2026年中考数学重点专题专项训练：相交线与平行线（全国通用）

2026年中考数学重点专题专项训练：相交线与平行线（全国通用） 一、选择题 1．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，三角形纸片，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，过作的平行线交于，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在直线上，边在直线上，直线被所截．若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 7．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，直线，点在直线上，射线交于点，则图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，已知，直线分别与交于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为，已知斜坡的长度为，，则树的高度是（  ）m． A．30 B． C． D．40 二、填空题 11．如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点， 连接． 若， ，则 的长为________．(结果保留) 12．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴正半轴上的点，连接，若的面积为，则的值为______． 13．如图，中，，将绕点顺时针旋转角得到，点和点是对应顶点，设，当时，与之间的数量关系为______． 14．如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 15．在地球仪上，与赤道平行的线叫做纬线，呼和浩特市的纬度约为北纬．如图，赤道半径约为6400千米，，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，则北纬纬线的长度约为______千米．（参考数据：，，，） 16．在矩形中，，点 P 在边上，且，则点 P 到矩形对角线所在直线的距离是_______ ． 三、解答题 17．如图，已知：，与相交于点E，点F在线段上，，，的面积等于2．求的面积． 18．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 19．如图，在平行四边形中，． (1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，连接，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明. 20．“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 21．某选手在练习打台球时，他将母球和目标球按图1所示的位置放置，击打母球，母球沿着图2所示的白色路线运动，图3是从图2中抽象出的示意图，边界，点，和，分别在边界和上，线段和相交于点．（台球的大小忽略不计） (1)求证：点到边界和的距离之比等于与之比； (2)已知边界和之间的距离为，洞宽，要使目标球顺利落袋，必须与相等，此时测得．求该选手让目标球顺利落袋时的度数．（参考数据：，，结果精确到．） 22．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 23．阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 【背景】翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 【任务】 (1)如图2，如图3，已知四边形为等垂四边形，． ①在图2中，若，则的度数为_____________； ②在图3中，若，分别平分，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由； (2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 参考答案 1．D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 2．D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质得，即可求出，再求出，则答案可得. 【详解】解：根据折叠的性质得， ∴. ∵， ∴， ∴的周长. 故选：D. 3．C 【分析】由两直线平行，内错角相等，可得，则，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 4．A 【分析】由作图知道是角平分线，再由平行得到等腰三角形和三角形相似，利用相似的性质求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，故A正确． 5．D 【分析】根据平行线的判定可逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，， ∴的邻补角的度数为，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴的对顶角度数为，故的对顶角即的内错角不等于， ∴不成立，故选项B不符合题意； C、，， ∴的邻补角，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项C不符合题意； D、∵，，， ∴， ∴，故选项D符合题意． 6．A 【分析】由等腰三角形性质推出，由旋转的性质可知，，，再结合角的和差，角平分线的判定定理，以及平行线的判定分析判断，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握平行线的判定，旋转的性质以及等腰三角形的性质． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知，，，故C选项正确，不符合题意； ， ， 即，故A选项不正确，符合题意． ， 平分，故B选项正确，不符合题意； ， ，故D选项正确，不符合题意． 7．B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 8．C 【分析】根据邻补角的定义，两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等，等量代换求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， 根据对顶角相等， 的对顶角与互补， 故共有3个． 9．B 【分析】先根据对顶角相等求出，再利用平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义求解． 【详解】解： ， （对顶角相等）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ． 平分， ． 10．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，平行线的性质， 作，先求出，可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据，求出，接下来根据可得答案. 【详解】解：过点D作于点F， 在中，， . ∵， ∴. 在中，. ∵是的外角， ∴， ∴. 在中，， 则， 即. 在中，， 则， 即. 故选：A. 11． 【分析】本题考查弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解题的关键． 由，得出，随后可利用弧长公式求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，连接，由轴，则，然后根据即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】由平行线的性质求得，由旋转的性质得到，，再根据等边对等角和三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， 由三角形内角和定理得， ∴， ∴． 14． 【分析】连接，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，证出，，即可得出的周长即为，故可得出结果． 【详解】解：连接，，如下图所示： ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为： ． 15． 28800 【分析】作，根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后解直角三角形求出，最后根据周长公式得出答案． 【详解】解：如图所示，过点O作，于点D， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，千米， ∴（千米）， 所以北纬纬线的长度是（千米）． 16．或 【分析】分两种情况画出图形，利用勾股定理，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，求出结果即可． 【详解】解： 如图1，过点P作于点， 四边形是矩形， ，，，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ； 如图2，过点P作于点， ，， ， ， ， ； 综上，点到矩形对角线所在直线的距离是或． 17．9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算，解题的关键是利用平行线构造相似三角形，通过相似比确定线段比例及面积关系． 由证得，得出与的比例关系；再由证得，结合相似三角形面积比等于相似比的平方求出的面积；最后根据平行线间距离相等，利用底的比例关系求出的面积． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴， ∵， ∴． ∵，与的高相等， ∴， ∴． 答：的面积为9． 18．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明； （）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形． 19．(1)图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的定义可推得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图：垂直平分． （2）解：，证明如下： 连接，如图： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故是等边三角形， ∴， ∴． 20．(1)点转动到点的路径长为 (2)点到直线的距离约为 【分析】本题考查圆的弧长、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握弧长公式． （1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长； （2）过点作于点，先证是等边三角形，结合等边三角形的性质与勾股定理可得的长，即点到直线的距离． 【详解】（1）解：，且， ． ， ． ， ， 点转动到点的路径长为． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）知， ， 是等边三角形． ， ． ，， ． 点到直线的距离约为． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，并延长交于点，根据可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）根据平行线的性质和等角的补角相等，可证，根据等角对等边可证，根据等腰三角形的三线合一定理可得，根据可以求出，根据可知，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，并延长交于点， ， ，， 即点到边界和的距离分别是线段和的长， ， 点到边界和的距离之比等于与之比； （2）解：， ， ，， ， ， ， ，，，， ， 在中，， ， 是的一个外角， ． ． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度． （1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数． （2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果． 【详解】（1）解：∵、均为的半径， ∴， ∴（等边对等角）． ∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角），即． 又∵于E， ∴，即． ∴（同角的余角相等）． （2）解：∵为的直径， ∴（半径等于直径的一半）． ∵， ∴． ∵于E， ∴（垂径定理），且为直角三角形． 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ∴（线段长度为正）． ∴． 答：的长度为． 23．(1)①；②是，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义“等垂四边形”的理解与应用、三角形内角和定理、四边形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义及基本作图，解题的关键是紧扣等垂四边形“一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形一边垂直”的定义，结合已知条件推导角的数量关系或完成符合定义的图形构造． （1）①：由得，结合求出；根据等垂四边形“一组对角相等”得；再利用四边形内角和为，代入已知角的度数求出； ②：由得内错角，结合角平分线定义得；通过“等量减等量，差相等”推得，进而得出（一组对角相等）；又因（满足顶点连线与四边形一边垂直），故判断四边形为等垂四边形； （2）根据等垂四边形定义，先作（满足顶点连线与一边垂直），再作（满足一组对角相等），连接相关线段得到等垂四边形． 【详解】（1）解：①∵， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴在四边形中，． 故答案为：。 ②四边形是等垂四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， 即① ∵， ∴②（等量减等量，差相等） ①②得，， 又， ∴四边形是等垂四边形． （2）如图，四边形即为所作的等垂四边形． (作法说明：作，．) 学科网（北京）股份有限公司 $