第2章 直线与圆的位置关系单元综合巩固提升卷 2025-2026学年浙教版九年级下册数学

**基本信息** 本卷为初中数学“直线与圆的位置关系”单元综合巩固提升卷，全面覆盖切线判定与性质、内切圆、动态几何等核心知识点，通过基础题与创新题结合，适配单元复习，培养数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|切线判定（第1题）、切线长定理（第2题）、内切圆半径（第3题）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6/18|位置关系（第11题）、新定义“重切圆”（第12题）、赵爽弦图（第13题）|融入文化素材，考查创新应用| |综合题|8/72|切线证明与相似（17题）、切线长定理与直角三角形（23题）|分层设计，三问递进，强化逻辑推理与模型构建|

第2章 直线与圆的位置关系 单元综合巩固提升卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中，假命题是（　　） A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线 C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（　　） A．PA＝PB B．AD＝BD C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB 3．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，AB为的直径，CD是的切线，切点为，连接AC，若，则的度数为（　　）． A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（　　） A． B． C． D． 6．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式.若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（　　） A．①②④ B．②③⑤ C．③④ D．②⑤ 8．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切的⊙P的圆心是（2，a）且（a＞2）， 函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是（　　） A．2 B．2+ C．2+ D．2 9．如图，在等边三角形ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，F是AC上的点，则下列说法中错误的是（　　） A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 10．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是　 　． 12．定义：以直角三角形的重心为圆心，且与该直角三角形的一边相切的圆叫做这个直角三角形的重切圆.斜边为10，重切圆半径为2的直角三角形的面积是　 　. 13．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为　 　. 14．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为　 　. 15．如图，圆心恰好为正方形的中心，已知，的直径为1，现将沿某一方向平移，当它与正方形的某条边相切时停止平移，记平移的距离为，则的取值范围是　 　. 16．如图，已 知∠AOB=30° ，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有一个交点，则r的取值范围是　 　 三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，AB是的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点，于E，过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G，连接AD与BC交于点H． （1）求证：GD是的切线； （2）求证：； （3）若，，求AH的值． 18．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径OD的长； （3）求线段BM的长． 19．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 20．如图，已知 内接于⊙ ，直径 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．过点 作⊙ 的切线，交 的延长线于点 ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求证： ； （3）在（2）的条件下，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求 的值 21．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF＝CF． （3）若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的长． 22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）设AC=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BF=2， ，求AD的长. 23．如图，AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO=6，CO=8. （1）判断△OBC的形状，并证明你的结论； （2）求BC的长； （3）求☉O的半径OF的长. 24．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点． （1）在图1中连结，求证：； （2）若的半径为，求的值； （3）如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中，假命题是（　　） A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线 C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【答案】A 【解析】【解答】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误； B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意； C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意； D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据切线的判定定理及性质定理即可一一判断得出答案. 2．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（　　） A．PA＝PB B．AD＝BD C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB 【答案】D 【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD. 因此A.B.C都正确. 无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的. 综上可知：只有D是错误的. 故答案为：D. 【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解. 3．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】【解答】解：设内切圆的半径为r 解得：r=1 故答案为：D. 【分析】根据三角形的周长乘以内切圆半径，再除以2即得三角形的面积，据此即可求解. 4．如图，AB为的直径，CD是的切线，切点为，连接AC，若，则的度数为（　　）． A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解析】【解答】解：连接OC ∵CD是O的切线 ∴OCCD ∴∠OCD= 90° ∵∠BAC = 40°， OC = OA ∴∠OCA= ∠BAC =40° ∴∠ACD= 90°- 40°=50° 故选：C. 【分析】本题主要考查圆的切线的应用，由切线得出∠OCD= 90°，再利用等腰三角形得出∠OCA= 40°，直接求解即可. 5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵A（-8，0），B（0，6）， ∴， ∵BP⊥AC， ∴∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的圆弧上， 当AC、AC'与圆O相切时，即OC⊥AC， ∵sin∠OAC=， ∴∠OAC=30°， ∴∠C'AC=60°， ∴弧PP'的弧度=120°， ∴弧PP'的长为， ∴当点C在圆O上运动一周，点P运动的路径长等于. 故答案为：D. 【分析】连接AB，先根据两点间的距离公式算出AB的长，由直径所对的圆周角是90°可得点P在以AB为直径的圆弧上运动，再由当AC与圆相切时，此时点P是运动路径的两端点，由∠OAC得正弦函数及特殊锐角三角函数值得∠OAC=30°，则∠C'AC=60°，弧PP'的弧度=120°，进而根据弧长计算公式算出弧PP'的长，即可解决此题. 6．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式.若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴ ， 如图， 设这个三角形内切圆的半径为， 则， 即， ∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴， 解得：， ∴这个三角形内切圆的半径为. 故答案为：B. 【分析】设这个三角形内切圆的半径为，由题意把a、b、c的值代入公式计算求得S的值，然后根据三角形的面积S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC可求解. 7．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（　　） A．①②④ B．②③⑤ C．③④ D．②⑤ 【答案】C 【解析】【解答】解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点， ∴=≠， ∴∠BAD≠∠ABC，故①错误； ∵≠， ∴+≠+， 即≠， ∴AD≠BC，故②错误； ∵弦CE⊥AB于点F， ∴A为的中点，即=， 又∵C为的中点， ∴=， ∴=， ∴∠CAP=∠ACP， ∴AP=CP． ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACQ=90°， ∴∠PCQ=∠PQC， ∴PC=PQ， ∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点， ∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确； 连接OD， 则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA， ∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°， ∴∠GPD=∠GDP； ∴GP=GD，故④正确； ∵CE⊥AB， ∴=， ∵≠， ∴≠， ∴∠GDA≠∠BCE， 又∵∠BCE=∠PQC， ∴∠GDA≠∠PQC， ∴CB与GD不平行，故⑤错误． 综上可知，正确的结论是③④，一共2个． 故选：C． 【分析】由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误； 由于与不一定相等，那么与也不一定相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理可知②错误； 先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到=，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确； 连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可知④正确； 由于与不一定相等，而由垂径定理可得出=，则与不一定相等，∠GDA与∠BCE不一定相等，又∠BCE即∠PCQ=∠PQC，所以∠GDA与∠PQC不一定相等，可知⑤错误． 8．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切的⊙P的圆心是（2，a）且（a＞2）， 函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是（　　） A．2 B．2+ C．2+ D．2 【答案】C 【解析】【解答】解：作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图， ∵⊙P与y轴相切， ∴PH=2，即⊙P的半径为2， ∵PC⊥AB， ∴BC=CD=AB=×2=， 在Rt△BPC中，PC===1， ∵直线y=x为第一、三象限的角平分线， ∴∠DOE=45°， ∴∠ODE=45°，DE=OE=2， ∴∠PDC=45°， ∴PD=PC=， ∴PE=PD+DE=2+． 故选C. 【分析】作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图，先根据切线的性质得PH=2，即⊙P的半径为2，再根据垂径定理，由PC⊥AB得到BC=CD=AB=，接着在Rt△BPC中利用勾股定理可计算出PC=1，由直线y=x为第一、三象限的角平分线得到∠DOE=45°，则∠ODE=45°，DE=OE=2，然后判断△PCD为等腰直角三角形得到PD=PC=，所以PE=PD+DE=2+，即a=2+． 9．如图，在等边三角形ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，F是AC上的点，则下列说法中错误的是（　　） A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 【答案】C 【解析】【解答】解：连接OE， △ ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵OB=OE ∴△ OBE 是等边三角形， ∴∠OEB=60°， ∴OE∥AC， EF⊥AC ∴OE⊥EF ∴EF是⊙O的切线，故选项A说法正确，不符合题意； 若EF是⊙O的切线， ∴OE⊥EF，由A得：OE∥AC， ∴ EF⊥AC ，故选项B说法正确，不符合题意； 由A得△ OBE 是等边三角形， BE=EC ∴BC=AB=2BO ∴OA=OB 过O作OH⊥AC于H， 故选项C说法错误，符合题意； BE=EC， ∴ ∴ AC是⊙O的切线 ，故选项D说法正确，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】连接OE，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，结合等腰三角形的性质可得△ OBE 是等边三角形，可推出OE∥AC，结合 EF⊥AC， 可判断A选项；若EF是⊙O的切线，OE⊥EF，结合平行线的性质可判断B选项；根据等边三角形的性质得到OA=OB，过O作OH⊥AC于H，，可判断选项C；根据等边三角形的性质可推出，可判断D选项. 10．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解： 如图， 直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H， 当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ）， 当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0）， ∴CD= =4， ∵ OH•CD= OC•OD， ∴OH= = ， 连接OA，如图， ∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴PA= = ， 当OP的值最小时，PA的值最小， 而OP的最小值为OH的长， ∴PA的最小值为 = ． 故答案为：D． 【分析】作OH⊥CD于H，先利用一次函数解析式得到D、C的坐标，再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH，连接OA，利用切线的性质得出用含OP的代数式表示PA，利用垂线段最短求PA的最小值. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是　 　． 【答案】相离 【解析】【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm， ∴5＞4， 即d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故答案为：相离． 【分析】设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，如果dr，那么直线与圆相离。根据题意知d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离。 12．定义：以直角三角形的重心为圆心，且与该直角三角形的一边相切的圆叫做这个直角三角形的重切圆.斜边为10，重切圆半径为2的直角三角形的面积是　 　. 【答案】24 【解析】【解答】解：①如图1，设圆与AC相切于点G，I为Rt△ABC的中线AF与BE的交点，连接EF，则EF∥AB，EF=AB， ， ， ， 与相切， 即 又， 又为的中点， 在中，， ； 如图2，设与AB相切于点D，过点C作CG⊥AB于点G， ， ， ， ， 故不符合题意. 故答案为：24. 【分析】①设圆与AC相切于点G，I为Rt△ABC的中线AF与BE的交点，连接EF，则EF∥AB，EF=AB，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△EFI∽△BAI，由相似三角形对应边成比例得，由切线的性质得∠AGI=90°，判断出IG∥BC，推出△AGI∽△ACF，由相似三角形对应边成比例得，据此可得CF的长，在Rt△ACB中根据勾股定理算出AC，进而根据三角形面积计算公式即可算出△ABC的面积；②设与AB相切于点D，过点C作CG⊥AB于点G，结合切线的性质可判断出ID∥CG，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△FID∽△FCG，由相似三角形对应边成比例得，进而结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CG=3ID=6＞5=CF，根据垂线段最短可得此种情况不符合题意. 13．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为　 　. 【答案】289 【解析】【解答】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为. 故答案为：289. 【分析】设四个全等的直角三角形的三边分别为a、b、c，较长的直角边为a，较短的直角边为b，c为斜边，根据题意可得，(a-b)2=49，表示出a、b，结合勾股定理可得c的值，进而可得大正方形的面积. 14．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示： ∵CB与相切于点B， ∴， ∴， ∴四边形ACBD为矩形， ∴，， 设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：， 即r2＝（r−6）2＋82， 解得：， 即的半径为. 故答案为：. 【分析】连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，根据切线的性质可得OB⊥CB，推出四边形ACBD为矩形，则AD=CB=8，BD=AC=6，设圆的半径为rcm，然后在Rt△AOD中，根据勾股定理求解即可. 15．如图，圆心恰好为正方形的中心，已知，的直径为1，现将沿某一方向平移，当它与正方形的某条边相切时停止平移，记平移的距离为，则的取值范围是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：作出图形，当圆心O运动到E点时(与正方形的两边相切)，d最大，当圆心O运动到F点时（OF⊥EF），d最小， 正方形ABCD的边长为4， ∴对角线为，则， 的直径为1， 则， ∴；， 则d的范围为， 故答案为：. 【分析】如图，作出图形，当圆心O运动到E点时(与正方形的两边相切)，d最大，当圆心O运动到F点时（OF⊥EF），d最小，根据正方形的性质、切线的性质及勾股定理可得BD=，，则EO=OB-BE=，FO=，从而即可得出答案. 16．如图，已 知∠AOB=30° ，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有一个交点，则r的取值范围是　 　 【答案】r>4或r=2 【解析】【解答】解：当射线OA与 以C为圆心，r为半径的圆有一个交点时，则r＞OC，或射线OA与圆C相切 如图所示，圆C的半径r＞OC时，只有一个交点，则r＞4； 如图所示，圆C与射线OA相切于点E时，只有一个交点E，连接CE ∴ ∠OEC=90° ∵ ∠AOB=30°，OC=4 ∴ CE=2 即r=2 综上， 以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有一个交点，则r的取值范围是r＞4或r=2. 【分析】本题考查直线和圆的交点，圆的切线性质，30°直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线和圆的交点问题是解题关键。分两种情况讨论，当圆C的半径r＞OC时，只有一个交点，当圆C与射线OA相切于点E时，只有一个交点E，可得r的取值范围. 三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，AB是的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点，于E，过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G，连接AD与BC交于点H． （1）求证：GD是的切线； （2）求证：； （3）若，，求AH的值． 【答案】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵D是的中点， ∴OD⊥BC，OD平分BC， ∵DM∥BC， ∴DM⊥OD， ∴GD是⊙O的切线； （2）证明：∵D是的中点 ∴∠GAD＝∠BAD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB=90°，即AG⊥BC， ∵DM∥BC， ∴AG⊥DM， ∴∠AGD＝∠ADB＝90° ∴△AGD∽△ADB ∴ ∴AD2＝AB•AG （3）解：∵D是的中点， ∴BD＝CD＝6， ∴BN＝BC，AB＝， ∵∠DAB＝∠CBD＝∠HBD，∠ADB＝∠BDH＝90°， ∴△ABD∽△BHD， ∴ ∴ ∴AH＝AD－DH＝ 【解析】【分析】（1）连接OD，由垂径定理的推论可得OD垂直平分BC，根据平行线可得DM⊥OD，根据圆的切线的判定可求解； （2）由圆周角定理可得∠GAD=∠BAD，由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质可推出∠AGD=∠ADB=90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AGD∽△ADB，于是可得比例式，再把比例式化为乘积式即可； （3）由题意，在Rt△ABD中，用勾股定理可求得AB的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDH∽△ADB，于是可得比例式，由比例式可求出HD的值，然后根据线段的构成AH=AD-DH可求解. 18．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径OD的长； （3）求线段BM的长． 【答案】（1）证明：∵OA= OD， ∴∠A=∠ABD= 30°， ∴∠A=∠ADO= 30°， ∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°， ∴∠ODB= 180° -∠DOB-∠B = 90°， ∵OD是半径， ∴BD是 ⊙O 的切线； （2）解：)∵∠ODB= 90°，∠DBC= 30°， ∴ OD=OB， ∵OC = OD， ∴BC=OC=1， ∴⊙O的半径OD的长为1； （3）解：∵OD= 1， ∴DE= 2，BD=， ∴ BE==， ∵BD是 ⊙O 的切线，BE是 ⊙O 的割线， ∴BD2=BM·BE， . 【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO= 30°，求出∠DOB= 60° ，再求出∠ODB = 90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD=OB，即可得到结论；(3)解直角三角形得到DE=2，BD=，根据勾股定理得到BE==，根据切割线定理即可得到结论. 19．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90° ∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线． （2）解：如图1，连接OF，AF，BF， ∵DA=DO，CD⊥OA， ∴AF=OF， ∵OA=OF， ∴△OAF是等边三角形， ∴∠AOF=60° ∴∠ABF= ∠AOF=30°； （3）解：如图2，过点C作CG⊥BE于G， ∵CE=CB， ∴EG= BE=5， ∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC， ∴∠GCE=∠A， ∴△ADE∽△CGE， ∴sin∠ECG=sin∠A= ， 在Rt△ECG中， ∵CG= =12， ∵CD=15，CE=13， ∴DE=2， ∵△ADE∽△CGE， ∴， ∴AD= ，CG= ， ∴⊙O的半径OA=2AD= ． 【解析】【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线； （2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数； （3）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由于∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，得到∠GCE=∠A，△ADE∽△CGE，于是得到sin∠ECG=sin∠A=，在Rt△ECG中求得CG==12，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果． 20．如图，已知 内接于⊙ ，直径 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．过点 作⊙ 的切线，交 的延长线于点 ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求证： ； （3）在（2）的条件下，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求 的值 【答案】（1）解：连接BD，如图， ∵DG为切线， ∴AD⊥DG，∴∠ADG=90°， ∵AD为直径，∴∠ABD=90°， ∠GDB+∠G=90°，∠ADB+∠GDB=90°， ∴∠ADB=∠G=50°， ∴∠ACB=∠ADB=50° （2）证明：连接CD，如图， ∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB， ∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD， 而∠ABC=∠ADC，∴∠ABE=∠AEB=∠ODC=∠OCD， ∴∠BAD=∠FOC （3）解：∵∠BAD=∠FOC，∠ABD=∠OFC， ∴△ABD∽△OFC， ∴ ， ∵ 设 则 ∴ ∴ ∵ ∴设OF=4k，则OA=5k， 在Rt△OCF中，OC=5k，CF= ∴tan∠CAF= 【解析】【分析】（1）连接BD，如图，利用切线性质和圆周角定理得到∠ADG=∠ABD=90°，再利用等角的余角相等得到∠ADB=∠G=50°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数；（2）连接CD，如图，利用等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，∠ODC=∠OCD，再利用圆周角定理得到∠ABC=∠ADC，然后根据三角形内角和可判断∠BAD=∠DOC；（3）先证明△ABD∽△OFC得到 ，设 则 则利用三角形面积公式得到 则可设OF=4k，则OA=5k，利用勾股定理计算出CF，然后根据正切的定义求解． 21．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF＝CF． （3）若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的长． 【答案】（1）证明：连结OC，如图， ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线 （2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠2+∠BCD＝90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠2， ∵C是劣弧AE的中点， ∴ ， ∴∠1＝∠B， ∴∠1＝∠2， ∴AF＝CF （3）解：解：∵CG∥AE， ∴∠FAD＝∠G， ∵sinG＝0.6， ∴sin∠FAD＝ ＝0.6， ∵∠CDA＝90°，AF＝CF＝4， ∴DF＝2.4， ∴AD＝3.2， ∴CD＝CF+DF＝6.4， ∵AF∥CG， ∴ ， ∴ ∴DG＝ ， ∴AG＝DG﹣AD＝5． 【解析】【分析】（1）利用垂径定理、平行的性质，得出OC⊥CG，得证CG是⊙O的切线.（2）利用直径所对圆周角为 和垂直的条件得出∠2=∠B，再根据等弧所对的圆周角相等得出∠1=∠B，进而证得∠1=∠2，得证AF=CF.（3）根据直角三角形的性质，求出AD的长度，再利用平行的性质计算出结果. 22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）设AC=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BF=2， ，求AD的长. 【答案】（1）证明：连接OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵EF∥CB， ∴∠E＝∠ACB＝90°. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. 又∠OAD＝∠EAD， ∴∠ODA＝∠EAD. ∴EA∥OD. ∴∠ODF＝∠E＝90°. ∴EF是⊙O的切线 （2）解：连接CD. ∵EF∥BC， ∴∠ABC＝∠F. ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠F＝∠ADC. ∵∠DAF＝∠CAD， ∴△FAD∽△DAC. ∴ . ∴AD2＝FA·CA＝xy. 即 （3）解：设⊙O半径为r. Rt△DOF中， ，即 .解得r＝1. Rt△ABC中， ，即 . ∴AC＝ . 又AF＝1＋1＋2＝4， 由(2)知 . 【解析】【分析】（1） 连接OD.根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°.利用两直线平行，同位角相等，可得∠E＝∠ACB＝90°.根据等边对等角及角平分线定义，可得∠ODA＝∠EAD，利用内错角相等，两直线平行，可得EA∥OD，利用两直线平行同位角相等，可得∠ODF＝∠E＝90°，即证EF是⊙O的切线. （2） 连接CD. 根据两角分别相等的两个三角形相似，可证 △FAD∽△DAC.，利用相似三角形的对应边成比例，可得 ，求出 AD2＝FA·CA＝xy即可. （3）设⊙O半径为r.Rt△DOF中 ，由 ，可得 ，求出r=1，从而可得AF=4.Rt△ABC中， ，可求出AC= ，利用AD2＝FA·CA，即可求出AD的长. 23．如图，AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO=6，CO=8. （1）判断△OBC的形状，并证明你的结论； （2）求BC的长； （3）求☉O的半径OF的长. 【答案】（1）解：△OBC是直角三角形.证明：∵AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G，∴∠OBE=∠OBF= ∠EBF，∠OCG=∠OCF= ∠GCF.∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF=180°. ∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°，即△OBC是直角三角形 （2）解：∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8， ∴BC= =10 （3）解：∵BC与☉O相切于点F，∴OF⊥BC.∴OF= = =4.8. 【解析】【分析】（1）△OBC是直角三角形.根据切线长定理得出∠OBE=∠OBF= ∠EBF，∠OCG=∠OCF= ∠GCF，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠EBF+∠GCF=180°.故∠OBF+∠OCF=90°，根据三角形的内角和得出∠BOC=90°，即△OBC是直角三角形 ； （2）在Rt△BOC中，根据勾股定理即可得出BC的长； （3）根据切线的性质定理得出OF⊥BC，然后根据三角形的面积法得出OB·OC=BC·OF，从而得出答案。 24．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点． （1）在图1中连结，求证：； （2）若的半径为，求的值； （3）如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵是的切线， ∴ ∵是直径， ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接 ∵是直径， ∴， 又∵平分， ∴ ∴， ∵是直径，的半径为， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ​​​​​​​ （3）解：．理由如下： 如图，连接、， 由（2）可得， ，， ，， ∵ ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ，， ，， 设， 则， ， 又， ， ， ， 即， ， 在中，， ． 【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可求出答案. （2）连接并延长交于点，连接，根据角平分线定义可得，，再根据据余弦定义可得，则，化简计算即可求出答案. （3）连接、，根据圆周角定义及角之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，再设，根据勾股定理可得，从而，结合，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理即可求出答案. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $