精品解析：吉林永吉实验高级中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学学科试卷

高中期中质量检测高一数学学科试卷 一、单选题(每题5分） 1. 化简 (    ) A. B. C. D. 2. 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 7. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 二、多选题(每题满分6分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题(每题5分） 12. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______. 13. 空间四边形中，､分别是､的中点，，，，那么直线与所成角的大小是______. 14. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 四、解答题 15. 在中，. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角的余弦值. 17. 在△ABC中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求. 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. （1）求证：平面PAB； （2）求三棱锥的体积. 19. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中期中质量检测高一数学学科试卷 一、单选题(每题5分） 1. 化简 (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】解：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4， 所以该三棱锥的体积为， 故选：A. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算坐标表示求坐标，根据平行关系列方程求参数即可. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 4. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 5. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两边平方，代入，化简可得，再根据向量的夹角公式求解即可 【详解】由可得，即，故，即， 设与的夹角为，则，即，又 ，故 故选：D 6. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确. 故选：D. 7. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 故选：C. 8. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得，进而求得的正余弦值，再根据，即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得，即， 解得， ， 则． 故选：B． 二、多选题(每题满分6分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以AC选项正确． 圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项不正确． 故选：ABC 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题(每题5分） 12. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则复原原图，确定相关线段长，即可求得答案. 【详解】由题意可知，，斜边，，∴， 由斜二测画法的规则可知，在中，，，， ∴的面积是， 故答案为： 13. 空间四边形中，､分别是､的中点，，，，那么直线与所成角的大小是______. 【答案】90 【解析】 【分析】通过作BC的中点，将AC与BD进行平移；在三角形中，根据余弦定理可求得夹角. 【详解】取线段BC的中点为M，连接PM、MR，作图如下： 在中，因为M、R分别为BC、CD中点， 所以：MR//BD，同理可得：MP//AC， 故为异面直线AC与BD的夹角或其补角. 在中，， ，又， 故， 又异面直线夹角的范围为：， 故 故答案为：90. 【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，一般步骤是：平移，使得两条直线相交，找到异面直线的夹角，在三角形中利用余弦定理求解. 14. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 四、解答题 15. 在中，. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 解：在中，设内角、、的对边分别为、、， 因为，即， 由题意得： 由正弦定理得，即， 所以，，又因为，所以，. 【小问2详解】 解：，代入，则，即， 因为，所以，， 则，可得，因此，的周长为. 16. 已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的定义求出，由代入数值得到； （2）由代入数值得到，由代入数值得到，利用向量的数量积公式得到，代入数值得到所求. 【小问1详解】 ，，且与夹角为，， ； 【小问2详解】 ， ， . 17. 在△ABC中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式可得答案； （2）利用余弦定理和向量公式，结合三角形面积公式可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，，∴， ∵，∴，∵，∴. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则，则， 即，所以，② 联立得，所以. 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. （1）求证：平面PAB； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）E为PA中点，连接EM、EB，由已知易证为平行四边形，即，根据线面平行的判定证平面PAB. （2）由线面垂直的性质及勾股逆定理证明、，根据线面垂直的判定证面，求得三棱锥的高及，结合三棱锥体积公式求体积即可. 【小问1详解】 取E为PA中点，连接EM、EB，由M为PD的中点， ∴且，又且，则且， ∴四边形为平行四边形，故， ∵平面，平面， ∴平面PAB. 【小问2详解】 连接AC，过C作交于F点，即且， ∴中，，而在中，，有， ∴，又平面ABCD，平面，则， ∵，平面，∴平面， 即是三棱锥的高，而， ∴. 19. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $