易错06 几何初步与全等三角形（易错专练，6大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题06 几何基础与全等三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 相交线与平行线有关角度计算 易错点 2 忽略三角形三边的构成条件 易错点 3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 易错点 4 找证明三角形全等的条件不全或错误 易错点 5 等腰三角形的多解分类讨论 易错点 6 尺规作图及与三角形有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 相交线与平行线有关角度计算 错因剖析 概念混淆：混淆对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义，概念与图形不匹配。 认知偏差：只看局部图形，忽略整体结构与隐含条件。 基础薄弱：基本运算能力不足，几何书写习惯差，不会用代数方法解决几何计算。 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选C． 避错秘籍 【防错指南】 1. 先认图，再认角，杜绝概念混淆 2. 折线模型统一方法 遇到 “拐弯” 的平行线图形，统一过拐点作平行线，转化为多组内错角或同旁内角： 猪蹄模型：∠1 + ∠3 = ∠2 铅笔头模型：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360° 【知识链接】 核心定理回顾 对顶角相等 邻补角互补（和为 180°） 两直线平行⟹ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⟹ 两直线平行 2. 常用计算思路 直接计算：利用对顶角、邻补角、平行线性质代换； 方程计算：出现 “倍角、分角、比例” 时，设未知数列方程求解； 辅助线计算：折线、拐角必作平行线，化复杂为简单。 变式迁移 【变式1-1】（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-3】（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 易错点2 忽略三角形三边的构成条件 错因剖析 概念混淆：误将“两边之和大于第三边”理解为“任意两边之和大于任意第三边”的简化版. 认知偏差：遇到“已知两边求第三边范围”的题目，只考虑“两边之和大于第三边”，漏掉“两边之差小于第三边”，导致第三边范围求解不完整。 基础薄弱：不等式计算能力薄弱，对三角形三边关系的应用不熟练，缺乏“计算—验证—排除”的完整解题思路，几何书写习惯较差。 【例2】（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 避错秘籍 【防错指南】 步骤：① 明确已知条件（边长、图形类型）；② 应用三边关系列出不等式（或等式）；③ 求解不等式（或验证边长）；④ 排除不合理解，得出最终答案；⑤ 标注解题依据（如“三角形三边关系”）。 技巧：遇到多解情况（如等腰三角形、含参数边长），优先验证三边关系，再确定最终解，避免漏验导致错误。 【知识链接】三角形三边构成条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（可简化记忆：最长边<另外两边之和，最短边>另外两边之差）。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 易错点3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 错因剖析 概念混淆：只记住“从顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段是高”，未掌握内高、外高的区别，以及不同类型三角形高线的分布规律。 认知偏差：画三角形的高，未能分类讨论高是内高还是外高，导致漏解。 基础薄弱：作图能力弱，无法将文字描述画出图形。 【例3】（湖南常德·中考真题）△ABC中，，，高，则______ 【答案】14或4 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在△ABC内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是△ABC的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在△ABC内部时， ②当在△ABC外部时，． 故答案为：或． 避错秘籍 【防错指南】强化分类讨论意识，全面分析情况 先判断三角形的类型（锐角、直角、钝角），再分别画出内高、外高，结合图形分析计算，确保不重不漏。 规范画法与步骤，提升应用能力 1. 高线画法：① 确定顶点和对边（或对边延长线）；② 用直尺和圆规作顶点到对边（或延长线）的垂线，标注垂足；③ 区分内高、外高，标注高的位置； 2. 计算步骤：① 明确高对应的底边（无论内高、外高，底边均为三角形的原边长，而非延长线长度）；② 代入面积公式（面积=1/2×底×高）计算；③ 验证高的位置是否符合三角形类型，排除不合理解。 【知识链接】 不同三角形的高线分布：① 锐角三角形：三条高均在三角形内部，交于三角形内一点；② 直角三角形：两条高为直角边，一条高在内部，交于直角顶点；③ 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部，三条高的延长线交于三角形外部一点； 变式迁移 【变式3-1】（黑龙江·中考）在中，为边上的高，，，则是___________度． 【答案】40或80/80或40 【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 【变式3-2】（2025·西藏山南·三模）在△ABC中，，，边上的高为，则△ABC面积为_____ 【答案】126或66 【分析】此题分两种情况：为锐角或为钝角，根据、的值，利用勾股定理即可求出的长，利用三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：当为锐角时，如图1， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴； 当为钝角时（如图2）， 同理可得：，， ∴， ∴， 综上，△ABC面积为或． 易错点4 找证明三角形全等的条件不全或错误 错因剖析 概念混淆：混淆SAS 与 SSA：误认为两边一角就能判定全等，忽略夹角这一关键前提。 混淆ASA 与 AAS：分不清 “两角及其夹边” 与 “两角及其中一角的对边” 的区别，导致对应边、对应角找错。 认知偏差：忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件，直接认为条件不足，或漏用这些条件。 证明时只关注题目明确给出的条件，忽略通过平行线性质、角平分线、垂直定义等推导出来的间接条件。 基础薄弱： 1、找错对应顶点、对应边、对应角，导致所用判定定理与实际对应关系不符。 2、书写不规范：未按 “对应顶点写在对应位置” 的格式写全等符号（如△ABC≌△DEF），导致后续推导对应边、角出错。 3、无法从复杂图形中剥离出全等的两个三角形，被干扰图形误导。 【例4】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ． 避错秘籍 【防错指南】三步走，找全隐含条件 1、标图：在图形上用相同标记标注已知的相等边（如双弧线）、相等角（如单弧线），直观呈现已知条件。 2、挖隐含： 找公共边、公共角； 找对顶角； 找平行线带来的内错角、同位角相等； 找角平分线、垂直带来的直角或等角。 3、补辅助：若条件仍不足，尝试作辅助线（如连接对角线、作垂线）来构造新的相等边或角。 【知识链接】 判定方法 内容 适用场景 关键提醒 SSS 三边对应相等 任意三角形 无 SAS 两边及夹角相等 任意三角形 必须是夹角，边对角不行 ASA 两角及夹边相等 任意三角形 夹边是两角的公共边 AAS 两角及一角对边相等 任意三角形 对边是其中一角的对边 HL 斜边 + 直角边 仅直角三角形 直角三角形专用，普通三角形不可用 变式迁移 【变式4-1】（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 【变式4-2】（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 【变式4-3】（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 易错点5 等腰三角形的多解分类讨论 错因剖析 概念混淆：对等腰三角形的分类逻辑理解不透彻，未掌握“边不确定分腰底、角不确定分顶底”的分类标准，对等腰三角形的边、角限制条件记忆不完整，概念应用混乱。 认知偏差：思维片面，缺乏“分类—验证”的完整思路，对等腰三角形的隐含条件（三边关系、内角和限制）挖掘不充分，仅关注分类，忽略分类后的合理性验证，导致漏解、错解。 基础薄弱：分类讨论的思维能力薄弱，对等腰三角形多解问题的解题思路不熟悉，角度、边长计算不熟练，几何书写习惯较差，缺乏逻辑条理性。 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 避错秘籍 【防错指南】明确分类标准 边长不确定（未明确哪条边是腰、哪条边是底） 角度不确定（未明确哪个角是顶角、哪个角是底角） 【知识链接】 定理回顾 等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）； 等腰三角形的限制条件：① 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；② 内角和限制：顶角+2×底角=180°，底角<90°，顶角<180°； 特殊等腰三角形：等边三角形（三边相等、三角均为60°），是等腰三角形的特殊形式，分类时需注意区分。 常用解题思路 边长类多解：已知两边求第三边/周长，先分腰底，再验证三边关系，排除无效解； 角度类多解：已知一角求另外两角，先分顶底，再结合内角和计算，排除底角≥90°的情况； 线段类多解（高、中线）：分线段在三角形内部/外部，结合等腰三角形性质，推导边长或角度。 变式迁移 【变式5-1】（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 【变式5-2】（2026·河南驻马店·一模）矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 【答案】或6 【分析】由矩形的性质可得到，，由角平分线的定义得到，解直角三角形得到，再分三种情况：，和，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交边于点， ∴， ∴，； 如图所示，当时，则； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴，此时点E与点C重合，不符合题意， 综上所述，的长为或6． 易错点6 尺规作图及与三角形有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆尺规作图的“基本作图方法”，如分不清“作一条线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作线段的垂直平分线”的步骤。 认知偏差：思维片面，对尺规作图与三角形计算的关联认识不足，审题不细致，未挖掘作图过程中蕴含的几何条件，导致作图与计算脱节。 基础薄弱：结合尺规作图结果进行三角形计算时，角度、边长计算粗心，或不会利用全等、等腰三角形性质简化计算，导致结果错误。 【例6】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 避错秘籍 【防错指南】挖掘隐含条件，规避认知偏差 作图与计算的关联：尺规作图的结果（如角平分线、垂直平分线、全等三角形），本身就是三角形计算的重要条件，需主动挖掘： ① 作角平分线 ⇒ 角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）； ② 作垂直平分线 ⇒ 垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）； ③ 作全等三角形 ⇒ 全等三角形对应边、对应角相等。 必留作图痕迹：所有尺规作图都需保留“弧的痕迹”（画弧的圆心、弧的走向），痕迹是后续计算和证明的依据，不可省略。 【知识链接】 1. 五种基本的尺规作图 （1） 作一条线段等于已知线段 已知：线段 求作：线段，使 作法： ①作一条直线 ②在上任取一点A，以点A为圆心，以线段的长度为半径画弧，交直线于点B。 线段AB 即为所求作的线段。 图示： （2） 作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB. 作法： ①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P,Q； ②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG于点D; ③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于点F; ④作射线EF.∠DEF即为所求作的角 图示： （3） 作已知角的平分线 已知： 求作：的平分线OP. 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； ②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的内部画弧，两弧交于点P； ③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. 图示： （4） 作线段的垂直平分线 已知：线段。 求作：线段的垂直平分线。 作法： ①分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ②过点M,N作直线.直线MN 即为线段AB的垂直平分线. 图示： （5） 经过一点作已知直线的垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线和上一点。 求作：直线的垂线，使它经过点。 作法： ⅰ)以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线于A,B两点; ⅱ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ⅲ)作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线. 图示： ②经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线和外一点M. 求作:直线的垂线,使它经过点M.作法: ⅰ)在直线的另一侧取点P; ⅱ)以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线于A,B 两点; ⅲ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点N; ⅳ)作直线MN. 直线MN 即为所求作的垂线. 图示： 变式迁移 【变式6-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 【变式6-2】（2025·湖南·中考真题）如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得垂直平分，则点D为的中点，据此可证明是的中位线，则可得到． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴点D为的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 1. （2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 2. （2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 3. （2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4. （2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 5. （2026·北京·一模）如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 6. （2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 7. （2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7． 8. （2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】由作图可知垂直平分线段，，因为，所以，根据等边对等角可知，在中，利用三角形内角和定理可知，则，进而可求的度数． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 9. （2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或 【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B的对应点为F， ，， 为等腰三角形， 当时， ， ， 过点Ｆ作于点Ｍ， ， ， ， ， 设，则， 则， 根据题意，得， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得； 10. （2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 11. （2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12. （2026·陕西宝鸡·一模）图，在中，，点、分别在边、上，于点，于点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，再由，，可得，可得，则可得． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13. （2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可； 理由：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 几何基础与全等三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 相交线与平行线有关角度计算 易错点 2 忽略三角形三边的构成条件 易错点 3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 易错点 4 找证明三角形全等的条件不全或错误 易错点 5 等腰三角形的多解分类讨论 易错点 6 尺规作图及与三角形有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 相交线与平行线有关角度计算 错因剖析 概念混淆：混淆对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义，概念与图形不匹配。 认知偏差：只看局部图形，忽略整体结构与隐含条件。 基础薄弱：基本运算能力不足，几何书写习惯差，不会用代数方法解决几何计算。 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 1. 先认图，再认角，杜绝概念混淆 2. 折线模型统一方法 遇到 “拐弯” 的平行线图形，统一过拐点作平行线，转化为多组内错角或同旁内角： 猪蹄模型：∠1 + ∠3 = ∠2 铅笔头模型：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360° 【知识链接】 核心定理回顾 对顶角相等 邻补角互补（和为 180°） 两直线平行⟹ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⟹ 两直线平行 2. 常用计算思路 直接计算：利用对顶角、邻补角、平行线性质代换； 方程计算：出现 “倍角、分角、比例” 时，设未知数列方程求解； 辅助线计算：折线、拐角必作平行线，化复杂为简单。 变式迁移 【变式1-1】（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 易错点2 忽略三角形三边的构成条件 错因剖析 概念混淆：误将“两边之和大于第三边”理解为“任意两边之和大于任意第三边”的简化版. 认知偏差：遇到“已知两边求第三边范围”的题目，只考虑“两边之和大于第三边”，漏掉“两边之差小于第三边”，导致第三边范围求解不完整。 基础薄弱：不等式计算能力薄弱，对三角形三边关系的应用不熟练，缺乏“计算—验证—排除”的完整解题思路，几何书写习惯较差。 【例2】（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 避错秘籍 【防错指南】 步骤：① 明确已知条件（边长、图形类型）；② 应用三边关系列出不等式（或等式）；③ 求解不等式（或验证边长）；④ 排除不合理解，得出最终答案；⑤ 标注解题依据（如“三角形三边关系”）。 技巧：遇到多解情况（如等腰三角形、含参数边长），优先验证三边关系，再确定最终解，避免漏验导致错误。 【知识链接】三角形三边构成条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（可简化记忆：最长边<另外两边之和，最短边>另外两边之差）。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 易错点3 三角形高线分类讨论（忽略内高、外高） 错因剖析 概念混淆：只记住“从顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段是高”，未掌握内高、外高的区别，以及不同类型三角形高线的分布规律。 认知偏差：画三角形的高，未能分类讨论高是内高还是外高，导致漏解。 基础薄弱：作图能力弱，无法将文字描述画出图形。 【例3】（湖南常德·中考真题）△ABC中，，，高，则______ 避错秘籍 【防错指南】强化分类讨论意识，全面分析情况 先判断三角形的类型（锐角、直角、钝角），再分别画出内高、外高，结合图形分析计算，确保不重不漏。 规范画法与步骤，提升应用能力 1. 高线画法：① 确定顶点和对边（或对边延长线）；② 用直尺和圆规作顶点到对边（或延长线）的垂线，标注垂足；③ 区分内高、外高，标注高的位置； 2. 计算步骤：① 明确高对应的底边（无论内高、外高，底边均为三角形的原边长，而非延长线长度）；② 代入面积公式（面积=1/2×底×高）计算；③ 验证高的位置是否符合三角形类型，排除不合理解。 【知识链接】 不同三角形的高线分布：① 锐角三角形：三条高均在三角形内部，交于三角形内一点；② 直角三角形：两条高为直角边，一条高在内部，交于直角顶点；③ 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部，三条高的延长线交于三角形外部一点； 变式迁移 【变式3-1】（黑龙江·中考）在中，为边上的高，，，则是___________度． 【变式3-2】（2025·西藏山南·三模）在△ABC中，，，边上的高为，则△ABC面积为_____ 易错点4 找证明三角形全等的条件不全或错误 错因剖析 概念混淆：混淆SAS 与 SSA：误认为两边一角就能判定全等，忽略夹角这一关键前提。 混淆ASA 与 AAS：分不清 “两角及其夹边” 与 “两角及其中一角的对边” 的区别，导致对应边、对应角找错。 认知偏差：忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件，直接认为条件不足，或漏用这些条件。 证明时只关注题目明确给出的条件，忽略通过平行线性质、角平分线、垂直定义等推导出来的间接条件。 基础薄弱： 1、找错对应顶点、对应边、对应角，导致所用判定定理与实际对应关系不符。 2、书写不规范：未按 “对应顶点写在对应位置” 的格式写全等符号（如△ABC≌△DEF），导致后续推导对应边、角出错。 3、无法从复杂图形中剥离出全等的两个三角形，被干扰图形误导。 【例4】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 避错秘籍 【防错指南】三步走，找全隐含条件 1、标图：在图形上用相同标记标注已知的相等边（如双弧线）、相等角（如单弧线），直观呈现已知条件。 2、挖隐含： 找公共边、公共角； 找对顶角； 找平行线带来的内错角、同位角相等； 找角平分线、垂直带来的直角或等角。 3、补辅助：若条件仍不足，尝试作辅助线（如连接对角线、作垂线）来构造新的相等边或角。 【知识链接】 判定方法 内容 适用场景 关键提醒 SSS 三边对应相等 任意三角形 无 SAS 两边及夹角相等 任意三角形 必须是夹角，边对角不行 ASA 两角及夹边相等 任意三角形 夹边是两角的公共边 AAS 两角及一角对边相等 任意三角形 对边是其中一角的对边 HL 斜边 + 直角边 仅直角三角形 直角三角形专用，普通三角形不可用 变式迁移 【变式4-1】（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 【变式4-2】（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【变式4-3】（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 易错点5 等腰三角形的多解分类讨论 错因剖析 概念混淆：对等腰三角形的分类逻辑理解不透彻，未掌握“边不确定分腰底、角不确定分顶底”的分类标准，对等腰三角形的边、角限制条件记忆不完整，概念应用混乱。 认知偏差：思维片面，缺乏“分类—验证”的完整思路，对等腰三角形的隐含条件（三边关系、内角和限制）挖掘不充分，仅关注分类，忽略分类后的合理性验证，导致漏解、错解。 基础薄弱：分类讨论的思维能力薄弱，对等腰三角形多解问题的解题思路不熟悉，角度、边长计算不熟练，几何书写习惯较差，缺乏逻辑条理性。 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 避错秘籍 【防错指南】明确分类标准 边长不确定（未明确哪条边是腰、哪条边是底） 角度不确定（未明确哪个角是顶角、哪个角是底角） 【知识链接】 定理回顾 等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）； 等腰三角形的限制条件：① 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；② 内角和限制：顶角+2×底角=180°，底角<90°，顶角<180°； 特殊等腰三角形：等边三角形（三边相等、三角均为60°），是等腰三角形的特殊形式，分类时需注意区分。 常用解题思路 边长类多解：已知两边求第三边/周长，先分腰底，再验证三边关系，排除无效解； 角度类多解：已知一角求另外两角，先分顶底，再结合内角和计算，排除底角≥90°的情况； 线段类多解（高、中线）：分线段在三角形内部/外部，结合等腰三角形性质，推导边长或角度。 变式迁移 【变式5-1】（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______． 【变式5-2】（2026·河南驻马店·一模）矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 易错点6 尺规作图及与三角形有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆尺规作图的“基本作图方法”，如分不清“作一条线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作线段的垂直平分线”的步骤。 认知偏差：思维片面，对尺规作图与三角形计算的关联认识不足，审题不细致，未挖掘作图过程中蕴含的几何条件，导致作图与计算脱节。 基础薄弱：结合尺规作图结果进行三角形计算时，角度、边长计算粗心，或不会利用全等、等腰三角形性质简化计算，导致结果错误。 【例6】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 避错秘籍 【防错指南】挖掘隐含条件，规避认知偏差 作图与计算的关联：尺规作图的结果（如角平分线、垂直平分线、全等三角形），本身就是三角形计算的重要条件，需主动挖掘： ① 作角平分线 ⇒ 角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）； ② 作垂直平分线 ⇒ 垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）； ③ 作全等三角形 ⇒ 全等三角形对应边、对应角相等。 必留作图痕迹：所有尺规作图都需保留“弧的痕迹”（画弧的圆心、弧的走向），痕迹是后续计算和证明的依据，不可省略。 【知识链接】 1. 五种基本的尺规作图 （1） 作一条线段等于已知线段 已知：线段 求作：线段，使 作法： ①作一条直线 ②在上任取一点A，以点A为圆心，以线段的长度为半径画弧，交直线于点B。 线段AB 即为所求作的线段。 图示： （2） 作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB. 作法： ①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P,Q； ②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG于点D; ③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于点F; ④作射线EF.∠DEF即为所求作的角 图示： （3） 作已知角的平分线 已知： 求作：的平分线OP. 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； ②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的内部画弧，两弧交于点P； ③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. 图示： （4） 作线段的垂直平分线 已知：线段。 求作：线段的垂直平分线。 作法： ①分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ②过点M,N作直线.直线MN 即为线段AB的垂直平分线. 图示： （5） 经过一点作已知直线的垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线和上一点。 求作：直线的垂线，使它经过点。 作法： ⅰ)以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线于A,B两点; ⅱ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ⅲ)作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线. 图示： ②经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线和外一点M. 求作:直线的垂线,使它经过点M.作法: ⅰ)在直线的另一侧取点P; ⅱ)以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线于A,B 两点; ⅲ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点N; ⅳ)作直线MN. 直线MN 即为所求作的垂线. 图示： 变式迁移 【变式6-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【变式6-2】（2025·湖南·中考真题）如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是______． 【变式6-3】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 1. （2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2. （2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3. （2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4. （2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5. （2026·北京·一模）如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6. （2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 7. （2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 8. （2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 9. （2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 10. （2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 11. （2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 12. （2026·陕西宝鸡·一模）图，在中，，点、分别在边、上，于点，于点，，求证：． 13. （2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可； 理由：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $