第2章 直线与圆的位置关系 单元综合精选提升卷 2025-2026学年浙教版九年级下册数学

**基本信息** 本卷为初中数学“直线与圆的位置关系”单元复习提升卷，通过选择、填空、综合题梯度设计，覆盖切线性质、位置关系判定等核心知识，注重逻辑推理与空间观念考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直线与圆位置关系、切线判定（如第1题位置关系判断）|基础概念辨析，结合几何直观| |填空题|6/18|切线性质、阴影面积计算（如第12题扇形与三角形面积）|核心公式应用，渗透空间观念| |综合题|8/72|切线证明与几何计算（如17题切线性质与角度计算）|分层设计，强调推理能力与数学表达|

第2章 直线与圆的位置关系 单元综合精选提升卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 2．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（　　） A．1.5 B．2 C． D． 3．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝ ，PB＝1，那么∠APC等于（  ） A．15° B．30° C．45° D．60° 4．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO 5．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F.P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4－ B．4－ C．8－ D．8－ 7．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（　　） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 8．如图，△ABC是⊙O内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是（　　） A．∠EAB=∠C B．∠B=90° C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径 9．下列说法正确的是（　　） A．圆的对称轴是圆的直径 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于　 　度． 12．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为　 　． 13．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，5 ，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是　 　，　 　，　 　． 14．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为　 　． 15．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　 　． 16． 如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是　 　． 三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. （1）求证：BE=CE； （2）求∠CBF的度数； 18．如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点. （1）求证：与相切； （2）若的半径为，求正方形的边长. 19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E. （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长. 20．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD. （1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）. （2）求证：AD平分∠BDO. 21．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上. （1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积. 22．如图，AB是⊙O的直径，AB=12，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C=50°． （1）求∠B的度数； （2）求的长． 23．如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，且交AB于点P. （1）求证： （2）若的半径为，求证：为等边三角形. 24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F. （1）求证：FC＝FD. （2）①当∠CAB的度数为　 　时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为　 　. 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【答案】A 【解析】【解答】解：∵圆O的半径为6.直线m上有一点P，OP=4，4＜6， ∴直线与圆O相交. 故答案为：A. 【分析】根据直线与圆的位置关系判断，即：d＞r，相离；d=r，相切；d＜r，相交. 2．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（　　） A．1.5 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：连接OD，如图所示 ∵PC切⊙O于D ∴∠ODP＝90° ∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径 ∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1 ∴由勾股定理得：PD＝ ∵BC⊥AB，AB过O ∴BC切⊙O于B ∵PC切⊙O于D ∴CD＝BC 设CD＝CB＝x 在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2 即 解得：x＝ 即BC＝ 故答案为：D 【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可. 3．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝ ，PB＝1，那么∠APC等于（  ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】【解答】连接OA，设圆的半径为r， 由切割线定理可得PA2=PB×PC， ∴（）2=1×（1+2r），解得r=1， ∴tan∠APC=， ∴∠APC=30°. 故答案为：B. 【分析】连接OA，由切割线定理求出半径，由∠APC的正切值，即可求出∠APC的度数. 4．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO 【答案】A 【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O， ∴点O是△ABC的内切圆的圆心； 故答案为：A． 【分析】根据角平分线的性质及三角形内心的定义求解即可。 5．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 内心的是各个角的平分线的交点， ∴C选项符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据三角形内心的定义逐项判定即可。 6．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F.P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4－ B．4－ C．8－ D．8－ 【答案】B 【解析】【解答】连接AD， ∵BC是切线，点D是切点， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF=2∠EPF=80°， ∴S扇形AEF= ， S△ABC= AD•BC= ×2×4=4， ∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4- π. 【分析】连接AD，根据切线的性质可得AD⊥BC，利用圆周角定理可得∠EAF=2∠EPF=80°，由S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可得出结论. 7．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（　　） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 【答案】A 【解析】【解答】解：连接OF， ∵AD是切线， ∴OF⊥AD， 又∵AD∥BC， ∴AB≥OF，CD≥OF， 又∵AD＜BC， ∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立． ∴AB+CD＞2OF， ∵BC=2OF， ∴AB+CD＞BC． 故选A， 【分析】连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得． 8．如图，△ABC是⊙O内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是（　　） A．∠EAB=∠C B．∠B=90° C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径 【答案】A 【解析】【解答】解：假设直线EF与⊙O相切于点A，由弦切角定理可得∠EAB=∠C，故A正确；因为AC不一定过圆心，所以AC不一定是⊙O直径，∠B=90°、EF⊥AC不一定成立，故B，C，D错误． 故选A． 【分析】要求直线EF与⊙O相切于点A的条件，可先假设直线EF与⊙O相切于点A，再对选项进行判断． 9．下列说法正确的是（　　） A．圆的对称轴是圆的直径 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【答案】D 【解析】【解答】解：A、对称轴应是直线，故错误； B、必须在同圆或等圆中，故错误； C、此弦不能是直径，故错误； D、这是切线的判定定理，故正确． 故选D． 【分析】根据圆的对称性、等弧的定义以及垂径定理和切线的判定定理即可求解． 10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2 【答案】D 【解析】【解答】解： 当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图． 在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b）， 当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0）， 则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形． 连接圆心O和切点C．则OC=2． 则OB= OC=2 ．即b=2 ； 同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ． 则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ． 故答案为：D． 【分析】求出直线y=-x+b与圆相切，且函数经过的象限分别求出此时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于　 　度． 【答案】55 【解析】【解答】．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB=35°， ∴∠A=∠PCB=35°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴35°+∠B=90°， 解得∠B=55°． 故答案为：55． 【分析】根据弦切角定理得出∠A=∠PCB=35°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据直角三角形的两锐角互余算出答案。 12．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】2 ﹣ π 【解析】【解答】解：连接OC， ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠CAD=∠D=30°， ∵DC切⊙O于C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∴∠COD=60°， 在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2， ∴CD=2 ， ∴阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ π， 故答案为：2 ﹣ π． 【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠CAD=∠D=30°，根据切线的性质得出∠OCD=90°，根据三角形的内角和得出∠COD=60°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出CD，根据阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB，由三角形的面积计算方法及扇形的面积计算方法即可算出答案。 13．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，5 ，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是　 　，　 　，　 　． 【答案】相离；相切；相交 【解析】【解答】解： 如图，过点C作CD⊥AB于D. ∵BC=AC，CD⊥AB， ∴D为AB的中点. ∵∠ACB=90°，BC=AC=10， ∴AB=10 ∴CD=×AB= ∴直线AB与以C为圆心以为半径的圆相切. ∵5＜ ∴直线AB与以C为圆心以5为半径的圆相离. ∵8＞， ∴直线AB与以C为圆心以8为半径的圆相交 故答案为：相离、相切、相交 【分析】要求直线AB与圆C的位置关系，因此过点C作CD⊥AB于D，根据已知条件，利用解直角三角形求出圆心C到直线AB的距离CD的长，再根据相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可解答。 14．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为　 　． 【答案】10 【解析】【解答】解：∵如图：连接OA ，过点O作OC⊥AB于点C， ∴∠ACO=90°，AC=AB=×16=8 ∴△ACO为直角三角形， ∴AO2 =AC 2 +OC 2 ∵O到直线a的距离为6 ∴OC=6 ∴AO2=8 2 +6 2 ∴AO=10 ∴⊙O的半径为10， 故答案为：10 【分析】连接OA ，过点O作OC⊥AB于点C，利用垂径定理求出AC的长，再利用勾股定理求出AO的长。 15．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC=AP， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP=BD， ∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2． 故答案为：2． 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长． 16． 如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大． A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5， 连接PC，则∠CPB=90°， 在直角△BCP中，． ∵为的切线，则∠CPB=90°． ∴∠DOB=∠CPB=90° 又∵∠DBO=∠CBP， ∴△OBD∽△PBC， ∴， ∴． ∴， ∴S△ABD=AD•OB=． 故答案为： 【分析】先根据题意得到当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大，进而根据点的坐标得到，连接PC，则∠CPB=90°，根据勾股定理即可求出BP，再结合切线的性质得到∠DOB=∠CPB=90° ，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可得到．从而得到AD，再根据三角形的面积即可求解。 三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. （1）求证：BE=CE； （2）求∠CBF的度数； 【答案】（1）证明：如图，连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，即AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE （2）解：∵BF为⊙O的切线， ∴∠ABF=90°， ∵AB=AC， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ . 【解析】【分析】（1） 连接AE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，再根据等腰三角形的三线合一可得BE=CE； （2）由圆的切线的性质可得∠ABF=90°，根据三角形内角和定理得∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC），然后由角的构成∠CBF=∠ABF-∠ABC可求解. 18．如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点. （1）求证：与相切； （2）若的半径为，求正方形的边长. 【答案】（1）证明：如下图，过O作于H， 正方形， ， 是⊙O的切线， ， ， 为的半径， 为的半径， 与相切 （2）解：的半径为， ， 由（1）可知， ， ， ， 四边形是正方形， ， 则在中， ，即， ， 解得：， 故正方形的边长为. 【解析】【分析】 （1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论； （2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案． 19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E. （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长. 【答案】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下： 连接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线 （2）解：连接AD， ∵∠ADB=90°，AB=AC， ∴BD=CD， ∵⊙O的半径为5，BC=16， ∴AC=AB=10，CD=8， ∴AD= ， ∵S△ADC= AC•DE= AD•CD， ∴DE= . 【解析】【分析】（1） DE是⊙O的切线，理由如下： 连接OD，由等边对等角得∠B=∠ODB=∠C，由同位角相等，两直线平行，得OD∥AC，进而根据平行线的性质可得OD⊥DE，结合切线的判定定理即可得出结论； （2） 连接AD， 由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得CD=8，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD，进而根据等面积法可求出DE. 20．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD. （1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）. （2）求证：AD平分∠BDO. 【答案】（1）解：连接OA， ∵∠ACB＝20°， ∴∠AOD＝40°， ∴， . （2）证明：， ， 切于点， ， ， ， ， ， 平分. 【解析】【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可得∠AOD=2∠ACB=40°，然后根据弧长公式进行计算； （2）根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，根据切线的性质可得OA⊥AB，推出OA∥BC，根据平行线的性质可得∠OAD=∠ADB，则∠ADB=∠ODA，据此证明. 21．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上. （1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积. 【答案】（1）解：直线BD与⊙O的位置关系是相切 证明：连接OD、DE ∵∠C＝90° ∴∠CBD+∠CDB＝90° ∵∠A＝∠CBD ∴∠A+∠CDB＝90° ∵OD＝OA ∴∠A＝∠ADO ∴∠ADO+∠CDB＝90° ∴∠ODB＝180°-90°＝90° ∴OD⊥BD ∵OD为半径 ∴BD是⊙O切线 （2）解：∵AE是⊙O直径 ∴∠ADE＝90° ∵AE＝4，∠A＝30° ∴DE＝AE＝2，∠AED＝60° ∵OD＝OE ∴△DOE是等边三角形 ∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2 ∵∠ODB＝90° ∴∠EDB＝30° ∴∠B＝∠DEO-∠EDB＝60°-30°＝30° ∴OB＝2OD＝4 由勾股定理得：DB＝， ∴阴影部分的面积S＝S△ODB-S扇形DOE ＝ ＝. 【解析】【分析】（1）连接OD、DE，由已知条件可知∠A=∠CBD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，结合∠A+∠CDB=90°可得∠ODB＝90°，据此证明； （2）由圆周角定理可得∠ADE＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝2，推出△DOE是等边三角形，得到∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，则∠EDB＝30°，∠B＝∠DEO-∠EDB＝30°，OB＝2OD＝4，由勾股定理可得DB，然后根据S阴影=S△ODB-S扇形DOE进行计算. 22．如图，AB是⊙O的直径，AB=12，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C=50°． （1）求∠B的度数； （2）求的长． 【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A， ∴AC⊥AB， ∴∠BAC=90°， ∵∠C=50°， ∴∠B=90°-∠C=40°． （2）解：如图，连结OD， ∵∠AOD=2∠B=2×40°=80°，⊙O的半径为6， ∴的长为 【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出AC⊥AB，利用∠B=90°-∠C，即可求出∠B的度数； （2） 连结OD，根据圆周角定理得出∠AOD=2∠B=80°，再利用弧长公式列式进行计算，即可得出答案. 23．如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，且交AB于点P. （1）求证： （2）若的半径为，求证：为等边三角形. 【答案】（1）证明：.∵， ∴， ∴ ∵BC切于点B，OB为半径 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）证明：如图，作于 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 是等边三角形. 【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AOC=90°，根据切线的性质可得∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，结合等角的余角相等可得∠APO=∠ABC，推出∠CPB=∠CBP，据此证明； （2）作OD⊥AB于D，根据垂径定理可得AD=BD=3，利用三角函数的概念求出cos∠OBD的值，根据特殊锐角三角函数值得到∠OBD的度数，进而求出∠CBP的度数，然后结合CP=CB以及等边三角形的判定定理进行证明. 24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F. （1）求证：FC＝FD. （2）①当∠CAB的度数为　 　时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为　 　. 【答案】（1）解：∵FC是圆的切线， ∴∠FCD+∠ACO＝90°， ∵FE⊥BA， ∴∠ADE+∠CAO＝90°， 而∠CAO＝∠ACO，∠ADE＝∠FDC， ∴∠FDC＝∠FCD， ∴FC＝FD； （2）45； 【解析】【解答】解：(2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°， 则四边形OEFC是矩形， 故答案为：45； ②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M， 设∠FDC＝α， ∵ FD=FC，∴DM= CD， ∵D是弦AC的中点， ∴OD⊥AC，AD＝DC， ∴∠ADE+∠EDO=90°， ∵∠DEO=90°， ∴∠EDO+∠EOD=90°， ∴∠ADE＝∠AOD＝∠FDC＝α， ∵AD＝CD＝ AC＝4，OA＝5， ∴DO＝ =3， ∴cosα＝ ， ∴在△FDC中，FD＝ ＝ ， ∴FC= . 故答案为：. 【分析】(1)证明∠FDC＝∠FCD，即可求解； (2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，即可求解；②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M，设∠FDC＝α，由D是弦AC的中点，则OD⊥AC，求出cosα＝ ，继而根据FD＝ 即可求解. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $