7.1.2 复数的几何意义 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．复数z＝4－3i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选D.复数z＝4－3i在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限． 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(－1，1)，则复数z的共轭复数＝(　　) A.－1－i B．－1＋i C.1－i D．1＋i 解析：选A.由题意可得z＝－1＋i，故＝－1－i. 3．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　) A.a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C.a＝0 D．a＝0或a＝2 解析：选D.由题意可知，复数z在复平面内对应的点的坐标为(a2－2a，a2－a－2)，因为复数z对应的点在虚轴上，则a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2. 4．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－2i和1＋bi互为共轭复数，则复数z＝a＋(b－1)i的模为(　　) A.2 B． C.10 D． 解析：选B.由a－2i和1＋bi互为共轭复数， 可得a＝1，b＝2， 所以z＝a＋(b－1)i＝1＋i， 因此＝＝. 5．已知复数z＝1＋i的共轭复数是，z，在复平面内对应的点分别是A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积是(　　) A. B．1 C.2 D．4 解析：选B.复数z＝1＋i，则＝1－i，又z，在复平面内对应的点分别是A，B，所以A(1，1)，B(1，－1)，又O(0，0)，则OA＝，OB＝，AB＝2，易得△OAB是直角边长为的等腰直角三角形，其面积S＝××＝1. 6．(多选)已知复数z＝a2－1＋(a＋1)i，a∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若z为纯虚数，则a＝±1 B.若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a∈(－1，1) C.若a＝0，则＝－1－i D.若a＝0，则|z|＝1 解析：选BC.对于A，若z为纯虚数，即a2－1＝0且a＋1≠0，则a＝1，故A错误； 对于B，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则解得－1<a<1，即a∈(－1，1)，故B正确； 对于C，若a＝0，则z＝－1＋i，＝－1－i，故C正确； 对于D，若a＝0，则|z|＝，故D错误． 7．复数z＝2－i, 则||＝________． 解析：依题意，得＝2＋i，则||＝＝. 答案： 8．若复数z满足|z|＝5，且z在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个符合条件的复数z＝________． 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为|z|＝5， 所以a2＋b2＝25， 因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以z可以为3－4i. 答案：3－4i(答案不唯一，符合题意即可) 9．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________． 解析：设复数z1，z2，z3对应的点分别为Z1，Z2，Z3， 由题意知点Z1(3，－5)，Z2(1，－1)，Z3(－2，a)共线， 因此＝(－2，4)，＝(－5，a＋5)， 依题意，得－5×4＋2(a＋5)＝0，则a＝5. 答案：5 10．(13分)设复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x取何实数时： (1)在复平面上表示z的点位于第三象限；(6分) (2)在复平面上表示z的点在函数y＝x＋的图象上．(7分) 解：(1)由表示z的点位于第三象限， 则即 解得x∈. (2)由表示z的点在函数y＝x＋的图象上，则log2(x2－3x－3)－2log2(x－3)＋1＝0， 所以 解得x＝. 11．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量1，则1对应的复数的实部是(　　) A.6 B．－6 C.2 D．－2 解析：选B.因为复数4i对应的向量为， 所以 ＝(0，4)， 绕点O逆时针方向旋转60°后变为 2＝(－2，2)， 再将模变为原来的倍，得1＝(－6，2)，对应的复数的实部是－6. 12．已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且＝5，若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则a＝__________． 解析：因为z＝(a－1)－2ai(a∈R)， 所以＝＝5， 解得a＝－2或a＝， 又因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以所以a<0，所以a＝－2. 答案：－2 13．(13分)已知复数z1＝－i与z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|的值；(5分) (2)设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？(8分) 解：(1)|z1|＝|－i|＝＝2， |z2|＝＝＝1. (2)由(1)知1≤|z|≤2， 因为不等式|z|≥1的解集是以原点O为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式|z|≤2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两个圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示． 14．(15分)在复平面内，A，B，C三点表示的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求，，对应的复数；(7分) (2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．(8分) 解：(1)由题意得A(1，0)，B(2，1)，C(－1，2)，所以＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)，＝(－1，2)－(2，1)＝(－3，1)，＝(－1，2)－(1，0)＝(－2，2)， 所以，，对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i. (2)因为||＝，||＝，||＝2， 所以||2＋||2＝||2， 所以△ABC为直角三角形，所以S△ABC＝××2＝2. 15．(多选)在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的用复数的模来代替绝对值. 规定复数的“长度”即为模，在复平面实轴上方的复数为正，在实轴下方的复数为负，在实轴上的复数为实数大小．复数的“大小”用“符号＋长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小”. 例如[3＋4i]＝5，[－3－4i]＝－5，[－2]＝－2，则下列论述正确的是(　　) A.[－5＋12i]＝13 B.[z]＝2在复平面上表示一个半圆 C.若z∈C，则方程[z]2＝－1无解 D.若z1，z2为虚数，且z1＝2，则＋＝0 解析：选ACD.对于A，z＝－5＋12i对应的点(－5，12)在实轴上方，且|z|＝＝13，所以＝13，故A正确； 对于B，设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为＝2，所以b≥0，当b>0时，＝2， 当b＝0时，a＝2，故＝2在复平面上表示一个去掉点(－2，0)的半圆，故B错误； 对于C，若z∈C，则[z]为一个实数，所以方程[z]2＝－1无解，故C正确； 对于D，若z1，z2为虚数，且z1＝2，不妨设z1＝c＋di，则z2＝c－di，其中c∈R，d＞0， 所以＝，＝－，所以＋＝0，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $