6.4.3 第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课时达标-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3第3课时　 余弦定理、正弦定理应用举例 一．选择题 1.已知轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,下午2时两船之间的距离是(　　) A.35 n mile B.35 n mile C.35 n mile D.70 n mile 2.如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧的河岸边选定一点C,测出AC的距离为m,∠BAC=α,∠ACB=β,则A,B两点间的距离为(　　) A B C D 3.某人在点C测得某塔底B在南偏西80°方向,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10 m到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为(　　) A.15 m B.5 m C.10 m D.12 m 4.如图,从热气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时热气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于(　　) A.30(+1)m B.120(-1)m C.180(-1)m D.240(-1)m 5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高度为(　　) A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m 6.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长(　　) A.5 m B.10 m C.10 m D.10 m 7.如图,某炮兵阵地位于点A,两个观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为等边三角形,且DC= km,当目标出现在点B时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约是(　　) A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km 8.(多选题)如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2 km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则(　　) A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向 B.当天10:00时,该船距离观测点C km C.当船行驶至B处时,该船距观测点C km D.该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 km 二．填空题 9.某观测站C与两灯塔A,B的距离分别为300 m和500 m,测得灯塔A在观测站C北偏东30°方向,灯塔B在观测站C南偏东30°方向,则两灯塔A,B之间的距离为　　　　　.  10.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高为60 m,则山高CD为　　　　　.  11.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一座建筑物CD的顶端C对于山坡的坡度为15°,向山顶前进100 m到达B处,测得点C对于山坡的坡度为45°,假设建筑物CD的高为50 m,设山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ=　　　　.  12.如图,在山脚测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至点S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为　　　　　m.  13.如图,位于A处的海上观测站获悉,在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救,在A处南偏西30°且相距20 n mile的C处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往B处援助,则sin∠ACB=　　　　　.  三．解答题 14.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°方向,距离为8 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°,求: (1)A处与D处之间的距离; (2)灯塔C与D处之间的距离. 15.如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行20()n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行40 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,那么此船应沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少? 16.如图,某观测站C在A城的南偏西20°的方向,从A城出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城多少千米? 6.4.3第3课时　 余弦定理、正弦定理应用举例 一．选择题 1.画出示意图,如图所示,由题意可知∠C=120°,AC=50,BC=30,由余弦定理,得AB2=302+502-2×50×30×=4 900,得AB=70. D 2.在△ABC中,AC=m,∠BAC=α,∠BCA=β. 则∠ABC=π-α-β. 即sin∠ABC=sin(π-α-β)=sin(α+β). 由正弦定理,得,得AB= C 3.如图,设塔高为h m,则AB=h,BC=h,BD=h,∠BCD=120°,CD=10, 由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°,解得h=10. C 4.由题意可知,BC=60tan 60°-60tan(90°-75°)=60()=60()=120(-1)(m). B 5.依题意,在△BCD中,CD=10 m,∠BCD=105°,∠BDC=45°,则∠DBC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理,得,得BC==10(m). 在Rt△ABC中,∠BCA=60°, 即AB=BCtan∠BCA=10=10(m). 故塔AB的高度为10 m. D 6.如图,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°, 在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10 m. 在△ABB'中,由正弦定理, 得BB'==10(m). 故坡底延长10 m时,斜坡的倾斜角将变为30°. C 7.A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km ∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°. 在△BCD中,由正弦定理,得BD= 在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°. 由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°=3++2=5+2 则AB=2.9(km). 故炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km. C 8．A项中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正确. B项中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°, 则∠CAD=45°, 由正弦定理,得AC=(km), 故B正确. C项中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,则BD=CD=2,于是BC=2 km,故C不正确. D项中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=2+8-2××2=6,即AB= km,故D正确. ABD 二．填空题 9.如图所示,在△ABC中,AC=300 m,BC=500 m,∠ACB=120°. 由余弦定理, 得AB===700(m). 700 m 10.在△ABC中,BC=60 m,∠BAC=15°,∠ABC=30°. 由正弦定理,得AC==30()(m), 即CD=ACsin 45°=30(+1)(m). 30(+1)m 11.在△ABC中,AB=100,∠CAB=15°,∠ACB=45°-15°=30°. 由正弦定理,得,故BC=200sin 15°. 在△DBC中,CD=50,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ. 由正弦定理,得, 故cos θ=-1. -1 12.由题意得∠SAB=45°-30°=15°,∠ABS=45°-(90°-∠DSB)=30°,又AS=1 000, 由正弦定理,可得, 即BS=2 000sin 15°(m), 则BD=BSsin 75°=2 000sin 15°cos 15°=1 000sin 30°=500(m),且DC=1 000sin 30°=500(m). 从而BC=DC+BD=1 000(m). 1 000 13.在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°. 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800, 得BC=20 由正弦定理,得sin∠ACB= 三．解答题 14. 由题意画出示意图. (1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=12 n mile. 由正弦定理,得AD==24(n mile). (2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=242+(8)2-2×24×8=192,故CD=8(n mile). 15. 在△ABC中,AB=20(), BC=40,∠ABC=180°-75°+15°=120°. 由余弦定理可得 AC== =40 由正弦定理,得,得 sin∠BAC= 即∠BAC=45°,75°-∠BAC=30°. 故此船应沿北偏东30°方向航行,需要航行40 n mile. 16. 在△BCD中,BC=31,BD=20,CD=21,由余弦定理,得cos∠BDC==-, 即cos∠ADC=,sin∠ADC= 在△ACD中,由条件知CD=21,A=60°, 则sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)= 由正弦定理,得,解得AD==15.故这时此车距离A城15 km. 学科网（北京）股份有限公司 $