专题07三角形中位线、梯形期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题07三角形中位线、梯形期中复习讲义 期中复习◆重点 三角形中位线 核心重点：牢记三角形中位线定义、核心定理；期中高频考查边长计算、平行关系及线段倍分证明，重点突破单中点构造中位线的方法，规避中线与中位线混淆的易错点。 梯形 1.基础必抓：熟练掌握梯形定义、分类（重点关注等腰梯形、直角梯形）、中位线定理及面积公式，做到灵活运用、精准套用。 2.等腰梯形：熟记边、角、对角线、对称性四大核心性质，掌握3条判定定理，核心牢记“梯形”是判定的前提，避免概念混淆。 3.直角梯形：紧扣“一腰垂直两底（该腰即为梯形的高）”的核心特征，灵活结合勾股定理，精准求解边长、面积。 4. 辅助线突破：重点掌握平移一腰、作双高等4种必考辅助线方法，是解决梯形压轴题的关键。 关联拓展与复习总结 1. 中点四边形：核心结论为“任意四边形的中点四边形是平行四边形”，其形状由原四边形对角线的关系（相等、垂直）决定。 2. 复习核心：夯实基础公式、定理，重点突破中位线构造、梯形辅助线两类难点题型，规避各类易错点，确保基础不丢分、难点有突破。 核心题型◆归纳 题型1与三角形中位线有关的求解问题 题型2与三角形中位线有关证明 题型3三角形中位线的实际应用 题型4中点四边形 题型5（等腰）梯形的定义 题型6直角梯形的定义 题型7等腰梯形的性质定理 题型8等腰梯形的判定定理 题型9中位线与四边形综合 题型10中位线与动点问题 题型11梯形与相似三角形综合 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01三角形中位线 1. 定义：连接三角形两边中点的线段，即为三角形中位线。任一三角形共有 3 条中位线。 2..黄金定理： 三角形中位线平行第三边，且长度为第三边的一半。 易混区分：中线 = 顶点 + 对边中点；中位线 = 两边中点，单个三角形共 3 条中位线。 3. 关键推论： （1）中位线分割所得小三角形与原三角形：相似比为1:2、周长比为1:2、面积比为1:4 （2）逆定理：① 过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，必平分第三边；② 平行且等于三角形一边一半的线段，若端点在另外两边上，即为中位线。 知识点02中点四边形定义 1.连接任意四边形各边中点，所得到的四边形，叫做中点四边形（ 2. 性质：无论原四边形是什么形状，中点四边形一定是平行四边形 3. 中点四边形形状的判定 ① 若原四边形对角线相等（如矩形、等腰梯形），则中点四边形为菱形； ② 若原四边形对角线互相垂直（如菱形），则中点四边形为矩形； ③ 若原四边形对角线相等且互相垂直（如正方形），则中点四边形为正方形。 4. 常考拓展题型 ① 已知原四边形形状（如等腰梯形、菱形），判断中点四边形形状； ② 已知中点四边形形状，推导原四边形对角线的关系； ③ 结合三角形中位线，求中点四边形的边长、周长、面积（中点四边形面积是原四边形面积的一半）。 知识点03梯形及梯形有关概念 1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。 底：平行的两边叫底，其中较长的是下底，较短的叫上底； 腰：不平行的两边叫做腰； 高：梯形两底之间的距离叫做高。 2. 两大特殊梯形 对比维度 等腰梯形 直角梯形 定义 两腰相等（前提：梯形） 有一个角是直角 边的性质 上下底平行，两腰相等 上下底平行，一腰垂直两底（即为高） 角的性质 同一底上两角相等，对角互补 有两个直角，相邻底角互余 对角线性质 相等 不相等 对称性 轴对称（上下底中点连线） 无对称性 3.等腰梯形判定定理 （1）两腰相等的梯形是等腰梯形； （2）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 知识点04梯形中位线 1. 定义 连接梯形两腰中点的线段叫这个梯形的中位线。 2. 万能定理 中位线平行上下双底，长度 =上下底之和的一半。 几何语言：DE∥BC，DE=(AD+BC) 知识点05梯形辅助线 1.双高作垂线：构造矩形 + 直角三角形； 2.平移腰：转化为平行四边形 + 三角形； 3.平移对角线：破解线段、角度综合难题； 4.延长两腰：构造相似三角形； 5.联结腰中点：巧用梯形中位线定理。 知识点06期中考点题型聚焦 1.三角形中位线：证平行、求边长、算周长与面积； 2.等腰梯形：角度运算、线段证明、对角线求值； 3.梯形中位线：结合面积、线段长度综合计算； 题型解析◆精准备考 题型1与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为_____ 3．如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 题型2与三角形中位线有关证明 1．如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 2．如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件______（只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 3．如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 题型3三角形中位线的实际应用 1．如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 2．学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的五一劳动节系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，调查组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是_____． 3．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长． 题型4中点四边形 1．小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2．在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 3．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 题型5（等腰）梯形的定义 1．如图，梯形中共有（）对面积相等的三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为______． 3．正方形的边长为4，为梯形，圆周率取，求阴影部分的面积． 题型6直角梯形的定义 1．四边形为直角梯形，其中，腰，且P是的中点，，则四边形的面积的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 2．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 3．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 题型7等腰梯形的性质定理 1．如图，某花木场有一块等腰梯形的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 3．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 题型8等腰梯形的判定定理 1．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 2．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为______． 3．如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 题型9中位线与四边形综合 1．如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（   ） A．8 B．6 C．5 D． 2．如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线，的中点．当点P在线段上移动时，点之间的距离最短为 ________ ． 3．如图，已知在四边形中，、相交于点O，且，E、F分别是、的中点，连接． (1)求四边形的面积； (2)求的长． 题型10中位线与动点问题 1．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 2．凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 题型11梯形与相似三角形综合 1．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 2．如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为______．    3．如图1所示，在中，，．是内任意一点，将绕点顺时针旋转至，连接，．    (1)图1中线段与的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； (2)①将点P移动到之外，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍成立？如果成立，请仅就图2情形进行证明：如果不成立，请说明理由； ②若，，是平面内的一点，其他条件不变，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形为等腰梯形时，请直接写出等腰梯形两底之间的距离． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 4．在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 二、填空题 5．在等腰梯形中，已知，，那么______． 6．如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形与交于点，平移的距离为5，则图中阴影部分的面积是________． 7．一个直角梯形的下底是，上底和高都是，这个梯形的面积是( )，在这个直角梯形里画一条线，把直角梯形分成一个正方形和一个直角三角形，正方形的面积是( )，直角三角形的面积是( )． 8．一个对角线长为的矩形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的周长是_____． 三、解答题 9．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，求的长． 10．如图，点是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 11．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 12．如图，四边形中，，使，，于点E，且． (1)求的长． (2)若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动．设运动时间为t秒． 当t= 秒时，四边形是矩形． 当t为何值时，线段与四边形的边构成平行四边形？ 13．如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题07三角形中位线、梯形期中复习讲义 消期中复重点 三角形中位线 核心重点：牢记三角形中位线定义、核心定理；期中高频考查边长计算、平行关 系及线段倍分证明，重点突破单中点构造中位线的方法，规避中线与中位线混淆 的易错点。 梯形 1基础必抓：熟练掌握梯形定义、分类（重点关注等腰梯形、直角梯形）、中位 线定理及面积公式，做到灵活运用、精准套用。 2等腰梯形：熟记边、角、对角线、对称性四大核心性质，掌握3条判定定理 核心牢记“梯形”是判定的前提，避免概念混淆。 3直角梯形：紧扣“一腰垂直两底（该腰即为梯形的高）”的核心特征，灵活结 合勾股定理，精准求解边长、面积。 4.辅助线突破：重点掌握平移一腰、作双高等4种必考辅助线方法，是解决梯 形压轴题的关键。 关联拓展与复习总结 1.中点四边形：核心结论为"任意四边形的中点四边形是平行四边形”，其形 状由原四边形对角线的关系（相等、垂直）决定。 2.复习核心：夯实基础公式、定理，重点突破中位线构造、梯形辅助线两类难 点题型，规避各类易错点，确保基础不丢分、难点有突破， 试卷第1页，共3页 消核心题型归纳 题型1与三角形中位线有关的求解问题 题型2与三角形中位线有关证明 题型3三角形中位线的实际应用 题型4中点四边形 题型5（等腰）梯形的定义 题型6直角梯形的定义 题型7等腰梯形的性质定理 题型8等腰梯形的判定定理 题型9中位线与四边形综合 题型10中位线与动点问题 题型11梯形与相似三角形综合 题型12提升测试 清重点知识心梳理 知识点01三角形中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段，即为三角形中位线。任一三角形共有3 条中位线。 2.黄金定理： 三角形中位线平行第三边，且长度为第三边的一半。 几何语言： D ,DE是△ABC的中位线 (或AD=BD,AE-CE) DEI吃BC 试卷第1页，共3页 易混区分：中线=顶点+对边中点：中位线=两边中点，单个三角形洪3条 中位线。 3.关键推论： (1)中位线分割所得小三角形与原三角形：相似比为1：2、周长比为1：2、面积 比为14 (2)逆定理：①过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，必平分第三边： ②平行且等于三角形一边一半的线段，若端点在另外两边上，即为中位线。 知识点02中点四边形定义 1连接任意四边形各边中点，所得到的四边形，叫做中点四边形( 2.性质：无论原四边形是什么形状，中点四边形一定是平行四边形 3.中点四边形形状的判定 ①若原四边形对角线相等（如矩形、等腰梯形），则中点四边形为菱形： ②若原四边形对角线互相垂直（如菱形），则中点四边形为矩形， ③若原四边形对角线相等且互相垂直（如正方形），则中点四边形为正方形。 4.常考拓展题型 ①已知原四边形形状（如等腰梯形、菱形），判断中点四边形形状； ②已知中点四边形形状，推导原四边形对角线的关系： ③结合三角形中位线，求中点四边形的边长、周长、面积（中点四边形面积是 原四边形面积的一半)。 试卷第1页，共3页 知识点03梯形及梯形有关概念 1定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。 底：平行的两边叫底，其中较长的是下底，较短的叫上底； 腰：不平行的两边叫做腰； 高：梯形两底之间的距离叫做高。 2。两大特殊梯形 对碰比维度 等腰梯形 直角梯新形 定义 两腰相等（前提：梯形） 有一个角是直角 边的性质 上下底平行，两腰相等 上下底平行，一腰垂直两底（即为高） 角的性质 同一底上两角相等，对角 有两个直角，相邻底角互余 互补 对角线性 相等 不相等 质 对称性 轴对称（上下底中点连线）无对称性 3.等腰梯形判定定理 (1)两腰相等的梯形是等腰梯形； (2)同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； 试卷第1页，共3页 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形。 知识点04梯形冲位线 B 1.定义 连接梯形两腰中点的线段叫这个梯形的中位线。 2.万能定理 中位线平行上下双底，长度=上下底之和的一半。 几何语言：DEIIBC,DE=(AD+BC) 知识点05梯形辅助线 1双高作垂线：构造矩形+直角三角形， 2.平移腰：转化为平行四边形+三角形， 3.平移对角线：破解线段、角度综合难题； 4.延长两腰：构造相似三角形； 5.联结腰中点：巧用梯形中位线定理。 知识点06期中考点题型聚焦 1.三角形中位线：证平行、求边长、算周长与面积； 2等腰梯形：角度运算、线段证明、对角线求值； 3梯形中位线：结合面积、线段长度综合计算； 试卷第1页，共3页 题型解析◆精准备者 题型1与三角形中位线有关的求解问题 1.如图，ABC中，点D,E分别是边AC,BC的中点，已知DE=6,则 AB的长为() B E A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】D 【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可 【详解】解：：·ABC中，点D,E分别是边AC,BC的中点， DE=二AB, .DE=6, ∴.AB=12. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线，DE是 ABC的中位线，若DE=6,则BF的长为 F B E 【答案】6 试卷第1页，共3页 【分析】根据三角形中位线定理，可得AC=2DE=12,再由直角三角形的性 质，即可求解 【详解】解：DE是ABC的中位线，DE=6, ∴.AC=2DE=12, .在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线， :.BF=AC=6. 3.如图，DE是ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F,连接AF并 延长交BC于G,若AC=12,DE=10,求BG的长. B G 【答案】8 【分析】根据中位线性质求出DE∥BC,EC=】4C=6,根据等腰三角形的 性质与判定求出EF=EC=6,再求出DF的长，最后可得答案。 【详解】解：DE是ABC的中位线， .DE∥BC,EC=AC=6, .CF是∠ACB的平分线， .∠GCF=∠ACF, DE∥BC, ∴.∠GCF=∠EFC. ∴.∠ACF=∠EFC. 试卷第1页，共3页 :.EF=EC=LAC=6. 2 .DF=DE-EF=10-6=4, .BG=2DF=8. 题型2与三角形中位线有关证明 1.如图，已知长方形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点；E,F分别是 AP,RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下 列结论成立的是() D R A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长先增大后变小 【答案】C 分析】如图，连接AR,证明出EF是△APR的中位线，得到EF=AR 进而求解即可. 【详解】解：如图，连接AR R B E,F分别是AP,，RP的中点 ∴.EF是△APR的中位线 试卷第1页，共3页 1 .EF=二AR 2 点R不动 ∴.AR的长度不变 线段EF的长不变， 2.如果CD是ABC的角平分线，E、F分别是AC,BC的中点，连接DE、 DF,那么再加一个条件 (只要写一种情况)，就可得到四边形CEDF是 菱形. 【答案】AD=BD(答案不唯一) 【分析】利用中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定解答即 可 【详解】证明：添加条件为：AD=BD. 如图：E、F分别是AC,BC的中点，AD=BD, 则DE∥BC,DF∥AC, 故四边形CEDF是平行四边形； CD是ABC的角平分线， .∠ACD=∠BCD, DE∥BC,DF∥AC, .∠EDC=∠BCD, .∠ACD=∠EDC, ..EC=ED, 四边形CEDF是菱形 故答案为：AD=BD(答案不唯一) 试卷第1页，共3页 【点睛】本题考查了中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定， 熟练掌握判定和性质是解题的关键。 3.如图，在ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点.连接 DE、EF. (1)求证：△BED≌△ECF. (2)若AB=6,AC=8,求四边形ADEF的周长， 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】(1)根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出BE=CE, DE=CF,EF=BD,即可利用“SSS”证明全等； (2)由（1)可知，DE=CF,EF=BD,将四边形ADEF的周长转化为 AB+AC,即可得解 【详解】(1)解：：点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， :BE=CE,BD=AB,CF=)4AC,DE、EF是ABC的中位线， .DE=TAC,EF=TAB, 试卷第1页，共3页