)【驱动背景】 在OO中，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得弧AB恰好过圆心O,圆心O关于直线AB的对称点为O. D D D O A B 0 图1) 图(2) 图3) 图(4) 【前情感知】 (1)如图1，连接OA,OB,∠A0B的度数为_-； 32 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 【问题探究】 (2)如图2，若点D是优弧AB上的任意一点，连接AD交折叠后的弧于点C,连接BC,BD. ①∠ACB的度数为_；猜想BC与BD的数量关系-： ②如图3，若弧AB(翻折后)不经过圆心O.BC与BD的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由. 【拓展生长】 (3)如图4，若AD为OO直径，将第一次折叠后的弧AB(弧AC部分)沿AC向下翻折交弦AB于点E,连接CE .若AD=10,OC=1,请直接写出线段CE的长 【答案】1)120；(2)①120°；BC=BD;②成立；理由见解析；(3)25 【分折】1)如图.连接00，交4B于点，则0N=00,则L04N=30=∠0BN,则 ∠A0B=180°-30°-30°=120°，即可求解： (2)①因为∠DCB+∠ACB=180°，且∠ACB=∠T,即∠DCB+∠T=180°，结合∠D+∠T=180°，得到 ∠DCB=∠D,即可求解； ②结合四边形ACBD是O0的圆内接四边形，∠D+∠ACB=180°，而LBCD+∠ACB=180°，即可求解； (3)证明△DBH∽△ABH,得到BH=4,由BD2=DH2+BH2=20,则BD=2√5，证明△REC≌△ADB(AAS),即 可求解. 【详解】解：(1)如图，连接OO,交AB于点N, B 则aw:oo. 则∠0AN=30°=∠0BN, ∠A0B=180°-30°-30°=120°， 故答案为：120； (2)①如图2，∠ACB=LA0B=120°， 设翻折前点C对应的点为T,连接AT、CT, 必 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 D ○ 折叠， ∴∠ACB=LT, ∠DCB+∠ACB=180°， 即∠DCB+∠T=180°， ~四边形ATBD是⊙O的内接四边形， ∠D+∠T=180°， ∠DCB=∠D, 即BC=BD; 故答案为：120°，BC=BD; ②成立，理由如下： 设折叠前点C的对应点为点C,连接AC',BC'. 由折叠可知，∠ACB=∠ACB, 四边形AC'BD是⊙O的圆内接四边形， ∠D+∠ACB=180°， ∠BCD+∠ACB=180°， LD=∠BCD, :.BC=BD; (3)补出第一次折叠后上面的弧AB所在圆O,补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆O, R D B 34 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间AD=10, 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作BH⊥CD于H, 由(2)知BC=BD, :.CH=DH=-CD, 2 0A=0D=5,C0=1, 则CD=4,AC=6, CH=DH=CD=2,AH AC+CH=2+6=8, ∠D+∠DBH=∠D+∠DAB=90°， △DBH∽△ABH, :.BH:AH =DH:BH, 即BH2=DHx AH, .BH2=2×8=16, 则BH=4(负值已舍去)， BD2=DH2+BH2=20, 则BD=2√5（负值已舍去）， 作圆O的直径RE,则ER=AD=I0, 在圆O中，∠R=∠BAD, 则∠ECR=∠ABD=90°， ER=AD, 则△REC≌△ADB(AAS), 则CE=BD=25. 变式3.(2526九年级上·河北承德·月考)如图，⊙0的直径AB=4,AC是弦，沿AC折叠劣弧AC,记折叠后的 劣弧为AmC· (1)如图1，当AmC与AB相切于A时. 35 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 m 2 B A B B 图1 备用图 图2 ①为画出AmC所在圆的圆心P,请选择你认为正确的答案_ 甲：在AmC上找一点E,连AE、CE并分别作它们的中垂线，交点为P; 乙：分别以A、C为圆心，以A0为半径作弧，除0外两弧另一个交点即为圆心P, A.甲正确B.乙正确C.甲乙都正确D.都不正确 ②选择合适的方法做出圆心P,求AC的长；直接写出此时LCAO的度数.。 (2)如图2，当AmC经过圆心0时，求AC的长； (3)如图3，当AmC覆盖圆心且与直径交于点D,若LCA0=25°，直接写出LACD的度数. B 图3 【答案】(I)①C ②AC=22,∠CA0=45° (2)AC=25 (3)∠ACD=40° 【分析】(1)①确定圆心最常见思路为不在同一直线的三点共圆，利用其外心可确定圆心： ②连接PC、0C,易证得四边形AOCP为菱形，加上∠PA0=90°，所以四边形AOCP为正方形，根据正方形的性 质得AC=√20A可得结果； 36 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 (2)作0E1AC于F,如图，根据折叠的性质得OF=)OE,由OE⊥AC,根据垂径定理得AF=CF,再在 2 Rt△OAF中，利用勾股定理计算出AF,进而容易得出AC; (3)连接CB,作D关于AC的对称轴点D在O0上，并连接AD'、CD',根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求 得∠B,根据圆内接四边形的性质得到∠AD'C+∠B=180°，再由翻折可求得LADC=∠AD'C,于是得到结论. 【详解】(1)①甲：在AmC上找一点E,连AE、CE并分别做它们的中垂线，即做△AEC的外心，故甲正确； 乙：由切线长定理可知，OA为切线，且OA=OC,故0C也为0P的切线，易知A0CP为正方形（证明见②），故 乙正确； 故选：C; ②如图，连接PC、OC, AP=0A=OC=PC=2, ∴四边形AOCP为菱形， 而∠PA0=90°， 四边形AOCP为正方形， ÷AC=22,LCA0=45°； m B (2)作OE⊥AC于F,交劣弧AC于E,如图， m B 沿AC折叠劣弧AC,记折叠后的劣弧为AmC,即 3> 圆的性质与相似问题综合、圆的性质与折叠问题综合专项训练 :0F=10E=x2=1, 2 2 OE⊥AC, ∴AF=CF, 在RtAOAF中，0A=2,0F=1, AF=V0A2-0F2=V5, ·AC=2AF=2V5; (3)连接CB,作D关于AC的对称轴点D在OO上，并连接AD'、CD',如图， D' 7 B D AB是OO的直径， ∴∠ACB=90°， 又∠CA0=25°， ∠B=65°， 由圆内接四边形的性质得到∠AD'C+∠B=180°， 可得：∠ADC=LAD'C=115°， ∴.∠ACD=180°-∠CA0-∠ADC=40° 38