6.4.3 第2课时 正弦定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝75°， c＝3，则a＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．3 解析：选B.由正弦定理得＝，所以a＝＝×＝2. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4c，B＝，则sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由正弦定理得，＝＝，则sin C＝sin B＝×＝. 3．在△ABC中，已知cos 2A＋cos 2B＝2cos2C，则△ABC的形状一定为(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：选C.因为cos2A＋cos 2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－2sin2C，所以sin2A＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“A＝B”是“sinA＝sin B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.在△ABC中，若A＝B，则a＝b，由正弦定理＝，得sin A＝sin B，即充分性成立；若sin A＝sin B, 由正弦定理有＝，得a＝b，则A＝B，即必要性成立．综上可得“A＝B”是“sin A＝sin B”的充要条件． 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是(　　) A．B＝30°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝30°，c＝4，b＝3.9，有一解 C．B＝30°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝30°，c＝4，b＝1，无解 解析：选D.选项A，因为b＝5>c＝4，故△ABC只有一解，故A错误；选项B，因为c sin 30°＝2<b＝3.9<c＝4，故△ABC有两解，故B错误；选项C，因为c sin 30°＝2<b＝3<c＝4，故△ABC有两解，故C错误；选项D，因为b＝1<c sin 30°＝2，故△ABC无解，故D正确． 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有(　　) A．A∶B∶C＝ a∶b∶c B．＝ C．若A>B，则sin A>sin B D．若sin A>sin B，则a>b 解析：选BCD.由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A错误； 因为＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)， 所以＝ ＝2R＝，所以B正确； 在三角形中，大角对大边，由A>B得a>b，又＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以sin A＝>sin B＝，所以C正确； 若sin A>sin B，由正弦定理可得＝>1，所以a>b，所以D正确．故选BCD. 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝__________． 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶. 答案：1∶1∶ 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝2，A＝45°，则B＝________． 解析：由正弦定理得sin B＝＝＝，因为b<a，所以B<A＝45°，所以B＝30°. 答案：30° 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b＝4.若A＋C＝120°，且a＝2c，则c＝________． 解析：依题意，a＝2c，由正弦定理得sin A＝2sin C， 即sin (120°－C)＝2sin C， cos C＋sin C＝2sin C，tan C＝， 由于0°<C<120°， 所以C＝30°， 则A＝90°，B＝60°， 由正弦定理得＝，所以c＝＝＝. 答案： 10．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，且b sin 2A＝a sin B. (1)求A；(5分) (2)若sin B＝，求c.(8分) 解：(1)由b sin 2A＝a sin B，则2sin B sin A cos A＝sin A sin B， 在△ABC中，有sin A>0，sin B>0，故cos A＝，A∈(0，π)， 所以A＝. (2)因为sin B<sin A，所以B<A＝， 所以cos B＝＝，因为A＋B＋C＝π， 所以sinC＝sin (A＋B)＝×＋×＝， 由正弦定理可得c＝＝3××＝. 11．若满足B＝，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，6] B．(0，6]∪{6} C．[6，6] D．(6，6) 解析：选B.因为满足B＝，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个， 所以AC＝BC sin B或AC≥BC， 即6＝k，则k＝6，或6≥k， 综上，k∈(0，6]∪{6}． 12．在△ABC中，tan A＝，tan B＝. (1)C＝________； (2)若△ABC的最长边的长为，则最短边的长为________． 解析：(1)由题可知tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－1， 因为C∈(0，π)， 所以C＝. (2)由题可知，最长边为c＝，最短边为a. 易知sin A＝，sin C＝， 由正弦定理可知，a＝sin A＝. 答案：(1)　(2) 13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)·sin (A＋B)，试判断△ABC的形状． 解：因为(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，所以b2[sin (A＋B)＋sin (A－B)]＝a2[sin (A＋B)－sin (A－B)]， 所以2sin A cos B·b2＝2cos A sin B·a2, 即a2cos A sin B＝b2sin A cos B. 由正弦定理得 sin2A cos A sin B＝sin2B sin A cos B. 又sin A sin B≠0， 所以sin A cos A＝sin B cos B， 所以sin 2A＝sin 2B. 因为在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 14．(15分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b＝0. (1)求A；(7分) (2)若a＝2，cos B＝sin A，求△ABC的周长．(8分) 解：(1)在△ABC中，a cos C＋a sin C－b＝0， 由正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C－sin B＝0， 因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A sin C－cos A sin C＝0， 又sin C≠0，所以sin A－cos A＝0， 即tan A＝，因为0<A<π， 所以A＝. (2)因为cos B＝sin A＝且0<B<， 所以B＝， sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝. 由正弦定理得b＝＝2，c＝＝＋， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3. 15．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”．当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点．在△ABC中，若BC＝4，且sin A∶sin B∶sin C＝2∶2∶1，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为(　　) A．4 B．3 C．4＋ D．4＋2 解析：选B.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶2∶1，所以由正弦定理得a∶b∶c＝2∶2∶1，又a＝4，所以b＝2，c＝，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝－<－，所以A>120°，所以顶点A为费马点，故点A到各顶点的距离之和为b＋c＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $