2026年中考数学重点专题专项训练：几何图形初步（全国通用）

2026年中考数学重点专题专项训练：几何图形初步（全国通用） 一、选择题 1．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 3．如图，货轮A位于瞭望点P北偏东方向上，位于瞭望点Q北偏西方向上，瞭望点Q位于瞭望点P北偏东方向上，且P、Q两点相距12海里，则货轮A与瞭望点P的距离为（   ） A．12海里 B．海里 C．6海里 D．海里 4．如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 5．将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，已知点，，则点的坐标是（） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是的平分线，点为延长线上一点，连接，若，，则长为（    ） A．2 B． C． D． 8．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（   ） A． B． C．10 D． 二、填空题 11．如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数，则的值为_______． 12．如图，在内部有两条射线，，定点在的内部，从图中任选一个角，则定点在所选角内部的概率是________． 13．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，则__________． 14．如图，在 中，，，点是的中点，点是上的动点，连接，则的最小值为_____． 15．如图，把绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 16．七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 三、解答题 17．计算题： (1)； (2)． 18．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 19．如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，作一个角，使之与互余． 20．如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点A作射线． (1)尺规作图：在射线上找一点F，连结，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）的作法，若，求的长． 21．耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．工作时，人们将种子倒入耧斗，通过耧腿将种子播撒到土壤中．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时． (1)当耧车不工作时，求的度数． (2)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，，） 22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段； (2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 23．【问题呈现】小远同学遇到这样一个问题：如图①，在中，，，，点P是内一点，连结、、，求的最小值． 【问题探究】小远同学发现，要解决这个问题，首先应该想办法将三条端点重合于一点的线段分离，利用旋转和等边三角形转换线段，然后再将它们连接成一条折线，并让折线两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．具体做法如下： 证明：如图②，将绕点C顺时针旋转得到，连结、 证明过程缺失 ∴ ∴当点B、P、D、E四点在一条直线上时，的值最小． (1)请你帮助小远同学补全上述证明过程． (2)【问题解决】的最小值为______． 参考答案 1．B 【分析】由题意直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ， 又， ． 2．B 【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答． 【详解】解：由左图知，水体积为， 由右图知，空白部分的体积为， ∴瓶子的容积是． 3．A 【分析】过点作，则，得，，得，由瞭望点Q位于瞭望点P北偏东70°方向上可得，根据三角形内角和定理得，可得，得出． 【详解】解：过点作，如图， 根据题意得，， ∴， ∴，， ∴， 又瞭望点Q位于瞭望点P北偏东方向上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴海里． 4．A 【分析】本题考查了两点之间线段最短和三角形三边关系，解题的关键是将四条线段分成两组，分别利用共线取等号求最小值．先分析最小时的位置，再分析最小时的位置，取两者公共点． 【详解】解：(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 同理(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 要使取最小值，需同时满足上述两个条件， 必须在线段上，且同时在线段上， 是线段与的交点， 故选：A． 5．B 【分析】由直角三角形的两个锐角互余及角的和与差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 6．D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∵，， ∴，，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点在第三象限， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 7．B 【分析】先利用三角形的内角和定理和角平分线的性质求得，则，然后利用锐角三角函数求解和． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴，则， 在中，，， ∴， 在中，． 8．D 【分析】根据平行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：根据两直线平行，同位角相等，可得， ∵三角板的顶角是直角， ∴， ∴，故与不一定相等； 根据两直线平行，同旁内角互补，可得，， ∵与不一定相等 ∴与不一定相等； ∵， ∴不一定等于； 观察四个选项，选项D符合题意． 9．C 【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的定义可得，，利用矩形的性质可得，再根据平角的定义解答即可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 10．B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠的性质得到是解题的关键． 由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 11．0 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：由正方体的展开图可知，x的对面是3，y的对面是2，z的对面是， 所以，，， 所以． 12． 【分析】图中的角有，，，，，共个，其中定点可以在，，，这个角内，根据概率公式计算即可． 【详解】解：图中的角有，，，，，共个，其中定点可以在，，，这个角内， 从图中任选一个角，则定点在所选角内部的概率是． 13． 【分析】根据矩形的性质得到，推出，从而证明，得到，代入数值计算即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 14． 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据点到直线的距离（垂线段最短）得到的最小值为点到的垂线段的长度，根据等面积法得到垂线段的长度即为答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵点是上的动点， ∴的最小值为点到的垂线段的长度， 即为如图所示，过点作于点，线段的长度， ∵， ∴． 15． 【分析】根据旋转的性质得到，，则由角之间的关系可得，再根据平行线的性质推出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．7 【分析】此题考查了求阴影面积，首先求出正方形的面积，然后依次求出的面积，的面积，平行四边形的面积，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为 ∴的面积为， ∴的面积为，平行四边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：7． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算． （1）根据题意用度、分、秒分别相减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位不够减，需要向上一级单位借1，即可求解； （2）由题意先算乘除，再算加减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位满60需要向上一级单位进1，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． （2）解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交于点E，连接即可； （2）方法一：延长交于点E，延长交于点F，连接交于点M，则为所求；方法二：延长交于点P，过点作的直径，连接，交于点F，为所求． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为所求． （2）方法一：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 方法二：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点C为原点，为半径画弧交与点F，连接即可． （2）作于点H．由等腰三角形和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出， ，．再证明是等腰直角三角形，则，再由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：下图即为所作图形： （2）解：如图，作于点H． ∵是等腰直角三角形，是中线， ， ∴， ，． ∵， ∴．， ∴． ∵， 在中，， ∴． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到即可求解； （2）利用锐角三角函数分别求出不工作时端点A距离地面的高度和工作时端点A距离地面的高度，两者相减即可求出端点A下降的高度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图1，过点A作， 在中，， ∴， 如图2，过点A作， 在中，， ∴， ∴． 答：耧把从不工作到工作时端点A下降的高度约为． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在直角坐标系中标出点A、B，再连接即可； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再连接即可； （3）连接、，分别取、的中点，再连接即可． 【详解】（1）解：线段如图所示； （2）解：线段如图所示； （3）解：线段如图所示． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，推出是等边三角形，则，即可补全证明过程； （2）根据旋转的性质可得，，则，在中利用勾股定理求出的长，再结合（1）中的结论即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点C顺时针旋转得到，连接、， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴当点B、P、D、E四点在一条直线上时，的值最小． （2）解：由旋转的性质得，，， ∴， ∴在中，， 由（1）中的结论，的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $