专题12二次根式 复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题12二次根式 复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.精准掌握二次根式定义、最简及同类二次根式判定，区分易混概念； 2.掌握二次根式有意义、无意义、值为0的核心条件，规避基础易错； 3.牢记二次根式4个核心性质，灵活运用其化简、变形； 4.规范掌握二次根式加减、乘除、混合运算，确保结果最简、运算准确； 5.掌握二次根式简单求值思路，提升基础应用能力。 核心题型◆归纳 题型1二次根式的识别 题型2二次根式有意义的条件 题型3二次根式乘除的混合运算 题型4最简二次根式的判断 题型5已知最简二次根式求参数 题型6分母有理化 题型7同类二次根式 题型8二次根式的加减运算 题型9二次根式的化简求值 题型10二次根式的大小比较 题型11二次根式的应用 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二次根式的概念 1.定义：形如(a≥0)的式子，叫做二次根式。 2.要素：（1）根指数为2（常省略不写），区别于三次根式； （2）被开方数a≥ 0，（a<0,则无意义）； （3）二次根式本身是非负数（≥0）。 3. 取值条件：（1）二次根式有意义：a≥0；（2）二次根式无意义：a<0 (3)二次根式值为0：a = 0（需同时满足有意义）。 4.最简二次根式 （1）需要满足两点：① 被开方数不含能开得尽方的因数/因式；② 被开方数不含分母（分母也不含二次根式）。 示例：（非最简，化简为2），（最简）。 5.同类二次根式:化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式（与系数无关）。 知识点02二次根式的性质 性质1：）=a(a≥0)反向运用可凑完全平方； 性质2：=|a| ,区分性质1，注意符号判断； 性质3：=·(a≥0,b≥0.)用于乘法化简； 性质4：= (a≥0,b>0)用于除法化简，注意分母不为0。 关键提醒：性质3、4需满足被开方数非负（分母不为0），否则不成立。 知识点03二次根式的运算 1.加减运算 步骤：（1）先化为最简二次根式；（2）再找出同类二次根式； （3）最后合并系数（被开方数不变），非同类二次根式不能合并。 2.乘除运算 （1）乘法：·=（(a≥0,b≥0)，计算后化为最简； （2）除法：= (a≥0,b>0）也可通过分母有理化计算。 3.混合运算：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）有括号先算括号内，全程保持二次根式为最简形式。 4.分母有理化 1.核心：将分母化为有理数，常见类型及方法： 类型1：(a>0),分子分母同乘，化为； 类型2： (a>0,b>0,a≠b)，同乘，利用平方差化简。 知识点04二次根式的求值 1核心：先化简表达式，再代入求值.代入前需检验数值使二次根式有意义. 2.常见题型：直接代入、整体代入。 知识点05解题注意事项 1.牢记“被开方数非负”，求取值条件时切勿遗漏； 2.化简二次根式必须化为最简，否则影响后续运算； 3.运用=|a|时，务必判断a的正负，避免符号错误； 4.非同类二次根式切勿强行合并，混合运算严格遵循顺序； 5.分母有理化找准有理化因式，避免漏乘； 6.求值时，先化简再代入，检验代入数值是否使二次根式有意义。 题型解析◆精准备考 题型1二次根式的识别 1．下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 【详解】解：∵ 选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵ 选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵ ，∴ ，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴ 选项C是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 2．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 3．解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式“被开方数非负”的定义，逐一判断选项； （2）根据二次根式有意义的条件，列不等式求解； （3）根据分式有意义（分母不为0）和二次根式有意义（被开方数非负）的条件，列不等式求解． 【详解】（1）解：，则是二次根式； 是二次根式； ，则不是二次根式； ，则是二次根式． 故选． （2）解：在实数范围内有意义， ，即． （3）解：在实数范围内有意义， 则，， 即， 解得． 题型2二次根式有意义的条件 1．若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解不等式得， ∴的取值范围是． 2．已知，则______． 【答案】1 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出的值，再代入原式求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴． 3．按要求解答： (1)若x，y都是实数，且，求的立方根． (2)先化简再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到，即可得到，代入求值即可； （2）根据分式的运算法则进行化简计算，再代数求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故； （2）解：原式 ； 将代入，原式． 题型3二次根式乘除的混合运算 1．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 2．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，观察算式，发现符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4最简二次根式的判断 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故不是最简二次根式；     B．，故不是最简二次根式；     C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 2．在二次根式，，，中，最简二次根式是________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 3．判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 题型5已知最简二次根式求参数 1．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并 ∴二者是同类二次根式，被开方数相等 列方程得 移项得 化简得 解得 当时， 和是最简二次根式，符合题意． 2．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 题型6分母有理化 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C正确． 选项D：，D错误． 2．化为最简二次根式：①___，②____． 【答案】 【详解】解：①； ②． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先对分母进行因式分解，通分计算括号内的加法，然后化除法为乘法，再约分化简，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 题型7同类二次根式 1．若二次根式与能够合并，则m的值可能为（    ） A．9 B．16 C．46 D．52 【答案】C 【分析】先化简得到其最简被开方数，再根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵能够合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相同， 又∵， ∴化简后被开方数为3，因此化简后被开方数也应为3． A 、当时，，被开方数为，不符合题意； B、 当时，，被开方数为，不符合题意； C、 当时，，被开方数为，符合题意； D 、当时，，被开方数为，不符合题意． 2．若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______． 【答案】3 【分析】化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，据此进行分析列式计算，即可作答． 【详解】解：∵最简二次根式能与合并为一项， ∴与是同类二次根式，可得， 解得． 3．定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 题型8二次根式的加减运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 2．计算_____． 【答案】 【分析】先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式，即可得到答案． 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型9二次根式的化简求值 1．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 2．已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 3．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）由配方公式得到，进而代值求解即可； （2）由配方公式得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 题型10二次根式的大小比较 1．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 2．比较大小：______．（用“”“”“”填空） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，灵活运用平方法比较两个正实数的大小是解题的关键．根据两个正实数比较大小时，平方后数值大的原数更大的性质，分别计算与的平方，进而比较出与的大小． 【详解】解： ，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）根据给出的例题方法进行分母有理化，可得到化简结果和规律． （3）先利用规律对各项化简，通过抵消中间项得到最简结果，再用平方差公式计算． （4）利用得到的规律将两个差转化为分子为1的分式，再通过比较分母大小判断原式大小． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：根据规律可得 ． 题型11二次根式的应用 1．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 【答案】A 【分析】 先根据三边长求出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积. 2．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到的长度． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长； ∵重叠部分的小正方形的面积为， ∴小正方形的边长， ∴． 3．如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的周长公式求解即可； （2）小明家种草莓的面积等于长方形的面积减去长方形水池的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， 答：小明家种草莓的面积为． 过关检测◆提升 一、单选题 1．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 3．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据相关规则逐一判断各选项计算是否正确即可． 【详解】解：选项A：， A计算错误． 选项B：， B计算错误． 选项C：， C计算错误． 选项D：， D计算正确． 4．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质以及分母有理化规则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C．该选项化简时仅给分母乘2，分子未同乘2，改变了原分数大小，变形错误，不符合题意； D．该式隐含，初中此类题型默认，则，故选项D正确，符合题意． 5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 观察选项，只有的被开方数为， 故选：B ． 7．计算结果的整数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分式的分母有理化，再展开计算得到的表达式，结合无理数的估算，求出原式的近似值，即可得到整数部分． 【详解】解：， ， 原式， ， ， 原式， 计算结果的整数部分是． 8．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 二、填空题 9．化简二次根式______． 【答案】 【分析】先得出，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴． 10．若最简二次根式与相等，则_______． 【答案】2 【分析】根据定义得出，求出，然后代入计算即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与相等， ∴， 解得， ∴． 11．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 12．已知，则的值为________． 【答案】3 【分析】先对所求二次根式的被开方数变形，再利用整体代入法代入已知条件，最后计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 13．比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 14．计算：______． 【答案】 【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 15．长方形的长为，宽为，则长方形的面积为___________． 【答案】12 【分析】本题根据长方形的面积公式列出算式，运用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：长方形的面积为（）． 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2)8 【分析】（1）利用平方差公式进行求解； （2）利用二次根式的乘法运算法则进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】， 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，从而可得，再根据二次根式的运算法则进行化简，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当，时，原式． 19．如图． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中，勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积 20．我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解； （2）代入公式求解； （3）先根据题中的公式求出面积，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； （2）解：根据题意可得，，， ； （3）解：， ， ， ． 21．若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】（1）分别计算，计算，得出，根据进而，，即可判断大小． （2）根据勾股定理求得，在根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， 又，， ． （2）在中， 在中， 在中， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12二次根式 复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.精准掌握二次根式定义、最简及同类二次根式判定，区分易混概念； 2.掌握二次根式有意义、无意义、值为0的核心条件，规避基础易错； 3.牢记二次根式4个核心性质，灵活运用其化简、变形； 4.规范掌握二次根式加减、乘除、混合运算，确保结果最简、运算准确； 5.掌握二次根式简单求值思路，提升基础应用能力。 核心题型◆归纳 题型1二次根式的识别 题型2二次根式有意义的条件 题型3二次根式乘除的混合运算 题型4最简二次根式的判断 题型5已知最简二次根式求参数 题型6分母有理化 题型7同类二次根式 题型8二次根式的加减运算 题型9二次根式的化简求值 题型10二次根式的大小比较 题型11二次根式的应用 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二次根式的概念 1.定义：形如(a≥0)的式子，叫做二次根式。 2.要素：（1）根指数为2（常省略不写），区别于三次根式； （2）被开方数a≥ 0，（a<0,则无意义）； （3）二次根式本身是非负数（≥0）。 3. 取值条件 （1）二次根式有意义：a≥0； （2）二次根式无意义：a<0 (3)二次根式值为0：a = 0（需同时满足有意义）。 4.最简二次根式 （1）需要满足两点：① 被开方数不含能开得尽方的因数/因式；② 被开方数不含分母（分母也不含二次根式）。 示例：（非最简，化简为2），（最简）。 5.同类二次根式:化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式（与系数无关）。 知识点02二次根式的性质 性质1：）=a(a≥0)反向运用可凑完全平方； 性质2：=|a| ,区分性质1，注意符号判断； 性质3：=·(a≥0,b≥0.)用于乘法化简； 性质4：= (a≥0,b>0)用于除法化简，注意分母不为0。 关键提醒：性质3、4需满足被开方数非负（分母不为0），否则不成立。 知识点03二次根式的运算 1.加减运算 步骤：（1）先化为最简二次根式；（2）再找出同类二次根式； （3）最后合并系数（被开方数不变），非同类二次根式不能合并。 2.乘除运算 （1）乘法：·=（(a≥0,b≥0)，计算后化为最简； （2）除法：= (a≥0,b>0）也可通过分母有理化计算。 3.混合运算：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）有括号先算括号内，全程保持二次根式为最简形式。 4.分母有理化 1.核心：将分母化为有理数，常见类型及方法： 类型1：(a>0),分子分母同乘，化为； 类型2： (a>0,b>0,a≠b)，同乘，利用平方差化简。 知识点04二次根式的求值 1核心：先化简表达式，再代入求值.代入前需检验数值使二次根式有意义. 2.常见题型：直接代入、整体代入。 知识点05解题注意事项 1.牢记“被开方数非负”，求取值条件时切勿遗漏； 2.化简二次根式必须化为最简，否则影响后续运算； 3.运用=|a|时，务必判断a的正负，避免符号错误； 4.非同类二次根式切勿强行合并，混合运算严格遵循顺序； 5.分母有理化找准有理化因式，避免漏乘； 6.求值时，先化简再代入，检验代入数值是否使二次根式有意义。 题型解析◆精准备考 题型1二次根式的识别 1．下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 题型2二次根式有意义的条件 1．若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则______． 3．按要求解答： (1)若x，y都是实数，且，求的立方根． (2)先化简再求值：，其中． 题型3二次根式乘除的混合运算 1．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算：_____． 3．计算： (1)； (2)． 题型4最简二次根式的判断 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．在二次根式，，，中，最简二次根式是________． 3．判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 题型5已知最简二次根式求参数 1．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 2．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 题型6分母有理化 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．化为最简二次根式：①___，②____． 3．先化简，再求值：，其中． 题型7同类二次根式 1．若二次根式与能够合并，则m的值可能为（    ） A．9 B．16 C．46 D．52 2．若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______． 3．定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 题型8二次根式的加减运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算_____． 3．计算： (1)； (2)． 题型9二次根式的化简求值 1．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则_________． 3．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 题型10二次根式的大小比较 1．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小：______．（用“”“”“”填空） 3．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 题型11二次根式的应用 1．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 2．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 3．如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 过关检测◆提升 一、单选题 1．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 2．要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．计算结果的整数部分是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 二、填空题 9．化简二次根式______． 10．若最简二次根式与相等，则_______． 11．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 12．已知，则的值为________． 13．比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 14．计算：______． 15．长方形的长为，宽为，则长方形的面积为___________． 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 19．如图． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 20．我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 21．若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $