精品解析：2026年河南省驻马店市第四中学九年级数学第二次模拟试题

九年级数学第二次模拟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将用科学记数法表示应为． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可． 【详解】A．a+2a=3a,该选项错误; B．,该选项正确; C．,该选项错误; D．,该选项错误; 故选B． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 4. 将一块直角三角尺按如图方式放置，、两点分别落在直线、上，已知直线，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入计算即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则进行运算即可求解，掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 故选：C． 7. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键，确定出三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， 故选A． 8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，解直角三角形求出，，结合翻折的性质可求出，过F作于H，并反向延长交于H，根据矩形的判定与性质求出，证明，求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，然后把代入，求出x的值即可． 【详解】解：∵的边在x轴上，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 过F作于G，并反向延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，将代入得， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 10. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据图象对每一个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； B、由函数图象可知，当粮食水分含量为时，的阻值小于，故本选项符合题意； C、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个顶点坐标为的二次函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数的顶点式为 的顶点坐标为是解题的关键， 利用二次函数的顶点式写出解析式即可． 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式可以为． 故答案为 （答案不唯一）． 12. 一组数据2，3，1，3，5，4，这组数据的众数是___________，中位数是_________ 【答案】 ①. 3 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的概念，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． ①找出这组数据中出现次数最多的数． ②先将数据从小到大排序，再找中间位置的数（数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数）． 【详解】解：众数：在数据中，3出现了2次，出现的次数最多，所以众数是3， 中位数：将这组数据从小到大排列为，数据个数为6，是偶数个，中间的两个数是3和3，则中位数为． 故答案为：3；3． 13. 不等式组的解集是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为． 14. 如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴图2中的阴影部分的面积为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为______，点的坐标为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质， 全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，证明，则有，由，当三点共线时，有最大值，即的长度最大值为，过轴于点，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接， 由题意得：， ，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 由， ∴当三点共线时，有最大值， 即的长度最大值为， 如图，过轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 计算与化简 （1） （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答有关人员开展了对，两款聊天机器人的使用满意度的评分调查满分分，并从中各随机抽取份评分数据，进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意；比较满意；满意；非常满意，下面给出了部分信息． 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：，，，，，． 抽取的对款聊天机器人的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：          ，          ，           （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱请说明理由写出一条理由即可 （3）在此次调查中，有人对款聊天机器人进行评分，人对款聊天机器人进行评分请通过计算，估计此次调查中对这两款聊天机器人不满意的共有多少人 【答案】（1），， （2） 解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：款“满意”所占百分比为， “不满意”所占百分比为， ； ∵不满意人数为，比较满意人数为 “满意”的数据：； 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是、， ， 在款的评分数据中，出现的次数最多， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：款中“不满意”的有人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 18. 如图，，平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1） 作图如下： （2）猜想：四边形是菱形， 证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查角平分线画法，菱形的判定，平行四边形判定及性质等． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接与这点即为的平分线，即可得到本题答案； （2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下： 【小问2详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 20. 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 21. 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费． ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元． （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算． 【答案】（1）银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x； （2）A（0，150），B（15，300），C（45，600）； （3）如图所示：由A，B，C的坐标可得： 当0＜x＜15时，普通消费更划算； 当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x＜45时，银卡消费更划算； 当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当x＞45时，金卡消费更划算． 【解析】 【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可； （2）利用函数交点坐标求法分别得出即可； （3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x； （2）由题意可得：当10x+150=20x， 解得：x=15，则y=300， ∴B（15，300）， 当y=10x+150，x=0时，y=150， ∴A（0，150）， 当y=10x+150=600， 解得：x=45，则y=600， ∴C（45，600）； （3）略 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键． 22. 已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为 （1）求二次函数的表达式； （2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ． 【答案】（1） （2）m的值为 （3）的值为： 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求顶点出平移后的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为 ∴二次函数的解析式为， ∴； 【小问2详解】 解：将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后的坐标为：， 则， 解得， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：∵的对称轴为直线：， 当时， ∴函数最大值为：， 函数最小值为， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴； 当时， ∴函数最大值为：， 函数最小值为， ∴，不符合题意； 当时， ∴函数最大值为：， 函数最小值为， ∴，即， 解得：，（不符合题意，都舍去）； 综上：的值为：． 23. 问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 【答案】 （1）如图，即为所求： 45； （2）； （3）随点的运动，的度数不变，且为 【解析】 【分析】（1）连接与格线的交点记为，先确定点为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明为等腰直角三角形，即可求解的度数； （2）延长至点，使得，连接，先证明，则，，那么，可得四边形是矩形，四边形为矩形，求出，由勾股定理得，则，那么，则，即可求解； （3）延长至点，使得，连接，同理，同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，设正方形的边长为，，则，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，则，再同（2）即可． 【详解】解：（1）连接与格线的交点记为， 由网格可得，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴为格点，同理为格点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45； （2）延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）随点的运动，的度数不变，且为，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， 同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵在中，， ∴ ， ∴（舍负）， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次模拟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. C. D. 4. 将一块直角三角尺按如图方式放置，、两点分别落在直线、上，已知直线，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个顶点坐标为的二次函数解析式：______． 12. 一组数据2，3，1，3，5，4，这组数据的众数是___________，中位数是_________ 13. 不等式组的解集是__________ ． 14. 如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为______，点的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 计算与化简 （1） （2）． 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答有关人员开展了对，两款聊天机器人的使用满意度的评分调查满分分，并从中各随机抽取份评分数据，进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意；比较满意；满意；非常满意，下面给出了部分信息． 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：，，，，，． 抽取的对款聊天机器人的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：          ，          ，           （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱请说明理由写出一条理由即可 （3）在此次调查中，有人对款聊天机器人进行评分，人对款聊天机器人进行评分请通过计算，估计此次调查中对这两款聊天机器人不满意的共有多少人 18. 如图，，平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 20. 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 21. 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费． ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元． （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算． 22. 已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为 （1）求二次函数的表达式； （2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ． 23. 问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $