精品解析：江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷

2025～2026学年第二学期期中调研 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】关于平面对称的点，横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数， 已知点的坐标为，按照规律可得关于平面的对称点坐标为. 2. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点在曲线上，所以当时，， 代入可得，即函数， 求导可得， 因为曲线在点处的切线方程是，即切线的斜率为， 所以， 所以，. 3. 已知展开后共有30项，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】根据多项式展开的规律和分步乘法计数原理知：展开式的每一项都是从每个括号中各取一个项相乘得到，总项数等于每个括号内项数的乘积. 第一个括号中有2个项，第二个括号中有3个项，第三个括号中有n 个项， 因此总项数为，解得. 4. 在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，由得， ， 代入得． 5. 已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数学期望计算公式计算，然后根据代入计算即可. 【详解】由随机变量的分布列可知， 因为，则，故D正确. 6. 若函数在区间上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为在上有解，分离参数后构造函数，用导数求出最小值求解. 【详解】，要使函数在区间上存在单调递减区间， 则在上有解，即在上有解， 即在上有解，令，， 令，即，解得， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以在上的最小值为，所以， 所以的取值范围是. 7. 在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，二面角的平面角就是向量与的夹角，进而得与的夹角为，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用导数画出函数的图象，再利用导数的几何意义，求出与相切时的取值，再利用数形结合求的取值范围. 【详解】，，得， 当时，，函数在区间单调递增， 当时，，函数在区间单调递减， 且时，，当时，的最大值为， 如图，画出函数的图象， 如图，当与相切时，与有3个交点， 设切点， 则切线方程为，因为切线过原点， 所以，则，， 所以， 所以直线与相切时，直线的斜率， 如图，若直线与有4个交点，即函数有4个不同的零点， 则，解得：， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数的求导法则与复合函数求导求解即可. 【详解】选项A错误， ，选项B正确， 选项C正确， 选项D正确. 10. 3名男生，3名女生，这6个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男生必须排在一起，共有120种排法 B. 男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有36种排法 C. 男生互不相邻，共有144种排法 D. 男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有20种排法 【答案】CD 【解析】 【分析】根据每个选项的不同排列要求，对应确定采用捆绑法、插空法等适配的排列计算模型，之后逐个计算各情况的排法数，将计算结果与选项给出的数值对比，得出正确答案. 【详解】对于A选项，男生必须排在一起，则男生捆绑在一起，则男生内部有种排法，再将男生看成一个整体，与女生排列，则有种，则共有种排法，故A错误； 对于B选项，男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，则男生有种排法，女生有种排法，则共有种，故B错误； 对于C选项，则先排女生种排法，再利用插空法可得，男生有种，则共有种排法，故C正确； 对于D选项，男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列转化为从6个位置中选出3个位置给女生，剩下的给男生的组合数，则有种. 11. 已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（ ） A. 若点在平面内，则 B. 当，，时，点到直线的距离为 C. 当，时，该正方体被平面所截得的截面的最大面积是 D. 当，时，二面角的正弦值的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A选项，由与重合时求解即可；对于B选项，由求解即可；对于C选项，由该正方体被平面所截得的截面为等腰梯形求解即可；对于D选项，分别求平面与平面的法向量，对与分别讨论. 【详解】如图因为六面体为正方体，所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 对于A选项，当与重合时，，，，故A错误； 对于B选项，，，故B正确； 对于C选项，如上图所示，因为，，所以，设与交于点，由截面的性质可得，，且，所以， 所以该正方体被平面所截得的截面为等腰梯形， 设，所以，由截面为等腰梯形，则，且， 设梯形高为，且，所以， 则在递减，所以，故C正确； 对于D选项，，则面的法向量为， 面的法向量，，， 所以，， 所以，， 令，则，则， 所以，，因为，且，则，则，令，则，所以 当时，可以取得最小值为，若时，则， 此时点在面内，则平面与平面的夹角为，则二面角的正弦值为1，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则可能取值为______. 【答案】或5 【解析】 【分析】利用组合数性质列式求解即可. 【详解】因为， 则或， 解得或5，经检验，均满足题意. 故答案为：或5 13. 从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 【答案】 【解析】 【详解】记事件“女生甲被选中”，事件“两名男生被选中”， 从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动共有种选法. 女生甲被选中的概率，女生甲被选中且两名男生被选中的概率. 女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率. 14. 把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法. 【答案】180 【解析】 【分析】为避免重复计算，以A盒的小球个数进行分类讨论，再将剩余的球分配进剩余两盒即可 【详解】若A盒只有一个球（黑球），共有种方法； 若A盒有2个球，共有种方法； 若A盒有3个球，共有种方法； 若A盒有4个球，共有种方法 故总计种方法 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求展开式中的带有的项； （2）求展开式中各项的系数和； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理求得展开式的通项公式，再结合得，最后代入计算即可； （2）结合题意，令求解即可； （3）结合得第4项的二项式系数最大，再求对应项即可. 【小问1详解】 解：由题意知，展开式的通项公式为，， 令，解得 所以，展开式中的带有的项为； 【小问2详解】 解：根据题意，令，此时展开式的值即为各项系数和：. 【小问3详解】 因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大， 所以. 16. 多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． （1）在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； （2）现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过把甲同学所有可能选择答案的样本空间列出，再使用古典概型计算公式计算甲同学得4分的概率； （2）列出2道多项选择题的总得分变量的取值情况，再通过独立事件乘法公式计算出每种情况的概率，列出变量的分布列. 【小问1详解】 设“甲同学得4分”为事件， 该同学所有可能的选择答案的样本空间， 包含6个样本点，而事件A包含3个，所以 所以他本题得4分的概率为． 【小问2详解】 设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12， 则，， ， ，， 所以随机变量的概率分布如下： 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若点为的中点，求证：. （2）求直线与平面所成的角的正弦值． （3）若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则， 则，则，， ，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用数量积证明线线垂直； （2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解； （3）分别求平面和的法向量，再代入二面角的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 则，设，则，所以， 设与平面的夹角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，， 故平面的一个法向量为， 同理，，设平面的一个法向量为， 则有，令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）1 【解析】 【小问1详解】 当时，，定义域为 则，令解得 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以有极大值，无极小值 【小问2详解】 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【小问3详解】 因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 设，则 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值 因为，所以. 故整数的最小值为1 19. 有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球． （1）取出五个盒子，分别编号为， 第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子； 第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中； 第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？ （2）取出个盒子，重新编号，依次为， 从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小． 【答案】（1）①；②放回1号盒子的可能性更大 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定第一步结束后1号盒子和2号盒子中红球和白球的数量，然后分别计算3种情况下摸到红球的概率，然后利用全概率公式求解答案即可，利用贝叶斯公式分别计算出第三步摸到的是白球，第二步从1号盒子里摸出的两个球放入2号盒子和放回1号盒子的概率，然后根据概率的大小确定可能性. （2）先通过全概率公式和构造不动点等比数列去确定摸到红球的概率是不变的，然后列出的分布列并计算期望，再化简和比较大小即可. 【小问1详解】 第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球． ①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件 设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件，则. 此时2号盒子中有4红3白，. 设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件，则. 此时2号盒子中有2红5白，则. 设“第二步从1号盒子中摸出1个红球和1个白球”为事件，则. 此时2号盒子中有2红3白，则 则 故第三步从2号盒子中摸出红球的概率是. ②设“第三步从2号盒子中摸出白球”为事件，则. . . 最大，所以放回1号盒子的可能性更大. 【小问2详解】 记“从号盒子中摸出的球为红球”， 所以， 则由全概率公式可得：. 又，， 又，，. 设号盒子中红球个数为，可能取值为， ，，. . 而. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期中调研 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知展开后共有30项，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 4. 在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 3名男生，3名女生，这6个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男生必须排在一起，共有120种排法 B. 男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有36种排法 C. 男生互不相邻，共有144种排法 D. 男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有20种排法 11. 已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（ ） A. 若点在平面内，则 B. 当，，时，点到直线的距离为 C. 当，时，该正方体被平面所截得的截面的最大面积是 D. 当，时，二面角的正弦值的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则可能取值为______. 13. 从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 14. 把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求展开式中的带有的项； （2）求展开式中各项的系数和； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 16. 多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． （1）在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； （2）现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若点为的中点，求证：. （2）求直线与平面所成的角的正弦值． （3）若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒成立，求整数的最小值． 19. 有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球． （1）取出五个盒子，分别编号为， 第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子； 第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中； 第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？ （2）取出个盒子，重新编号，依次为， 从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $