6.4.3 第1课时 余弦定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝5，C＝120°，则c＝（ ） A． B．19 C． D．7 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝3，c＝2，则A等于（ ） A． B． C．π D．π 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a∶b∶c＝5∶8∶10，则△ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B＝c－2a，b＝2a，则（ ） A．2a＝3c B．3a＝2c C．b＝2c D．2b＝c 5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠ADC＝，AD＝2，CD＝1，则AB＝（ ） A． B．3 C． D．3 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2b，c＝3，则·的取值范围是（ ） A．(3，9) B．(6，18) C． D． 8．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bc sin 2A＝b2＋c2－a2，则A的大小可能为（ ） A． B． C． D． 9．（多选）若某锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的值可能为（ ） A．2 B． C． D． 10．（多选）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ） A．sin (B＋C)＝sin A B．cos (B＋C)＝cos A C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 二、填空题 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝，C＝π，则c＝________． 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3(a－c)2＝3b2－2ac，则cos B的值为______________． 三、解答题 13．（8分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝4，c＝2，B＝30°，解三角形． 14．(9分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0． （1）求A的大小； （2）若a＝2，b＝2，求c的值． 15．(10分)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sin·sin ＋sin2B． （1）求角A的值； （2）若·＝12，a＝2，且b＜c，求b，c的值． 16．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0． （1）求B的大小； （2）若a＋c＝1，求b的取值范围． 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝5，C＝120°，则c＝（ ） A． B．19 C． D．7 解析：D　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以c2＝32＋52－2×3×5×＝34＋15＝49．因为c>0，所以c＝7． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝3，c＝2，则A等于（ ） A． B． C．π D．π 解析：D　在△ABC中，a＝，b＝3，c＝2，由余弦定理可得cos A＝＝＝－，因为0<A<π，所以A＝． 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a∶b∶c＝5∶8∶10，则△ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：C　因为a∶b∶c＝5∶8∶10，所以设a＝5t，b＝8t，c＝10t，t>0，由余弦定理得cos C＝＝－<0，因为C∈(0，π)，所以C∈，所以△ABC为钝角三角形． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B＝c－2a，b＝2a，则（ ） A．2a＝3c B．3a＝2c C．b＝2c D．2b＝c 解析：B　由2a cos B＝c－2a得2a＝c－2a⇒a2－b2＝－2ac，由于b＝2a，所以a2－4a2＝－2ac，故3a＝2c，故选B． 5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 解析：D　设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝． 6．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠ADC＝，AD＝2，CD＝1，则AB＝（ ） A． B．3 C． D．3 解析：A　如图，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos ∠ADC＝4＋1－2×2×1×＝7，即AC＝，则cos ∠ACD＝＝＝，因为AB∥CD，可得∠BAC＝∠ACD，故cos ∠BAC＝．由AC⊥BC知cos ∠BAC＝，所以AB＝＝＝． 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2b，c＝3，则·的取值范围是（ ） A．(3，9) B．(6，18) C． D． 解析：B　由题有⇒⇒⇒1<b<3，所以1<b2<9，故6<b2＋<18，所以·＝ac cos B＝ac×＝＝b2＋∈(6，18)． 8．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bc sin 2A＝b2＋c2－a2，则A的大小可能为（ ） A． B． C． D． 解析：ACD　依题可得sin 2A＝＝cos A，即2sin A cos A＝cos A，则cos A＝0或sin A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝或或． 9．（多选）若某锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的值可能为（ ） A．2 B． C． D． 解析：ABC　若某锐角三角形的三边长分别为1，2，a，首先2－1＝1<a<2＋1＝3，由题可知只需满足最大角是锐角即可，由大边对大角结合余弦定理可知，只需解得<a<，对比选项可知，a的值可能为2，，． 10．（多选）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ） A．sin (B＋C)＝sin A B．cos (B＋C)＝cos A C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 解析：AC　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A正确；cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确． 二、填空题 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝，C＝π，则c＝________． 答案： 解析：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋3－2×4××＝31，∴c＝． 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3(a－c)2＝3b2－2ac，则cos B的值为______________． 答案： 解析：若3(a－c)2＝3b2－2ac，则3a2－6ac＋3c2＝3b2－2ac，可得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cos B＝＝． 三、解答题 13．（8分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝4，c＝2，B＝30°，解三角形． 解：∵a＝4，c＝2，B＝30°，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即b2＝16＋12－2×4×2×＝4，∴b＝2． ∴cos C＝＝＝． ∵0°<C<180°，∴C＝60°， ∴A＝180°－60°－30°＝90°． ∴b＝2，A＝90°，C＝60°． 14．(9分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0． （1）求A的大小； （2）若a＝2，b＝2，求c的值． 解：（1）∵cos A＝2cos2－1，2cos2＋cos A＝0， ∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， 由0°<A<180°，得A＝120°． （2）由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A， 又a＝2，b＝2，cos A＝－，∴(2)2＝22＋c2－2×2c×， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)． 15．(10分)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sin·sin ＋sin2B． （1）求角A的值； （2）若·＝12，a＝2，且b＜c，求b，c的值． 解：（1）因为sin2A＝sin·sin ＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝， 所以sinA＝或－，又A为锐角，所以A＝． （2）由·＝12，可得cb cos A＝12　①， 由（1），知A＝，所以cb＝24　②， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，a＝2及①，得c2＋b2＝52　③， 由②③得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10， 所以c，b是一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根，由b＜c，解得c＝6，b＝4． 16．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0． （1）求B的大小； （2）若a＋c＝1，求b的取值范围． 解：（1）由已知得，－cos (A＋B)＋cos Acos B－sin A cos B＝0， 即sin A sin B－sin A cos B＝0． 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0． 又cos B≠0，所以tan B＝． 又0<B<π，所以B＝． （2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B． 因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3＋． 又0<a<1，所以≤b2<1，即≤b<1． 学科网（北京）股份有限公司 $