解三角形(2)：边角化简 测量问题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形(2)：边角化简 测量问题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A A A B BCD ABD 1．B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，. 要使有两解，即有两解，则应有，且， 所以， 所以. 故选：B． 2．A 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论. 【详解】，由正弦定理，得， 即 ∴，可得， 又，∴， 则的形状为等腰三角形. 故选：A. 3．A 【难度】0.85 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】给两边同时乘以，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，两边同时乘以得： ，由余弦定理可得， 则，所以有， 又，所以，又因为， 所以. 故选：A 4．A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故选：A 5．B 【难度】0.85 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】利用余弦定理进行边化角，整理可得即，再用余弦定理可得． 【详解】因为，则， 整理得， 所以即， 则， ∵，所以. 故选：B. 6．BCD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 7．ABD 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由已知结合二倍角的余弦公式可得，利用三角恒等变换可得，可判断A；利用三角内角和可得，结合两角和正切公式计算可判断B；分类讨论可得，进而，进而计算可判断CD. 【详解】由，可得， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以，故A正确； 因为，所以，所以， 所以， 所以，故B正确； 因为，所以同号， 若，又，此时，显然不符合题意， 所以，所以，所以， 所以，由，可得， 所以，所以，所以，故C错误； 由，可得，，故D正确. 故选：ABD. 8．. 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 9．2 【难度】0.76 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 10．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 11．(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理边化角，切化弦后整理可得； （2）根据余弦定理，联立已知条件解方程组可得，然后由面积公式可得. 【详解】（1）由正弦定理边化角得，所以， 即， 整理得， 因为，所以， 又，所以. （2）由正弦定理得， 又，所以，即， 所以， 所以，所以， 所以的面积. 12．(1)两船相距海里. (2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【难度】0.4 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. （2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 答案第8页，共8页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形(2)：边角化简 测量问题 一、单选题 1．中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（   ） A．若为钝角三角形，则 B．若，则 C．若，，，则有两解 D．，则为等腰三角形或直角三角形 7．已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．， 三、填空题 8．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 9．在中，角的对边分别是，若，则__________． 四、解答题 10．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 11．已知中，角所对的边分别为. (1)求角； (2)若，且的周长为，求的面积. 12．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 答案第8页，共8页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $