专题04 三角形、平行线与解直角三角形8大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 三角形、平行线与解直角三角形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 平行线性质与判定（同位角、内错角、同旁内角） 题型02 三角形内角和、外角、三边关系 题型03 全等三角形判定与性质 题型04 相似三角形判定与性质 题型05 勾股定理及逆定理 题型06 锐角三角函数、解直角三角形 题型07 仰角、俯角、坡度实际应用 题型08 三视图、投影与视图 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 平行线性质与判定（同位角、内错角、同旁内角） 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 【典例02】（2025·四川雅安·中考真题）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质可求出的度数，再由对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 方法透视 考向解读 四川中考基础必考点，难度低，多以选填题形式出现，或作为解答题证明的第一步： 1.直接考查：根据平行线的性质，求角的度数；或根据角的关系，判定两直线平行。 2.综合考查：与角平分线、垂线、三角形内角和结合，进行角度计算或平行判定。 3.命题趋势：常结合折叠、平移等几何变换，增加题目复杂度。 方法技能 1.核心口诀： · 两直线平行，同位角相等； · 两直线平行，内错角相等； · 两直线平行，同旁内角互补。 · 同位角相等/内错角相等/同旁内角互补⇒两直线平行。 2.解题关键：准确识别 “三线八角” 中的同位角、内错角、同旁内角，找准截线与被截线。 3.辅助线技巧：当平行线被折线截断时，过折点作平行线，构造同位角/内错角进行角度转化。 变式演练 【变式01】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式02】（2025·四川成都·二模）已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，过G点作，则，根据平行线的性质可得，，即可得解． 本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：中，，， ， 如图，过G点作， ， ， ，， 又， ． 故选：B． 【变式03】（2025·四川成都·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时会发生折射．如图，液面与水槽下沿平行，光线从空气中斜射入某液体，折射光线为，点是射线与水槽下沿的交点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意得，所以，再根据外角的定义得，即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 又， ， 故选：B． 题型02 三角形内角和、外角、三边关系 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【典例02】（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 方法透视 考向解读 四川中考必考基础题型，选填解答均有涉及，是几何计算的基石： 1.角度计算：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和，求未知角。 2.三边判断：判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的范围。 3.综合应用：与等腰三角形、直角三角形结合，进行分类讨论（如等腰三角形边长问题）。 方法技能 1.内角与外角： · 三角形内角和为180°； · 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； · 三角形一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 2.三边关系： · 两边之和大于第三边（a+b>c）； · 两边之差小于第三边（∣a−b∣<c）。 3.解题技巧：已知两边a,b（a≥b），则第三边c的范围是 a−b<c<a+b。 4.分类讨论：涉及等腰三角形边长、角度时，需考虑顶角/底角、腰/底边的不同情况，避免漏解。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 故选：B． 【变式02】（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理．根据相似三角形的性质求得，，再利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选：B． 【变式03】（2026·四川成都·一模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 【答案】 【分析】边形的内角和（其中为多边形的边数，且，为正整数），先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该六棱柱的俯视图为六边形， 根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为． 题型03 全等三角形判定与性质 典例引领 【典例01】（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例02】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，且，． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识； （1）根据垂直的定义可得，根据平行线的性质可得，根据已知条件可得，即可证明结论； （2）根据可得，，即得，进而可得四边形是平行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得，即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. 方法透视 考向解读 四川中考核心考点，解答题必考，多为证明题，是几何证明的基础： 1.判定应用：根据已知条件，选择 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）判定三角形全等。 2.性质应用：利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，进行线段或角度计算。 3.动态问题：图形旋转、翻折后，判断新三角形与原三角形的关系，或证明全等。 方法技能 1.判定方法选择： · 已知两边：找夹角（SAS）或找第三边（SSS）； · 已知一边一角：找邻角（ASA/AAS）或找对边（AAS）； · 已知两角：找一边（ASA/AAS）。 · 直角三角形优先考虑HL。 2.解题步骤： · 准备条件（如公共边、公共角、对顶角、角平分线/中线/高带来的相等量）； · 写出全等证明过程（“在△ABC和△DEF中”）； · 得出结论并利用性质求边/角。 3.常见模型：手拉手模型、一线三等角模型、角平分线+垂线模型（构造全等）。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形全等的性质，平行线的判定解答即可． 【详解】解：， ， ， ； 无法证明； ， ，， ， 故选项A、C、D正确，不符合题意，选项B不正确，符合题意． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，是的中点，延长和交于点．若面积为，则平行四边形的面积为_____________． 【答案】 【分析】证明得到，证明，得到，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积． 【变式03】（2026·四川成都·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角度关系推导及线段长度计算等几何综合知识．该解题过程先通过截取并作构造辅助线，再利用角度关系推导出，结合相似三角形的性质求出和的长度，接着通过等腰三角形三线合一及全等三角形的性质得到，最后代入线段长度计算出的值． 【详解】解：截取，作于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴由，得， ∴， ∴由，得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则的长为， 故答案为：． 题型04 相似三角形判定与性质 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为________；点E在的延长线上，连接，若，则的长为________． 【答案】 4 / 【分析】作，垂足分别为，易得四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出的长，正切的定义求出，勾股定理求出的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则：，， ∴， ∴， ∴在中，，由勾股定理，得：， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或； 故答案为：4，． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 方法透视 考向解读 四川中考重难点，选填压轴与解答压轴题常客，与函数结合紧密： 1.判定应用：利用平行于三角形一边的直线、两角相等、两边成比例且夹角相等判定相似。 2.性质应用：利用相似三角形的对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方求解。 3.实际应用：测量高度、宽度，利用相似比解决投影、光路问题。 方法技能 1.判定技巧： · 找平行线（“A”型、“X”型）； · 找相等角（对顶角、公共角、同角的余角/补角）； · 计算比例边。 2.核心性质： · 相似比k =对应边之比=周长之比； · 面积之比= k2。 3.辅助线：构造平行线是证明相似最常用的手段，尤其是过端点作平行线分线段成比例。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则_____________． 【答案】 【分析】过点作，，过点作交于点，设，则，，利用角平分线的性质和面积公式求得，根据和，计算出即可解答． 【详解】解：如图，过点作，，过点作交于点， ，D为的中点， ， 设，则，， 可得， ， 平分，，， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知，，点，，在同一条直线上，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入相关数值，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 点在同一条直线上，， 即． ， ． 故答案为：6． 【变式03】（2026·四川成都·二模）如图，将菱形绕点A逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点E，若，，则的长为 _____________ ． 【答案】 【分析】先证明，过点作交于点，然后根据平行线的性质证明，，求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 在和中 ， ， 四边形是菱形， ，，， ∴， ， 点在上， 过点作交于点 ， ， ， ∴ ， ， ， , , ; 题型05 勾股定理及逆定理 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理可得，利用面积法即可求得的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 菱形的面积， ， 故答案为：． 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 方法透视 考向解读 四川中考必考基础，贯穿几何计算，选填解答均有涉及： 1.直接计算：在直角三角形中，已知两边求第三边。 2.逆定理应用：判断一个三角形是否为直角三角形。 3.综合应用：与折叠、最短路径、立体图形展开结合，求线段长度。 方法技能 1.核心公式：在Rt△中，a2+b2=c2（c为斜边）。 2.常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25（熟记可秒杀计算）。 3.解题技巧： · 方程思想：设未知数，利用勾股定理列方程求解； · 折叠问题：折叠后重合的边相等，结合勾股定理求折痕或重叠部分面积。 · 立体展开：将立体图形侧面展开成平面图形，构造直角三角形求最短路径。 变式演练 【变式01】（2026·四川泸州·一模）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，，，进而可证，代入数值到即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式02】（2026·四川广元·一模）如图，在中，，，，平分，过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得，再证明得到，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴，则， 在中，． 【变式03】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 题型06 锐角三角函数、解直角三角形 典例引领 【典例01】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果相加减； （2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 方法透视 考向解读 四川中考核心计算题型，解答题必考，多为基础计算题： 1.特殊角三角函数：熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值。 2.解直角三角形：已知直角三角形的两个元素（至少一边），求其余元素。 3.非直角三角形：通过作高，将非直角三角形转化为直角三角形求解。 方法技能 1.三角函数定义（在Rt△中）： sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边。 2.解题关键： · 构造直角三角形（作高、补全图形）； · 选择合适的三角函数（“有斜用弦，无斜用切”）。 3.互余关系：若∠A+∠B=90∘，则 sinA=cosB，tanA⋅tanB=1。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)半圆O的半径为2， 【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证； （2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式02】（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，于点，点在上（不与点，重合），连接，交于点． (1)求和的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)将沿着翻折后得到，点落在点处，连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的长为或 (3) 【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）求出，根据锐角三角函数值列式计算即可； （2）分和两种情况进行解答即可； （3）连接交于点，过点作，交的延长线于点．根据折叠的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识求出和，根据三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）已知是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得． ， 在中，由勾股定理， 得， ， 解得； ②当时，， ， ，即， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得 ， ， 解得， ； 综上所述，的长为或； （3）如图，连接交于点，过点作，交的延长线于点． ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 又， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， ， 。 ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， ． 题型07 仰角、俯角、坡度实际应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【典例02】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形， 得到 ，则. 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于H，则， 由题意得，， ∴，， ∴； （2）解：如图所示，过点E作于T，则， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴； 答：建筑物的高度为 方法透视 考向解读 四川中考应用题常客，紧密结合生活实际，难度中等： 1.仰角/俯角：解决测量高度（如楼房、旗杆、塔高）问题。 2.坡度（坡比）与坡角：解决斜坡、堤坝、滑梯等问题，坡度i=水平宽度垂直高度=tanα。 3.多直角三角形综合：连续应用解直角三角形，分步求解。 方法技能 1.概念区分： · 仰角：视线在水平线上方的角； · 俯角：视线在水平线下方的角； · 坡度 i=h:l=tanα（α为坡角）。 2.解题模型： · 画出示意图，标出已知量、未知量； · 识别直角三角形，若没有，作高线构造； · 设未知数，利用三角函数或勾股定理列方程求解。 3.注意单位：题目中单位需统一，结果按要求保留精确度（如精确到0.1米）。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）在主题为“用数学丈量家乡美景，用数据读懂城市发展”的综合与实践活动中，某班兴趣小组测量了家乡犹如宝石的斜拉桥主塔的高度．如图，在测点A处安置测角器，测得点N的仰角，测得点O的仰角，已知测点A距离塔底M约为94米，求斜拉桥主塔的上塔柱的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【答案】斜拉桥主塔的上塔柱高约53米 【分析】过点B作于点D，则，根据矩形的判定和性质得到，利用解直角三角形求出，，即可求出． 【详解】解：过点B作于点D，则， ∴四边形是矩形， （米）， ∵在中，， （米）， ∵在中，， （米）， （米）， ∴斜拉桥主塔的上塔柱高约53米． 【变式02】（2026·四川成都·二模）天府新区秦皇湖，有天府新区小“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚洲最大单体木结构建筑．天府新区某学校开展综合实践活动，测量该建筑物顶端到地面的高度．如图，为建筑物，在地面观测点处测得该建筑物顶端的仰角为，然后沿方向走米到点处，即米，在位于点正上方的观光台点处测得建筑物顶端的仰角为，已知米，，，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到地面的高度，即的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】该建筑物顶端到地面的高度约为米 【分析】过点作，垂足为，证明四边形是矩形，得到，米，设米， 则米， 分别在和中，利用锐角三角函数的定义表示出和的长，根据， 列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， 四边形是矩形， ，米， 设米， 则米， 在中，， （米）， 在中，， 米， ， ， 解得， （米）， 即该建筑物顶端到地面的高度约为米． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）起重机在建筑、工业生产上对物料的搬运有很大的作用。图1是起重机中的轮胎式起重机，它的结构示意图如图所示。已知起重机车臂与水平线的夹角，车身高，测得车轮在点处的仰角，且．求车臂顶点到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据；，，，） 【答案】车臂顶点到水平地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系，分别在中，利用边角关系得出，可设，则，在中，由得到，进而求出，再计算的值即可． 【详解】解：如图，过点作，的垂线，垂足分别为，则， 在中，， ，即， ， 设，则， 在中，，，， ，即， 解得， 经检验是原方程的解， ． 答：车臂顶点到水平地面的距离约为． 题型08 三视图、投影与视图 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键． 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得． 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同． 故选：C． 【典例02】（2026·四川绵阳·一模）如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从上往下看这个几何体即可解题． 【详解】解：从上往下看这个几何体，可得到俯视图是，一个大矩形的左侧有一个小矩形，故选项A正确． 方法透视 考向解读 四川中考基础考点，多为选填题，考查空间想象能力： 1.三视图：由立体图形画三视图，或由三视图还原立体图形，判断几何体形状、计算小正方体个数。 2.平行投影与中心投影：区分太阳光线（平行）与灯光（中心投影），解决影子长度、物体高度计算。 3.视图应用：利用视图判断几何体的表面积或体积。 方法技能 1.三视图规律： · 主俯：长对正；主左：高平齐；俯左：宽相等。 · 小正方体个数：结合俯视图，结合主、左视图确定每层数量。 2.投影解题： · 平行投影：相似三角形模型； · 中心投影：光线汇聚于一点，利用相似或位似思想求解。 3.空间想象：多观察生活中的立体物体，建立空间观念，尤其是圆柱、圆锥、球的三视图特征。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的左视图．熟练掌握从左边看到的是左视图是解题的关键．根据左视图，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，左视图如下； 故选：B． 【变式02】（2025·四川成都·二模）如图所示的几何体，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义以及看不到的用虚线表示成为解题的关键．根据从上面看到的形状图是俯视图即可解答． 【详解】 解：从上面看到的图形为：． 故选：D． 【变式03】（2025·四川成都·二模）斗拱是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．左视图：从左面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，即可． 【详解】解：斗形构件“三才升”的左视图为： 故选：A． 题●型●训●练 1．（2025·四川成都·三模）如图几何体的左视图是（　　） A．． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的三视图，根据三视图的特点，左视图是从图形的左边看得到的，由此可解． 【详解】解：从左面看，看到的图形为： 故选：B． 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质； 根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 4．（2026·四川南充·一模）如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出 的长，进而求出 ，根据矩形的性质可得 且 ，从而得出 为边上的高，利用面积公式即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 在中，，， ∴由勾股定理得：． ． 四边形是矩形， ，． ， 的长即为平行线与之间的距离． 点在边上， 点到的距离等于． ． 即 ． ． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 8．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 9．（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证得后，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ， ，即， ． 故教学楼的高度为． 10．（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F， 在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． （2）解：能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则， 在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 11．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形、平行线与解直角三角形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 平行线性质与判定（同位角、内错角、同旁内角） 题型02 三角形内角和、外角、三边关系 题型03 全等三角形判定与性质 题型04 相似三角形判定与性质 题型05 勾股定理及逆定理 题型06 锐角三角函数、解直角三角形 题型07 仰角、俯角、坡度实际应用 题型08 三视图、投影与视图 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 平行线性质与判定（同位角、内错角、同旁内角） 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·四川雅安·中考真题）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 四川中考基础必考点，难度低，多以选填题形式出现，或作为解答题证明的第一步： 1.直接考查：根据平行线的性质，求角的度数；或根据角的关系，判定两直线平行。 2.综合考查：与角平分线、垂线、三角形内角和结合，进行角度计算或平行判定。 3.命题趋势：常结合折叠、平移等几何变换，增加题目复杂度。 方法技能 1.核心口诀： · 两直线平行，同位角相等； · 两直线平行，内错角相等； · 两直线平行，同旁内角互补。 · 同位角相等/内错角相等/同旁内角互补⇒两直线平行。 2.解题关键：准确识别 “三线八角” 中的同位角、内错角、同旁内角，找准截线与被截线。 3.辅助线技巧：当平行线被折线截断时，过折点作平行线，构造同位角/内错角进行角度转化。 变式演练 【变式01】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式02】（2025·四川成都·二模）已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·四川成都·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时会发生折射．如图，液面与水槽下沿平行，光线从空气中斜射入某液体，折射光线为，点是射线与水槽下沿的交点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02 三角形内角和、外角、三边关系 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为______． 【典例02】（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为______． 方法透视 考向解读 四川中考必考基础题型，选填解答均有涉及，是几何计算的基石： 1.角度计算：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和，求未知角。 2.三边判断：判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的范围。 3.综合应用：与等腰三角形、直角三角形结合，进行分类讨论（如等腰三角形边长问题）。 方法技能 1.内角与外角： · 三角形内角和为180°； · 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； · 三角形一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 2.三边关系： · 两边之和大于第三边（a+b>c）； · 两边之差小于第三边（∣a−b∣<c）。 3.解题技巧：已知两边a,b（a≥b），则第三边c的范围是 a−b<c<a+b。 4.分类讨论：涉及等腰三角形边长、角度时，需考虑顶角/底角、腰/底边的不同情况，避免漏解。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式02】（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式03】（2026·四川成都·一模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 题型03 全等三角形判定与性质 典例引领 【典例01】（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例02】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，且，． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 方法透视 考向解读 四川中考核心考点，解答题必考，多为证明题，是几何证明的基础： 1.判定应用：根据已知条件，选择 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）判定三角形全等。 2.性质应用：利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，进行线段或角度计算。 3.动态问题：图形旋转、翻折后，判断新三角形与原三角形的关系，或证明全等。 方法技能 1.判定方法选择： · 已知两边：找夹角（SAS）或找第三边（SSS）； · 已知一边一角：找邻角（ASA/AAS）或找对边（AAS）； · 已知两角：找一边（ASA/AAS）。 · 直角三角形优先考虑HL。 2.解题步骤： · 准备条件（如公共边、公共角、对顶角、角平分线/中线/高带来的相等量）； · 写出全等证明过程（“在△ABC和△DEF中”）； · 得出结论并利用性质求边/角。 3.常见模型：手拉手模型、一线三等角模型、角平分线+垂线模型（构造全等）。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，是的中点，延长和交于点．若面积为，则平行四边形的面积为_____________． 【变式03】（2026·四川成都·一模）如图，在中，∠B=90°，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为_____． 题型04 相似三角形判定与性质 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为________；点E在的延长线上，连接，若，则的长为________． 方法透视 考向解读 四川中考重难点，选填压轴与解答压轴题常客，与函数结合紧密： 1.判定应用：利用平行于三角形一边的直线、两角相等、两边成比例且夹角相等判定相似。 2.性质应用：利用相似三角形的对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方求解。 3.实际应用：测量高度、宽度，利用相似比解决投影、光路问题。 方法技能 1.判定技巧： · 找平行线（“A”型、“X”型）； · 找相等角（对顶角、公共角、同角的余角/补角）； · 计算比例边。 2.核心性质： · 相似比k =对应边之比=周长之比； · 面积之比= k2。 3.辅助线：构造平行线是证明相似最常用的手段，尤其是过端点作平行线分线段成比例。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则_____________． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知，，点，，在同一条直线上，若，则的长为______． 【变式03】（2026·四川成都·二模）如图，将菱形绕点A逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点E，若，，则的长为 _____________ ． 题型05 勾股定理及逆定理 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为______． 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 方法透视 考向解读 四川中考必考基础，贯穿几何计算，选填解答均有涉及： 1.直接计算：在直角三角形中，已知两边求第三边。 2.逆定理应用：判断一个三角形是否为直角三角形。 3.综合应用：与折叠、最短路径、立体图形展开结合，求线段长度。 方法技能 1.核心公式：在Rt△中，a2+b2=c2（c为斜边）。 2.常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25（熟记可秒杀计算）。 3.解题技巧： · 方程思想：设未知数，利用勾股定理列方程求解； · 折叠问题：折叠后重合的边相等，结合勾股定理求折痕或重叠部分面积。 · 立体展开：将立体图形侧面展开成平面图形，构造直角三角形求最短路径。 变式演练 【变式01】（2026·四川泸州·一模）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2026·四川广元·一模）如图，在中，，，，平分，过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 题型06 锐角三角函数、解直角三角形 典例引领 【典例01】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 方法透视 考向解读 四川中考核心计算题型，解答题必考，多为基础计算题： 1.特殊角三角函数：熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值。 2.解直角三角形：已知直角三角形的两个元素（至少一边），求其余元素。 3.非直角三角形：通过作高，将非直角三角形转化为直角三角形求解。 方法技能 1.三角函数定义（在Rt△中）： sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边。 2.解题关键： · 构造直角三角形（作高、补全图形）； · 选择合适的三角函数（“有斜用弦，无斜用切”）。 3.互余关系：若∠A+∠B=90∘，则 sinA=cosB，tanA⋅tanB=1。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 【变式02】（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，于点，点在上（不与点，重合），连接，交于点． (1)求和的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)将沿着翻折后得到，点落在点处，连接，当时，直接写出的值． 题型07 仰角、俯角、坡度实际应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【典例02】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 方法透视 考向解读 四川中考应用题常客，紧密结合生活实际，难度中等： 1.仰角/俯角：解决测量高度（如楼房、旗杆、塔高）问题。 2.坡度（坡比）与坡角：解决斜坡、堤坝、滑梯等问题，坡度i=水平宽度垂直高度=tanα。 3.多直角三角形综合：连续应用解直角三角形，分步求解。 方法技能 1.概念区分： · 仰角：视线在水平线上方的角； · 俯角：视线在水平线下方的角； · 坡度 i=h:l=tanα（α为坡角）。 2.解题模型： · 画出示意图，标出已知量、未知量； · 识别直角三角形，若没有，作高线构造； · 设未知数，利用三角函数或勾股定理列方程求解。 3.注意单位：题目中单位需统一，结果按要求保留精确度（如精确到0.1米）。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）在主题为“用数学丈量家乡美景，用数据读懂城市发展”的综合与实践活动中，某班兴趣小组测量了家乡犹如宝石的斜拉桥主塔的高度．如图，在测点A处安置测角器，测得点N的仰角，测得点O的仰角，已知测点A距离塔底M约为94米，求斜拉桥主塔的上塔柱的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【变式02】（2026·四川成都·二模）天府新区秦皇湖，有天府新区小“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚洲最大单体木结构建筑．天府新区某学校开展综合实践活动，测量该建筑物顶端到地面的高度．如图，为建筑物，在地面观测点处测得该建筑物顶端的仰角为，然后沿方向走米到点处，即米，在位于点正上方的观光台点处测得建筑物顶端的仰角为，已知米，，，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到地面的高度，即的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）起重机在建筑、工业生产上对物料的搬运有很大的作用。图1是起重机中的轮胎式起重机，它的结构示意图如图所示。已知起重机车臂与水平线的夹角，车身高，测得车轮在点处的仰角，且．求车臂顶点到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据；，，，） 题型08 三视图、投影与视图 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·四川绵阳·一模）如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 四川中考基础考点，多为选填题，考查空间想象能力： 1.三视图：由立体图形画三视图，或由三视图还原立体图形，判断几何体形状、计算小正方体个数。 2.平行投影与中心投影：区分太阳光线（平行）与灯光（中心投影），解决影子长度、物体高度计算。 3.视图应用：利用视图判断几何体的表面积或体积。 方法技能 1.三视图规律： · 主俯：长对正；主左：高平齐；俯左：宽相等。 · 小正方体个数：结合俯视图，结合主、左视图确定每层数量。 2.投影解题： · 平行投影：相似三角形模型； · 中心投影：光线汇聚于一点，利用相似或位似思想求解。 3.空间想象：多观察生活中的立体物体，建立空间观念，尤其是圆柱、圆锥、球的三视图特征。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·四川成都·二模）如图所示的几何体，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·四川成都·二模）斗拱是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（    ） A．B． C． D． 题●型●训●练 1．（2025·四川成都·三模）如图几何体的左视图是（　　） A．． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·一模）如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________． 7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 8．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 9．（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 10．（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 11．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $