第24章平面直角坐标系 单元训练2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

第24章平面直角坐标系综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．台风是破坏性很大的自然灾害，气象台为了预报台风，首先应确定台风中心的位置．下列说法能确定台风中心位置的是（   ） A．在沿海地区 B．距离漳州 C．台湾省以南的洋面上 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了用有序数对表示位置：“在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对”，熟练掌握用有序数对表示位置的方法是解题关键．根据用有序数对表示位置的方法逐项判断即可得． 【详解】解：A、在沿海地区，表示一个面，不能确定台风中心位置，则此项不符合题意； B、距离漳州，表示一个面，不能确定台风中心位置，则此项不符合题意； C、台湾省以南的洋面上，表示一个面，不能确定台风中心位置，则此项不符合题意； D、北纬，东经，表示一个点，能确定台风中心位置，则此项符合题意； 故选：D． 2．小明家的坐标为，小丽家的坐标为，则小明家在小丽家的（    ） A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向 【答案】B 【分析】先在平面直角坐标系中表示出小明家、小丽家的位置，再根据方位角的概念，在小丽家的位置建立上北下南，左西右东的方位图，即可求解． 【详解】如图，设小明家的位置在A点，小丽家的位置在B点，建立如图所示的平面直角坐标系，然后在B点建立上北下南，左西右东的方位图，    此时为正方形的对角线，则，点A在点B的东北方向，即小明家在小丽家的东北方向． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，方位角，难度适中，正确画出图形是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点的坐标平移后所得点的坐标得到平移规律，再根据平移规律可得点的坐标，确定平移规律是解题的关键． 【详解】解： ∵向右平移个单位，向上平移一个单位得到， ∴向右平移个单位，向上平移一个单位得到， 故选：A． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程，若方程的两根为和，则，，根据题中条件即可解得、． 【详解】，即， ，， ，， 即为，故位于第二象限， 故选． 5．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由已知条件得到，，根据勾股定理得到． 【详解】解：根据题意得， 原点O是的中点， ， ， 故选：D． 6．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 7．已知直角平面坐标系内有两点，点与点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用两点间距离公式得到的表达式，再利用完全平方数的非负性求出的最小值即可． 【详解】解： ， ， ， ， 即的最小值为． 8．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用正方形的性质和同角的余角相等证明，根据全等三角形对应边相等求出和的长，再根据点所在的象限写出坐标即可． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， 点E的坐标为， ， ， 点在第二象限， ∴点的坐标为． 9．在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称与平移的性质，等边三角形性质，勾股定理等知识，综合性强，难度较大．作，垂足为D．先求出点A坐标为，分别计算经过多次变换后A的对应点坐标，得到第n次变换后点A的对应点坐标为：当n为奇数时，；当n为偶数时，．据此即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为D． ∵点、的坐标分别是、， ∴轴， ∵三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴点A坐标为， 由题意得经过第1次变换后点A的对应点坐标为， 第2次变换后点A的对应点坐标为， 第3次变换后点A的对应点坐标为 第4次变换后点A的对应点坐标为， ……， ∴第n次变换后点A的对应点坐标为：当n为奇数时，；当n为偶数时，． ∴经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是． 故选：D 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解． 【详解】解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••， 可以看出，9=，15=，21=， 得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数， 点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3， ，即， 故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为， ∴A2021（3033，-3030）， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为______． 【答案】 【分析】利用已知点得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 电影院所在的位置可表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键． 12．若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，一个点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是到y轴距离的2倍， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：∵的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ……， 以此类推可知，每6个点为一个循环， ∵， 点的坐标是：． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换，理解题意是解题的关键． 过点作，交于点，由翻折的性质和矩形的性质可得：，，，，通过平行线的性质结合相等的角度可得，根据勾股定理可求出线段的长度，再根据等面积法求出线段的长度，最后再根据勾股定理可求出线段的长度，由此即可得到点的坐标． 【详解】解：过点作，交于点， 由题意可知：，，，， ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 则， ， ， 解得：， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15．如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出也在一条直线上是解题关键． 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出，进而得出也在一条直线上，求出的长即可得出点坐标． 【详解】解：连接， 由题意可得：，则， 在和中 ， ， ， ∵在一条直线上， ∴也在一条直线上， ∴，则， ∴点坐标为：． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴上一动点，点D为平面内一动点．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则的坐标为_________． 【答案】或或或 【分析】先求出，再分四种情况：①当四边形是菱形，且点在点的右侧时，②当四边形是菱形，且点在点的左侧时，③当四边形是菱形时，④当四边形是菱形时，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点的坐标为． ①如图1，当四边形是菱形，且点在点的右侧时， ∴， ∵， ∴，即； ②如图2，当四边形是菱形，且点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴，即； ③如图3，当四边形是菱形时， ∴，， ∵， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴， 又∵，， ∴，即； ④如图4，当四边形是菱形时， ∴，， ∴点与点关于轴对称， ∵， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．已知点与关于原点对称，求的值． 【答案】0 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 18．已知是平面直角坐标系中的一点． (1)若点A在y轴上，求a的值； (2)若点A在第二象限，求a的取值范围； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求解即可； （2）在第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此列式求解即可； （3）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限， ∴， 解得； （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，可知该方程无解， 解方程得； 综上所述，． 19．已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； (3)轴． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数据此求解即可； （2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数据此求解即可； （3）轴，即两点的纵坐标相等且横坐标不相等，据此求解． 【详解】（1）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； （2）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； （3）解：∵轴， ∴，． 20．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)甲同学想到用平面直角坐标系，如图甲，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)乙同学想到用方位角和距离，如图乙，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【答案】(1)见解析， (2)（北偏东） 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，写平面直角坐标系中点的坐标，用方向角和距离表示物体的位置．熟练掌握用有序数对表示位置是解题的关键． （1）根据文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．画出x轴与y轴，再根据大宋校场的位置写出其坐标即可； （2）测出表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角和连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）解：由图测得：表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角为，连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度为． ∴大宋校场的位置记为（北偏东） 故答案为：（北偏东）． 21．如图，，，，将向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点，，）． (1)画出； (2)中任意一点，经平移后对应点的坐标为______（用含，的式子表示） (3)将各顶点的横、纵坐标都乘，画出缩小后的（点，，的对应点分别为点，，），并写出与相比，形状和大小有什么变化． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析，与相比，形状相同，大小为的 【分析】（1）根据平移规则，画出； （2）根据平移规则，写出相应的坐标即可； （3）按要求画出，进行判断即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意，点的坐标为； （3）解：如图即为所求；由图可知，与相比，形状相同，大小为的； 22．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； 故答案为： （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在x轴上， 所以解得； 23．【阅读材料1】 我们知道数轴上表示实数，的两点之间的距离是，由此可以探究平面直角坐标系中两点之间的距离． 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． 求：线段的长度（即，两点间的距离）． 解：①分别过点、作轴、轴的平行线交于点，则的坐标为，且． 在中，由勾股定理得． 所以． 【应用初探】 如图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)在轴上有一动点，求的最小值． 【阅读材料2】 问题：求的最小值． 解析：因为表示点到点的距离，表示点到点的距离． 所以求的最小值可以转化为（2）中的问题． 【探究深化】 (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的结论即可求出线段的长； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小，求出的长度即可； （3），表示点到点的距离，表示点到点的距离．设点，，所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值． 【详解】（1）解：． （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小， ， ． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ． （3）解：， 表示点到点的距离，表示点到点的距离． 设点，， 所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值． 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小， ， ． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ． 24．如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 【答案】(1)3 (2)； (3)点坐标为或或或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，由题意得，则，根据平行四边形的性质得到，据此列方程求解即可； （2）要使四边形为菱形，得到，利用勾股定理求出的值，进而求出的值； （3）分情况讨论：①当、为菱形的边且点在点的右侧或②当点在点的左侧且在线段上或③当点在点的左侧且在延长线上或④为菱形的对角线时，根据菱形的性质得到，再利用勾股定理求出或的长即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，、， 、， 点是的中点， ， 由题意得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 四边形为菱形， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 点坐标为； （3）解：①当、为菱形的边，且点在点的右侧时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点坐标为； ②当点在点的左侧且在线段上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ③当点在点的左侧且在的延长线上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ④当为菱形的对角线时，如图，过点作， 四边形为菱形， ，且点和点关于对称， 在中，， ， ， ； 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章平面直角坐标系综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．台风是破坏性很大的自然灾害，气象台为了预报台风，首先应确定台风中心的位置．下列说法能确定台风中心位置的是（   ） A．在沿海地区 B．距离漳州 C．台湾省以南的洋面上 D．北纬，东经 2．小明家的坐标为，小丽家的坐标为，则小明家在小丽家的（    ） A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向 3．在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则为（    ） A． B．2 C．1 D． 6．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 7．已知直角平面坐标系内有两点，点与点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 8．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为______． 12．若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是______． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 15．如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴上一动点，点D为平面内一动点．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则的坐标为_________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．已知点与关于原点对称，求的值． 18．已知是平面直角坐标系中的一点． (1)若点A在y轴上，求a的值； (2)若点A在第二象限，求a的取值范围； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 19．已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； (3)轴． 20．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)甲同学想到用平面直角坐标系，如图甲，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)乙同学想到用方位角和距离，如图乙，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 21．如图，，，，将向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点，，）． (1)画出； (2)中任意一点，经平移后对应点的坐标为______（用含，的式子表示） (3)将各顶点的横、纵坐标都乘，画出缩小后的（点，，的对应点分别为点，，），并写出与相比，形状和大小有什么变化． 22．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 23．【阅读材料1】 我们知道数轴上表示实数，的两点之间的距离是，由此可以探究平面直角坐标系中两点之间的距离． 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． 求：线段的长度（即，两点间的距离）． 解：①分别过点、作轴、轴的平行线交于点，则的坐标为，且． 在中，由勾股定理得． 所以． 【应用初探】 如图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)在轴上有一动点，求的最小值． 【阅读材料2】 问题：求的最小值． 解析：因为表示点到点的距离，表示点到点的距离． 所以求的最小值可以转化为（2）中的问题． 【探究深化】 (3)求的最小值． 24．如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $