7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．若复数z满足z－3－4i＝5，则z的虚部是（ ） A．－4 B．4 C．－4i D．4i 2．若复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（ ） A．－2－2i B．6＋8i C．2－2i D．－6－8i 3．设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则的虚部是（ ） A．－3 B．3 C．－3i D．3i 4．在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为(－2sin 120°，－2cos 120°），则|z＋2|＝（ ） A．2 B．2 C．3 D．1＋ 5．如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ） A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 6．（多选）已知复数z1＝1－i，z2＝2－i，z3＝2＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的原点，则（ ） A．z1＋z2的虚部为－2i B．z2－z3为纯虚数 C．OA⊥OC D．以|OA|，|OB|，|OC|为三边长的三角形为钝角三角形 7．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为（ ） A．3－2 B．－1 C．3＋2 D．＋1 8．设z是复数且|z－1＋2i|＝1，则|z|的最小值为（ ） A．1 B．－1 C．－1 D． 9．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．（多选）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A．z＋∈R B．z－是纯虚数 C．若z＝cos ＋isin ，则|z|＝1 D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2 11．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为（ ） A．2－2 B．2＋2 C．－1 D．＋1 二、填空题 12．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为________． 13．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________． 三、解答题 14．（12分）计算： （1）＋； （2）(3＋2i）＋(－2）i； （3）(1＋2i）＋(i＋i2）＋|3＋4i|； （4）(6－3i）＋(3＋2i）－(3－4i）－(－2＋i）． 15．(10分）若复数z满足|z|＝2，且z－4是纯虚数，求复数z． 16．（11分）已知复数z1＝＋ai，若复数z＝z1－|z1|＋1－i在复平面内所对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．若复数z满足z－3－4i＝5，则z的虚部是（ ） A．－4 B．4 C．－4i D．4i 解析：B　z－3－4i＝5，则z＝8＋4i，其虚部为4． 2．若复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（ ） A．－2－2i B．6＋8i C．2－2i D．－6－8i 解析：A　由复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝(2＋3i）＋(－4－5i）＝－2－2i． 3．设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则的虚部是（ ） A．－3 B．3 C．－3i D．3i 解析：A　依题意：z＋w＝4＋3i，则＝4－3i，所以其虚部为－3． 4．在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为(－2sin 120°，－2cos 120°），则|z＋2|＝（ ） A．2 B．2 C．3 D．1＋ 解析：A　因为(－2sin 120°，－2cos 120°）可化为(－，1），所以点Z的坐标为(－，1），则z＝－＋i，所以z＋2＝－＋i＋2＝＋i，所以|z＋2|＝＝2． 5．如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ） A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 解析：D　∵＝＋，∴对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，∴点C对应的复数为－1＋3i． 6．（多选）已知复数z1＝1－i，z2＝2－i，z3＝2＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的原点，则（ ） A．z1＋z2的虚部为－2i B．z2－z3为纯虚数 C．OA⊥OC D．以|OA|，|OB|，|OC|为三边长的三角形为钝角三角形 解析：BCD　对于A项，因为z1＋z2＝3－2i，所以z1＋z2的虚部为－2，所以A错误；对于B项，因为z2－z3＝－3i，所以z2－z3为纯虚数，所以B正确；对于C项，因为＝(1，－1），＝(2，2），所以·＝0，所以OA⊥OC，所以C正确；对于D项，由已知可得|OA|＝|z1|＝，|OB|＝|z2|＝，|OC|＝|z3|＝2，且|OA|2＋|OB|2＝7<8＝|OC|2，所以|OA|2＋|OB|2－|OC|2<0，所以D正确． 7．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为（ ） A．3－2 B．－1 C．3＋2 D．＋1 解析：D　|z1－z2|＝|(1－sin θ）＋(cos θ＋1）i|＝＝＝．∵－1≤cos ≤1，∴|z1－z2|max＝＝＋1． 8．设z是复数且|z－1＋2i|＝1，则|z|的最小值为（ ） A．1 B．－1 C．－1 D． 解析：C　根据复数模的几何意义可知，|z－1＋2i|＝1表示复平面内以(1，－2）为圆心，1为半径的圆，而|z|表示复数z对应的点到原点的距离，由图可知，|z|min＝－1＝－1． 9．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：B　根据复数加(减）法的几何意义，可知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形． 10．（多选）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A．z＋∈R B．z－是纯虚数 C．若z＝cos ＋isin ，则|z|＝1 D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2 解析：AD　因为复数z与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A正确；当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B错误；若z＝cos ＋isin ，则|z|＝≠1，C错误；若|z－i|＝1，设z＝x＋yi(x，y∈R），则x2＋(y－1）2＝1，则|z|表示在复平面内，满足方程x2＋(y－1）2＝1的圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确． 11．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为（ ） A．2－2 B．2＋2 C．－1 D．＋1 解析：B　设z＝x＋yi(x，y∈R），则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示复平面内的点Z(x，y）到△ABC三顶点A(－2，0），B(2，0），C(0，－2）的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°．此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°）＝2＋2． 二、填空题 12．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为________． 答案：－1 解析：由题意可得z1－z2＝0，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6）i，又m为实数，根据两个复数相等的充要条件可得解得m＝－1． 13．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________． 答案：9π 解析：由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π． 三、解答题 14．（12分）计算： （1）＋； （2）(3＋2i）＋(－2）i； （3）(1＋2i）＋(i＋i2）＋|3＋4i|； （4）(6－3i）＋(3＋2i）－(3－4i）－(－2＋i）． 解：（1）原式＝－i＝－i． （2）(3＋2i）＋(－2）i＝3＋(2＋－2）i＝3＋i． （3）(1＋2i）＋(i＋i2）＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i． （4）(6－3i）＋(3＋2i）－(3－4i）－(－2＋i）＝[6＋3－3－(－2）]＋[－3＋2－(－4）－1]i＝8＋2i． 15．(10分）若复数z满足|z|＝2，且z－4是纯虚数，求复数z． 解：设复数z＝x＋yi(x，y∈R），则z－4＝(x－4）＋yi， 依题意，解得或故复数z＝4＋2i或z＝4－2i． 16．（11分）已知复数z1＝＋ai，若复数z＝z1－|z1|＋1－i在复平面内所对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 解：因为z1＝＋ai，所以|z1|＝＝|a＋1|． 又a≥－，所以|a＋1|＝a＋1， 所以z＝＋ai－(a＋1）＋1－i＝－a＋(a－1）i． 因为z＝z1－|z1|＋1－i在复平面内所对应的点在第二象限， 所以解得a＞1＋，所以实数a的取值范围为(1＋，＋∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $