2025-2026学年人教版八年级数学下册期中练习

期中黄金卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．对二次根式进行化简，找到与为同类项的即是答案． 【详解】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意； ，不能与合并，故选项B不符合题意； ，能与合并，故选项C符合题意； ，不能与合并，故选项D不符合题意； 故选C． 2．（本题3分）下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，求出两个较小正整数的平方和与最大整数的平方进行比较． 根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数进行判断即可． 【详解】解：∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，是勾股数； 综上所述：勾股数有1组． 故选：A． 3．（本题3分）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 5．（本题3分）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 6．（本题3分）如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理等知识，构造三角形的中位线求解是解答的关键．先证明得到，设，则，则，，取的中点H，连接，则，利用三角形的中位线性质得到，，在中，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，设， ∵， ∴，则，， 取的中点H，连接，则， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（本题3分）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 8．（本题3分）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（本题3分）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 10．（本题3分）如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，．点P是的中点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．综合运用以上知识点是解题的关键． 根据正方形的性质证明，，再通过角的等量代换得到，，再根据三角形的外角性质得出，最后代入计算即可求出的度数． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，． ， ． 点P是的中点， ，， ，点P是的中点， ， ． 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ． 故选B． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 12．（本题3分）直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为____________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12， ∴该三角形的斜边长为． 故答案为：13． 13．（本题3分）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 15．（本题3分）如图所示，E为边长是2的正方形的中点，M为上一点，N为上一点，连，则四边形周长的最小值为_____。 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，延长至，使，延长至，使，连接，交于，交于，此时，，四边形周长，根据两点之间线段最短，就是四边形周长的最小值，然后根据勾股定理即可求得，正确作图是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，延长至，使，延长至，使，连接，交于，交于，此时，，四边形周长，根据两点之间线段最短，就是四边形周长的最小值； ，， ，， ，， ， 四边形周长的最小值为． 故答案为：6． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 17．（本题9分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 18．（本题9分）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 19．（本题9分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 20．（本题9分）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 21．（本题9分）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形是平行四边形；[探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 22．（本题10分）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①，；②C． (2) 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． （2）解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 23．（本题10分）在中，，，点D为射线上的点，连接，且，将沿翻折至所在平面内得到，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当时，以为直角边作等腰，，点M为的中点，射线交射线于点N，连接，求证：； (3)如图3，若，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据折叠得出，，从而得出，，根据三角形内角和定理和对顶角性质得出，证明为等边三角形，即可得出结果； （2）延长，取，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明，得出； （3）延长，取，延长交的延长线于点N，根据折叠得出，，，，证明为等边三角形，得出，，证明为等边三角形，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； （2）证明：延长，取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， 又∵为的中点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长，取，延长交的延长线于点N，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，四边形内角和，折叠的性质，解题的关键是做出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关的判定和性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中黄金卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．（本题3分）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 6．（本题3分）如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 8．（本题3分）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 9．（本题3分）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 10．（本题3分）如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，．点P是的中点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12．（本题3分）直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为____________． 13．（本题3分）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 14．（本题3分）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是__________． 15．（本题3分）如图所示，E为边长是2的正方形的中点，M为上一点，N为上一点，连，则四边形周长的最小值为_____。 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算 (1) (2) 17．（本题9分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 18．（本题9分）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 19．（本题9分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 20．（本题9分）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 21．（本题9分）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 22．（本题10分）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 23．（本题10分）在中，，，点D为射线上的点，连接，且，将沿翻折至所在平面内得到，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当时，以为直角边作等腰，，点M为的中点，射线交射线于点N，连接，求证：； (3)如图3，若，当时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $