专题08因式分解 复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题08因式分解 复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.概念：多项式化为整式乘积，与整式乘法互逆，分解必须彻底。 2.提公因式法：分解首要步骤，精准提取公因式，规范处理符号。 3.公式法：平方差：-=(a+b)(a-b)；完全平方：±2ab+= 4.十字相乘法：专攻二次三项式，拆数凑项，快速分解。 5.分组分解法：适用于四项及以上多项式，合理分组，递进分解。 6.解题顺序：一提、二套、三叉、四分、复查。 7.核心应用：混合方法综合运算，解决简便计算、代数式求值题型。 核心题型◆归纳 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式 题型5判断能否用公式法分解因式 题型6平方差公式分解因式 题型7完全平方公式分解因式 题型8综合运用公式法分解因式 题型9综合提公因式和公式法分解因式 题型10因式分解在有理数简算中的应用 题型11十字相乘法 题型12分组分解法 题型13因式分解的应用 题型14提升测试 重点知识◆梳理 知识01因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2.因式分解与整式乘法的区别 整式乘法：几个整式积→多项式（展开） 因式分解：多项式→几个整式积（变形） 3.分解要求 (1)分解到不能再分解为止； (2)结果不含括号内加减，全部为乘积形式； (3)首项一般为正，系数为整数。 知识点02因式分解常用方法 方法1.提公因式法 步骤：（1）找各项系数的最大公因数； （2） 看各项相同字母，取最低次幂. 公式表示：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意：某项全部提出后，剩余项为1，不能漏写；首项为负，先提负号： 例如：−a+2b=−(a−2b) 方法2：公式法: （1）平方差公式 -=(a+b)(a−b); 适用于：两项、异号、都是平方数 （2）完全平方公式 ±2ab+=; 适用：三项式，首末平方、中间两倍乘积 方法 3：十字相乘法 应用于二次三项式，拆数凑项，快速分解。 方法 4：分组分解法（四项及以上） 适用：项数≥4，无法直接提公因式、套公式 1.两两分组：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) 2.三一分组：三项凑完全平方，再用平方差 知识点03因式分解步骤 1提：先提取公因式（有公因式必先提）；2套：再判断能否用平方差、完全平方公式； 3十字：二次三项式，用十字相乘法；4分组：项数多，分组分解。 5检验：括号内是否还能继续分解 知识点04常见易错点 1.提公因式不彻底；2.平方差、完全平方公式混淆； 3.分解不彻底；4.符号错误：负号提取、去括号变号出错； 5.结果保留加减形式，未完全化成乘积的形式。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是因式分解 1．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于A：，右边是多项式，不是整式的乘积，属于整式乘法，不是因式分解； 对于B：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 对于C：，右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 对于D：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解． 2．式子__________叫做a、b的平方差，它分解因式是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和因式分解，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 根据平方差公式和因式分解的定义即可解答． 【详解】解：式子叫做a、b的平方差，它分解因式是． 故答案为：，． 3．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 题型2已知因式分解的结果求参数 1．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 2．若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 题型3公因式 1．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，，，三者的最大公约数是， 各项共有的相同字母为和， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， ∴该多项式的公因式为． 2．多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 3．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 题型4提公因式法分解因式 1．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多项式的各项公因式为， ∴提取公因式得. 2．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型5判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 3．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 题型6平方差公式分解因式 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 2．因式分解：___________． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型7完全平方公式分解因式 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解中的方法，对每个选项逐一分解验证即可得到正确结果． 【详解】解：A：， A错误； B：，B错误； C：，C正确； D：，D错误． 2．已知，若M可以转换成某数平方的形式，则n的取值为_______． 【答案】5，14， 【分析】因为M是平方数，根据完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项． 【详解】解：完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项； 情况1：是中间项，此时两个平方项为和， ∴，即，得． 验证：，符合要求． 情况2：是中间项， 此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得． 验证：，符合要求． 情况3：是中间项，此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得， 验证：，符合要求． 综上，的取值为或或． 3．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（）根据完全平方公式的特征求解； （）先配方，再求最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式：， ∵，一次项系数的一半为，平方为， ∴． （2）解： 根据完全平方的非负性，对任意都有， ∴当时，原式有最小值， 即：的最小值为． 题型8综合运用公式法分解因式 1．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 2．阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热尔曼是十八世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热尔曼给出的这一解法，就把它叫做“热尔曼定理”请你依照苏菲热尔曼的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式． 原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型9综合提公因式和公式法分解因式 1．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 2．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解，保证分解彻底； 【详解】解： ． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型10因式分解在有理数简算中的应用 1．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 2．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 3．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11十字相乘法 1．下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用十字相乘法、完全平方公式、平方差公式验证各选项，找出分解错误的选项即可． 【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确； B，是完全平方式，得，B分解正确； C，利用平方差公式分解，得，C分解正确； D，整理得，根据平方差公式： D分解错误． 2．若，则________． 【答案】 【分析】将原式因式分解即可求解． 【详解】解：将原式用十字相乘法因式分解：， 则． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】先将含a的字母降序排列，将原式变形成，然后用十字相乘法分解分式，再令，再利用平方差公式以及提公因式分解因式，最后把代入分解后的式子即可． 【详解】解： 令， 则原式 把代入中， 则原式． 题型12分组分解法 1．已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 2．因式分解：____________． 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【详解】解： ． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】使用拆项分组配方法，先将原式变形为两个完全平方式的差，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 题型13因式分解的应用 1．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 2．已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再将已知条件整体代入，逐步化简即可求出结果． 【详解】解：， ∴ ． 3．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 2．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 3．在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 4．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构，逐个判断多项式是否符合该结构，即可求解． 【详解】解：①不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ②，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； ③的两个平方项符号相反，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ④，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； 综上，能用完全平方公式进行因式分解的是②④． 5．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 二、填空题 6．分解因式：_______． 【答案】 【分析】先分组，然后将前三项利用完全平方公式分解，得到一个整体的平方，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 7．分解因式______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 8．因式分解______． 【答案】 【分析】先提取公因式.再利用平方差公式分解即可. 【详解】解： . 9．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 三、解答题 11．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 14．阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）选择材料1的方法求解即可； （2）①结合材料2的方法求解即可； ②结合材料1和材料2的方法求解即可． 【详解】（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得： 原式． 15．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：为等腰三角形．理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08因式分解 复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.概念：多项式化为整式乘积，与整式乘法互逆，分解必须彻底。 2.提公因式法：分解首要步骤，精准提取公因式，规范处理符号。 3.公式法：平方差：-=(a+b)(a-b)；完全平方：±2ab+= 4.十字相乘法：专攻二次三项式，拆数凑项，快速分解。 5.分组分解法：适用于四项及以上多项式，合理分组，递进分解。 6.解题顺序：一提、二套、三叉、四分、复查。 7.核心应用：混合方法综合运算，解决简便计算、代数式求值题型。 核心题型◆归纳 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式 题型5判断能否用公式法分解因式 题型6平方差公式分解因式 题型7完全平方公式分解因式 题型8综合运用公式法分解因式 题型9综合提公因式和公式法分解因式 题型10因式分解在有理数简算中的应用 题型11十字相乘法 题型12分组分解法 题型13因式分解的应用 题型14提升测试 重点知识◆梳理 知识01因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2.因式分解与整式乘法的区别 整式乘法：几个整式积→多项式（展开） 因式分解：多项式→几个整式积（变形） 3.分解要求 (1)分解到不能再分解为止； (2)结果不含括号内加减，全部为乘积形式； (3)首项一般为正，系数为整数。 知识点02因式分解常用方法 方法1.提公因式法 步骤：（1）找各项系数的最大公因数； （2） 看各项相同字母，取最低次幂. 公式表示：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意：某项全部提出后，剩余项为1，不能漏写；首项为负，先提负号： 例如：−a+2b=−(a−2b) 方法2：公式法: （1）平方差公式 -=(a+b)(a−b); 适用于：两项、异号、都是平方数 （2）完全平方公式 ±2ab+=; 适用：三项式，首末平方、中间两倍乘积 方法 3：十字相乘法 应用于二次三项式，拆数凑项，快速分解。 方法 4：分组分解法（四项及以上） 适用：项数≥4，无法直接提公因式、套公式 1.两两分组：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) 2.三一分组：三项凑完全平方，再用平方差 知识点03因式分解步骤 1提：先提取公因式（有公因式必先提）；2套：再判断能否用平方差、完全平方公式； 3十字：二次三项式，用十字相乘法；4分组：项数多，分组分解。 5检验：括号内是否还能继续分解 知识点04常见易错点 1.提公因式不彻底；2.平方差、完全平方公式混淆； 3.分解不彻底；4.符号错误：负号提取、去括号变号出错； 5.结果保留加减形式，未完全化成乘积的形式。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是因式分解 1．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 2．式子__________叫做a、b的平方差，它分解因式是_______________． 3．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 题型2已知因式分解的结果求参数 1．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 2．若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 题型3公因式 1．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．多项式中，各项的公因式是___________． 3．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 题型4提公因式法分解因式 1．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型5判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 3．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 题型6平方差公式分解因式 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解：___________． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型7完全平方公式分解因式 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，若M可以转换成某数平方的形式，则n的取值为_______． 3．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 题型8综合运用公式法分解因式 1．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 2．阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热尔曼，十八世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热尔曼给出的这一解法，就把它叫做“热尔曼定理”请你依照苏菲热尔曼的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 3．分解因式： (1) (2) 题型9综合提公因式和公式法分解因式 1．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解：________． 3．因式分解： (1)； (2)． 题型10因式分解在有理数简算中的应用 1．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 2．计算的结果是______． 3．利用因式分解计算： (1)； (2)． 题型11十字相乘法 1．下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则________． 3．因式分解：． 题型12分组分解法 1．已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．因式分解：____________． 3．因式分解：． 题型13因式分解的应用 1．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．已知，则的值为_____． 3．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 2．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 3．在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 5．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．分解因式：_______． 7．分解因式______． 8．因式分解______． 9．分解因式：______． 10．______． 三、解答题 11．因式分解： (1)； (2)． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 13．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 14．阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 15．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $