反比例函数与相似的性质综合、反比例函数与旋转的性质综合专项训练-2026年中考数学二轮复习

反比例函数与相似的性质综合、反比例函数与旋转的性质综合专项训练 反比例函数与相似的性质综合、反比例函数与旋转的性质综合专项训练 考点目录 反比例函数与相似的性质综合 反比例函数与旋转的性质综合 考点一 反比例函数与相似的性质综合 例1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）定义：三个非零实数，若满足其中任一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三组数”． (1)实数2，3，4可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)已知三点均在函数（为常数，）的图象上． ①若这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点分别向坐标轴作垂线，交于点，连接，若与相似，求的值． 例2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． (1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若直线与x轴交于点，与双曲线交于，两点，且点A关于y轴对称的点D坐标为求证：B，C，D三点的横坐标构成“和谐三组数”； (3)已知三点均在函数（k为常数，）的图象上． ①若M，N，R这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数t的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点M，N，R分别向坐标轴作垂线，交于点P，Q，连接，若与相似，求k的值． 例3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为轴，垂足为． (1)求反比例函数的解析式． (2)点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为、是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． (3)是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，如果，求点的坐标标． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求的值及线段的长； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； (3)将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 变式3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知反比例函数图象如图所示，P，Q为该图象上两点，其中P的坐标为， (1)k的值； (2)若的面积是S，设Q的横坐标为t，写出S与t的函数关系式； (3)若x轴上有一点，使得．则______．（用含m的代数式表示） (4)根据以上信息，求出满足（3）条件下的点H的坐标． 考点二 反比例函数与旋转的性质综合 例1．（2026·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，放置一个含角的三角板．其中点为原点，在轴上，点在反比例函数的图象上．已知，，． (1)求的值； (2)将绕点逆时针旋转，使点旋转后落在轴上点处，求阴影部分的面积； (3)将沿轴平移得到，当反比例函数的图象经过斜边的中点时，平移的距离为__________． 例2．（2026·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 例3．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 变式1．（2026·山东青岛·一模）小明将含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标中，斜边在轴上，且，反比例函数的图象经过点．现将绕点顺时针旋转得，反比例函数恰好经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)连接，请判断点是否在直线上． 变式2．（2026·河南南阳·模拟预测）小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 变式3．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图1，反比例函数（）与一次函数（）的图象交于点点，一次函数与轴相交于点． (1)______，______． (2)连接，，则的面积是______； (3)直接写出时的取值范围______； (4)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针转90°，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数与相似的性质综合、反比例函数与旋转的性质综合专项训练 反比例函数与相似的性质综合、反比例函数与旋转的性质综合专项训练 考点目录 反比例函数与相似的性质综合 反比例函数与旋转的性质综合 考点一 反比例函数与相似的性质综合 例1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）定义：三个非零实数，若满足其中任一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三组数”． (1)实数2，3，4可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)已知三点均在函数（为常数，）的图象上． ①若这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点分别向坐标轴作垂线，交于点，连接，若与相似，求的值． 【答案】(1)实数2，3，4不可以构成“和谐三组数”，理由见解析 (2)①或或2；② 【分析】本题主要考查了新定义，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“和谐三组数”的定义求解即可； （2）①根据题意求出，进而求出，根据定义可得或或，据此讨论求解即可； ②可得，可证明只存在，则，求出，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：实数2，3，4不可以构成“和谐三组数”，理由如下： ， 实数2，3，4不可以构成“和谐三组数”； （2）解：①∵三点均在函数（k为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵构成“和谐三组数”， ∴或或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为或或2； ②∵， ∴； 由题意得，， ∵一条直线与反比例函数最多有两个交点，且点M、N、R都在反比例函数图象上， ∴M、N、R三点不共线， ∴， ∵， ∴， ∴与相似时，只存在， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得或（舍去）． 例2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． (1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若直线与x轴交于点，与双曲线交于，两点，且点A关于y轴对称的点D坐标为求证：B，C，D三点的横坐标构成“和谐三组数”； (3)已知三点均在函数（k为常数，）的图象上． ①若M，N，R这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数t的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点M，N，R分别向坐标轴作垂线，交于点P，Q，连接，若与相似，求k的值． 【答案】(1)实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”，理由见解析；； (2)见解析； (3)①或或2；②． 【分析】本题主要考查了新定义，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“和谐三组数”的定义求解即可； （2）先求出点A的坐标，进而求出点D的坐标，再联立直线和反比例函数解析式，由根与系数的关系得到，据此求出和的结果即可证明结论； （3）①根据题意求出，进而求出，根据定义可得或或，据此讨论求解即可；②可得，可证明只存在，则，求出，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”，理由如下： ∵，，， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）证明：在中，当时，， ∴， ∴， ∵点A和点D关于y轴对称， ∴， ∴； 联立得， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴构成“和谐三组数”； （3）解：①∵三点均在函数（k为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵构成“和谐三组数”， ∴或或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为或或2； ②∵， ∴； 由题意得，， ∵一条直线与反比例函数最多有两个交点，且点M、N、R都在反比例函数图象上， ∴M、N、R三点不共线， ∴， ∵， ∴， ∴与相似时，只存在， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得或（舍去）． 例3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为轴，垂足为． (1)求反比例函数的解析式． (2)点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为、是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． (3)是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，如果，求点的坐标标． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)． 【分析】（1）先根据点的横坐标为3求出点的坐标，由反比例函数的图象过点，从而可求得反比例函数的解析式； （2）先根据一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求出、两点的坐标，分两种情况讨论，分别求出点坐标； （3）先证明，根据等腰三角形的判定可得出，再利用勾股定理求得点的坐标，然后求出直线的解析式，再求出它与反比例函数的交点，即可得出点的坐标． 【详解】（1）将代入得：， ， 反比例函数的图象过点，将点的坐标代入得： 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似； 理由如下： 当时，得：， 解得：， 当时，得：； ， 如图1，于， ， 轴，垂足为， ， ， 是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧， 设， ， ， ， 点为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时，得：， ， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ， 当时，得：， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ， ， 综上所述，或； （3）如图2，连结交轴于点， ∵，， ， ，点只能在下方，（否则平行轴，不存在这样的第三象限的点） ， ， ， 又轴于点， ， ， 解得：， ， ， ， 设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， 直线与反比例函数的交点为与， 又是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限， ． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求的值及线段的长； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； (3)将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)；的面积为 (3) 【分析】（1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． 【详解】（1）解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为， 令，则，即， 所以， 故． （2）解：如图所示， 由题意可得：，， 故的横坐标为，D的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故， 解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． （3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线， 把代入得：， 解得：， ∴， 的图象沿着直线翻折后，如图所示， 是公共角， ∵时， ∴， ， ， 点M在直线上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数和一次函数的性质，相似三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，又的坐标为，为的中点，则，，，求出，故有双曲线的解析式为，然后把纵坐标代入解析式即可； （）当时，，即，所以，得出，然后根据待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的坐标为，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线（）上， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∵， 当时，， 即， ∴， ∴， ∴， 此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得解得， ∴直线的解析式为 综上所述，若和相似，则直线的解析式． 变式3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知反比例函数图象如图所示，P，Q为该图象上两点，其中P的坐标为， (1)k的值； (2)若的面积是S，设Q的横坐标为t，写出S与t的函数关系式； (3)若x轴上有一点，使得．则______．（用含m的代数式表示） (4)根据以上信息，求出满足（3）条件下的点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，轴于点，由比例函数k的几何意义可得，由得到即可求解； （3）先求出，，由，得到，即可求解； （4）过点作交轴于点M，可求直线表达式为，由平行得到直线表达式为：，则，再证明，那么，求出，由两点之间距离公式得到，代入即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，； （2）解：过点作轴于点，轴于点， 由比例函数k的几何意义可得：， ∴ ， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：过点作交轴于点M， 设直线， 代入得，， ∴， ∴直线表达式为， 设直线， 代入得，， 解得：， 直线表达式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 整理得，， ∴， ∴； 由（3）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 考点二 反比例函数与旋转的性质综合 例1．（2026·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，放置一个含角的三角板．其中点为原点，在轴上，点在反比例函数的图象上．已知，，． (1)求的值； (2)将绕点逆时针旋转，使点旋转后落在轴上点处，求阴影部分的面积； (3)将沿轴平移得到，当反比例函数的图象经过斜边的中点时，平移的距离为__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，得出是等腰直角三角形，，结合，由勾股定理得，过作轴于，得出是等腰直角三角形，， 根据在第二象限，得出，代入求解即可． （2）由旋转的性质得，，根据求解即可． （3）旋转后中，直角顶点在轴负半轴， ，设向左平移距离为，平移后，，得出斜边的中点坐标为，代入​求解即可． 【详解】（1）解：，， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴由勾股定理得， 解得：， 过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ∴， 在第二象限， ， 代入得． （2）解：由旋转的性质得，， ∴ ． （3）解：旋转后中，直角顶点在轴负半轴， ∴ ， ∵直角三角形斜边为， 设向左平移距离为，平移后，， 斜边的中点坐标为， 代入​得： ， 解得：， 即平移距离为​． 例2．（2026·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再求得，然后运用待定系数法求解即可； （2）连接，，，再证明可得，即，然后代入（1）所得的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：等腰直角三角形的顶点，， ，轴， ， 又∵点是的中点，设点， ， ， 反比例函数的图象经过点， ，解得：， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图：连接，，， ， ∴， 是等腰直角三角形，点是的中点， ，，， ，即 将点绕点逆时针旋转， ，即， ， ， 恰好落在的图象上， ， 例3．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②在反比例函数图象上，理由见解析 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， 由旋转得：，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴在反比例函数图象上． 变式1．（2026·山东青岛·一模）小明将含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标中，斜边在轴上，且，反比例函数的图象经过点．现将绕点顺时针旋转得，反比例函数恰好经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)连接，请判断点是否在直线上． 【答案】(1) (2)点不在直线上，见解析 【分析】（1）过点C作于点E，根据题意，得，得到，代入反比例函数表达式求解即可； （2）先确定，，确定直线的表达式，再计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E， ， ， ， 由反比例函数的图象经过点， ， 故反比例函数的表达式为． （2）解：， ， ， 根据旋转的性质，得， 设， 根据题意，得， ， 设的表达式为， 根据题意，得， 解得， ， 当时，， 故不在直线：上． 变式2．（2026·河南南阳·模拟预测）小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 【答案】(1) (2)点不在反比例函数图象上，理由见详解 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，结合含30度角的直角三角形的性质，正切值的计算得到，根据旋转的性质，等面积法得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：点不在反比例函数图象上，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， 同理，， ∵，，， ∴， ∵将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点， ∴，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点不在反比例函数图象上． 变式3．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图1，反比例函数（）与一次函数（）的图象交于点点，一次函数与轴相交于点． (1)______，______． (2)连接，，则的面积是______； (3)直接写出时的取值范围______； (4)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针转90°，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)4 (3)或 (4) 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得的值，再将代入，即可求解； （2）利用，即可求解； （3）根据图象进行判断，的图象在的图象下方即可； （4）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 故答案为：；． （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴, 故答案为：4． （3）解：当或时， 的图象在的图象下方，即， 故答案为或． （4）解：设点的坐标为， 过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴，解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $