精品解析：北京市第一零一中学2025～2026学年下学期期中测试卷八年级 数学

北京市第一零一中学2025~2026学年度第二学期期中测试卷 初二数学 2026.4 一、选择题（本题共30分，每小题3分，第1—10题均有四个选项，符合题意的只有一个） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母，2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此求解即可 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式。 2. 下列不能组成直角三角形三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 8，15，17 【答案】A 【解析】 【分析】判断三条线段能否构成直角三角形，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：A.∵，， ∴，不能构成直角三角形，符合题意； B. ∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意； C. ∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意； D. ∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查二次根式的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【分析】解：选项A：，故错误． 选项B：二次根式加法需满足同类根式才能合并，而与非同类根式，无法直接相加，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 4. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数； B．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数； D．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数． 5. 如图，在菱形中，点分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理可得，由菱形的性质可求菱形的周长，掌握菱形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵点分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长， 故选：D． 6. 某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（ ） A. h每增加，t减小 B. 当时， C. 随着h逐渐升高，t逐渐变小 D. 随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 7. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 8. 一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察每个选项的函数图象，得出的取值范围，再进行分析，即可作答． 【详解】解：A、观察函数图象，得出经过第一、二、三象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，故，则异号，与相矛盾，故不符合题意； B、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； C、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，则异号，故符合题意； D、观察函数图象，得出经过第一、二、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； 故选：C 9. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 10. 如图，已知正方形，，点E是线段的中点，连接，点M是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，取的中点Q，则线段的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定动点的轨迹，由在上运动且为中点可知的轨迹为线段（为正方形中心，为中点）；动点的轨迹为线段；分别求出的最大值和最小值，最后求差即可． 【详解】解：取的中点，连接交于点，连接、、， ∵正方形，，点E是线段的中点， ∴，，， ∵点E是线段的中点， ∴是的中位线， ∴，，， 同理由中位线可得，，，， 四点共线， ∴点的轨迹是线段， ∵点在线段上， 当与重合，与重合时，取得最大值，此时； 当且与重合时，取得最小值，此时， ∴， 解得， 的最小值为， 线段的最大值与最小值的差为． 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】n边形的内角和为 ，多边形的外角和为． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： ， 解得 即这个多边形是六边形． 13. 将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再令求解横坐标即可得到交点坐标． 【详解】解：将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，根据平移规律“上加下减”， 可得平移后的函数解析式为， 令，可得， 解得， ∴平移后的函数图像与轴的交点坐标为． 14. 今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，得，再根据勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 红丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：． 15. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为______． 【答案】60 【解析】 【分析】通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出矩形的长和宽，最后利用矩形面积减去三个正方形面积即可求解． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得，  如图，延长交于点，延长交于点，  四边形是矩形， ，  四边形、四边形、四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和 中，   ， ，  ， 同理可证， ，  矩形的长，  矩形的宽，  矩形的面积为，  空白部分的面积为． 16. 如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据图2可得点Q在时候运动到点，即可解答； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点，计算此时的距离，即可解答． 【详解】解：（1）根据图2可得点Q在时候运动到点， ； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点， ， 此时， ， 点到达点C后其速度将变为每秒6个单位长度， ∴当两点停止运动时，． 三、解答题（共52分，其中17题6分，18题4分，19题到24题每题5分，25题6分，26题6分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E，F分别为，的中点，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先理解平行四边形的性质得，再证明，根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 下面是小明设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：中，． 求作：矩形． 作法：如图 ①以点A为圆心，长为半径作弧； ②以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线异侧）； ③连接、． 则四边形就是所求作的矩形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）． 证明： ① ， ② ， ∴四边形是平行四边形（ ③ ）． 又， ∴四边形是矩形（ ④ ）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据小明设计的尺规作图过程完成作图即可； （2）根据平行四边形和矩形的判定定理补充证明过程即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 又， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 20. 一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求该一次函数的表达式，并在下图中画出该函数图象； （2）若y轴上有一点C，且，直接写出点C的坐标为______． 【答案】（1），图见详解 （2）或． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法进行求解，得，先在平面直角坐标系上描点，再连接，即可得出该函数图象； （2）根据y轴上有一点C，且，列式，解得，即可得出的坐标． 【小问1详解】 解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴经过点， 先在平面直角坐标系上描点，再连线，如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）得经过点， ∵y轴上有一点C，且， ∴， 即， 解得， 则或， ∴的坐标为或． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴在矩形中，， ∵在矩形中，， ∴在中，． 22. 某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）无人机在75米高的上空停留的时间是___________分钟； （2）在上升或下降过程中，无人机的速度为__________米/分； （3）图中a表示的数是______；b表示的数是______； （4）请写出无人机在50米高的上空飞行时，对应的时间t的取值范围___________． 【答案】（1）5 （2）25 （3）2，15 （4） 【解析】 【分析】（1）根据图像找到无人机在75米高空的起止时间，用结束时间减去开始时间，算出停留时长； （2）利用分钟的高度变化，根据速度公式求出无人机的速度即可； （3）由（2）中求出的速度结合路程即可得出答案； （4）由（2）中求出的a的值结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，分钟这一段为无人机在75米高的上空停留的时间段， 故停留的时间为（分钟）； 【小问2详解】 解：由题意，无人机全程在上升和下降时的速度相同， 由图象可知，分钟这一段，无人机从50米上升到75米， 故速度为（米/分）； 【小问3详解】 解：由（2）可知，无人机的速度为25米/分， 故， ，即； 【小问4详解】 解：∵， ∴无人机在50米高的上空飞行时，对应的时间t的取值范围为； 23. 【问题初探】 （1）如图1，正方形的边长为2，且顶点O在正方形两条对角线的交点处，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的小颖给出这样的解题思路：如图2，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化为小正方形的面积．请你写出完整的证明过程，并计算出四边形的面积． 【类比探究】 （2）如图3，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______，______． 【答案】（1）证明见详解，1 （2）4,4 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题； 【小问1详解】 解： ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，边长为， ，， ， ， 是的中位线， ， 同理：， ， 又∵，， ，四边形是正方形， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，，， ，点是边的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ，， ，， 24. 我们知道利用勾股定理，可以画出长为，、，…的线段，按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示，，、，…的点，如图1：反过来任何一个正数，我们都可以此正数为斜边长构造直角三角形，即存在两个正数，它们的平方和等于这个正数的平方．以形助数，以数解形，用数形结合的方法解决问题． “数形结合”和“建模思想”是数学中的两种很重要的思想方法，请先阅读以下材料，然后解答后面的问题．材料：在学习过程中，数学兴趣小组遇到了这样一个问题： 已知a，b均为正实数，且，求的最小值． 在问题探究过程中，小明发现可看作两直角边分别为a和3的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和2的直角三角形的斜边长，由此小明想到了借助勾股定理，用数形结合的方法解决此问题，他的思路如下： 小明先构造了两个直角三角形和，并使直角边和在同一直线上（如图2），向右平移直角三角形使点B和E重合（如图3）．这时，问题就转化为“点B在线段上的什么位置时，线段最短”，小明借助已有经验顺利解决了此问题． （1）直接写出此问题中的最小值___________________． （2）试根据以上学习，解决以下问题： ①代数式的最小值为________________． ②若x满足，则x的值为_________________． 【答案】（1）13 （2）①② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接补全图形，再结合勾股定理列式计算，即可作答； （2）①根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； ②先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，过点D作直线的对称点，连接交于，过点作的延长线，如图所示： ∵的延长线，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 即的最小值为． 【小问2详解】 解：①如图所示： 与（1）同理，得四边形是矩形， ∴，， ∴， 故的最小值为 ②构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 25. 对于平行四边形，当满足，且时，则称平行四边形为n阶平行四边形． （1）在平面直角坐标系中，已知，， ①若，平行四边形为1阶平行四边形，请写出一个符合题意的点D的坐标______． ②若点C与原点O重合，当时．直接写出n的取值范围______． （2）若，，直线与3阶平行四边形有公共点，直接写出p的取值范围______（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）①或；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可证明平行四边形为正方形，再根据正方形的性质即可求解；②根据题意可得，再讨论两种临界情况：和，利用勾股定理求出对应n的取值，结合图形即可得出答案； （2）根据题意可得，，作交延长线于点，连接，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求出的长，再分三种情况讨论：、、，找出极端位置分析即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，点， 又， ∴， ∵平行四边形为1阶平行四边形， ∴，， ∴平行四边形为正方形， ∴，， ∴轴， ∴点D的坐标为或； ②点在轴上，点在轴上， ∵点C与原点O重合， ∴，， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴当时．n的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵平行四边形为3阶平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 如图，作交延长线于点，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 若，则点与原点重合， ∵直线经过原点， ∴直线与平行四边形有公共点， ∴符合题意； 若，当点恰好在上，且直线时， 则， ∵直线是第二、四象限的平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵直线与3阶平行四边形有公共点， ∴； 若，当点恰好在上，且直线时， 同理可得，， ∵直线与3阶平行四边形有公共点， ∴； ∴综上所述，p的取值范围为． 26. 菱形中，（），点是菱形外一点，连接，，作点关于的对称点，在射线上取点，连接，使得． （1）如图1，，当点在延长线上，且点为延长线与延长线的交点．此时的值为______，线段的长度为______． （2）如图2，连接，作交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°； （2），证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题目信息可知，与重合，根据对称的性质得，再根据菱形的性质得，由此可知，从而求得；通过导角计算，可得，结合菱形的性质可知为等边三角形，即可求出长度； （2）根据结论，作中点，利用斜边中线定理可得．，，借助菱形和已知角度，构造等腰三角形，由此可得，则，，则再结合轴对称的性质和等角对等边得，即可证得． 【小问1详解】 解： ， ， 由题可知，与重合， ，关于对称， ，，， 四边形为菱形， ， ， 即，， 垂直平分， ， ， 为等边三角形， ， ， 故，； 【小问2详解】 ，证明如下， 过点作交于点，在上截取，作中点，连接，，，， 由对称可知，， ，， ， ， 菱形中，， ， ， ， ， ，， ， 且点为中点， 中，， ， ， 即． 【点睛】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，能够利用轴对称的性质发现隐含的等边三角形，以及利用“手拉手”模型构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一零一中学2025~2026学年度第二学期期中测试卷 初二数学 2026.4 一、选择题（本题共30分，每小题3分，第1—10题均有四个选项，符合题意的只有一个） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不能组成直角三角形三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 8，15，17 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，点分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 6. 某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（ ） A. h每增加，t减小 B. 当时， C. 随着h逐渐升高，t逐渐变小 D. 随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 7. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 10. 如图，已知正方形，，点E是线段的中点，连接，点M是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，取的中点Q，则线段的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 13. 将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的函数图像与x轴的交点坐标为______． 14. 今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 15. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为______． 16. 如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 三、解答题（共52分，其中17题6分，18题4分，19题到24题每题5分，25题6分，26题6分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E，F分别为，的中点，求证：． 19. 下面是小明设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：中，． 求作：矩形． 作法：如图 ①以点A为圆心，长为半径作弧； ②以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线异侧）； ③连接、． 则四边形就是所求作的矩形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）． 证明： ① ， ② ， ∴四边形是平行四边形（ ③ ）． 又， ∴四边形是矩形（ ④ ）． 20. 一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求该一次函数的表达式，并在下图中画出该函数图象； （2）若y轴上有一点C，且，直接写出点C的坐标为______． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求线段的长度． 22. 某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）无人机在75米高的上空停留的时间是___________分钟； （2）在上升或下降过程中，无人机的速度为__________米/分； （3）图中a表示的数是______；b表示的数是______； （4）请写出无人机在50米高的上空飞行时，对应的时间t的取值范围___________． 23. 【问题初探】 （1）如图1，正方形的边长为2，且顶点O在正方形两条对角线的交点处，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的小颖给出这样的解题思路：如图2，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化为小正方形的面积．请你写出完整的证明过程，并计算出四边形的面积． 【类比探究】 （2）如图3，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______，______． 24. 我们知道利用勾股定理，可以画出长为，、，…的线段，按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示，，、，…的点，如图1：反过来任何一个正数，我们都可以此正数为斜边长构造直角三角形，即存在两个正数，它们的平方和等于这个正数的平方．以形助数，以数解形，用数形结合的方法解决问题． “数形结合”和“建模思想”是数学中的两种很重要的思想方法，请先阅读以下材料，然后解答后面的问题．材料：在学习过程中，数学兴趣小组遇到了这样一个问题： 已知a，b均为正实数，且，求的最小值． 在问题探究过程中，小明发现可看作两直角边分别为a和3的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和2的直角三角形的斜边长，由此小明想到了借助勾股定理，用数形结合的方法解决此问题，他的思路如下： 小明先构造了两个直角三角形和，并使直角边和在同一直线上（如图2），向右平移直角三角形使点B和E重合（如图3）．这时，问题就转化为“点B在线段上的什么位置时，线段最短”，小明借助已有经验顺利解决了此问题． （1）直接写出此问题中的最小值___________________． （2）试根据以上学习，解决以下问题： ①代数式的最小值为________________． ②若x满足，则x的值为_________________． 25. 对于平行四边形，当满足，且时，则称平行四边形为n阶平行四边形． （1）在平面直角坐标系中，已知，， ①若，平行四边形为1阶平行四边形，请写出一个符合题意的点D的坐标______． ②若点C与原点O重合，当时．直接写出n的取值范围______． （2）若，，直线与3阶平行四边形有公共点，直接写出p的取值范围______（用含m的代数式表示）． 26. 菱形中，（），点是菱形外一点，连接，，作点关于的对称点，在射线上取点，连接，使得． （1）如图1，，当点在延长线上，且点为延长线与延长线的交点．此时的值为______，线段的长度为______． （2）如图2，连接，作交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $