精品解析：浙江舟山中学2025-2026学年高一下学期期中学科素养监测数学试题

2026年舟山中学期中学科素养监测数学试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的函数，，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 7. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则a的取值范围为 D. 若，则的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是，最小值是 B. 两个相邻的对称轴之间的距离为 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 11. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 13. 已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 14. 已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 四､解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值． 16. 已知（其中），相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求函数的解析式及其对称轴； （2）求不等式的解集； （3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 17. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数； （i）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. （ii）讨论的零点个数. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有或成立，则称和为一对相关函数． （1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）； （2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围； （3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意均有．”请判断小菲说法的正误并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年舟山中学期中学科素养监测数学试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，集合，集合 ，， ． 2. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，所以复数的虚部为. 3. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得. 所以. 4. 已知是定义在上的函数，，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，进而得到，，再利用周期性求值即可． 【详解】， ． 两式相加，得， ， ， ， 是周期函数，且， ． 5. 已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为， ，解得， 所以四棱锥的体积为. 6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 7. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可. 【详解】函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A. 当时，，又，所以.故排除C. 当时，，故排除D. 函数的部分图象可能是选项B. 8. 枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据在A处、B处的仰角求出，然后在中利用余弦定理求解. 【详解】由题意，设， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 则，（米）. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则a的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是，最小值是 B. 两个相邻的对称轴之间的距离为 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】对A和B，利用余弦函数的性质，即可判断正误；对C，将代入检验，即可判断正误；对D，利用图象的变换，求出平移后的函数，再把代入检验，即可求解. 【详解】对于A，因为，由余弦函数的性质知的最大值是，最小值是，所以A正确， 对于B，因为的最小正周期为，所以两个相邻的对称轴之间的距离为，故B错误， 对于C，当时，，所以点是的一个对称中心，故C正确， 对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是， 当时，，所以不是奇函数，故D错误. 11. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 【答案】AD 【解析】 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【解析】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 13. 已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 【答案】## 【解析】 【详解】由正弦定理， ， 代入得： ， 由余弦定理得， ， ． 14. 已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 四､解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【小问1详解】 由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； 【小问2详解】 由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 16. 已知（其中），相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求函数的解析式及其对称轴； （2）求不等式的解集； （3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；对称轴为， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据相邻两个对称中心之间的距离为，得到函数周期，求出，得到解析式，利用整体代入法求解对称轴即可. （2）利用正弦函数的性质求解不等式即可. （3）先对目标式合理换元，再结合二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 由相邻两个对称中心之间的距离为，得，解得. 又，，所以. 所以. 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 【小问2详解】 不等式可化为，即. 由正弦函数的性质得，，， 解得，， 所以不等式的解集为，. 【小问3详解】 当时，，所以. 令，则，令. 当时，每个对应2个不同的，当或时，每个对应1个， 所以关于的方程在上有四个不相等的实数根，等价于在上有两个不等实根. 所以，解得，所以. 故实数m的取值范围为. 17. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数； （i）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. （ii）讨论的零点个数. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）个 【解析】 【分析】（1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求解； （2）（i）利用换元法来求最小值，再利用向量的垂直关系来求解坐标即可； （ii）利用换元法先解一元二次方程，再解三角方程，即可结合定义域得到解的个数. 【小问1详解】 由，根据向量平行的坐标条件： ， 展开整理得：， 【小问2详解】 （i）当​时，，. 由, 令，由得，且， 代入得：, 令，该二次函数的对称轴为，定义域为，开口向下， 所以最小值在处取得，此时，结合， 得，则，， 即，设单位向量， 则由，则，又由， 联立解得或， 即或； （ii）的零点满足，代入得， 解得或， 当时，，在内有2个不同解，即和； 当 ​时，，因为， 所以只有唯一解； 综上，共3个零点. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. 【小问3详解】 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 19. 若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有或成立，则称和为一对相关函数． （1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）； （2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围； （3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意均有．”请判断小菲说法的正误并进行证明． 【答案】（1）3对相关函数，相关函数见解析； （2） （3）小菲说法正确，证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解； （2）根据与为相关函数对，由成立求解； （3）采用反证法，假设对一个正整数存在均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可. 【小问1详解】 函数，，中有3对相关函数， 函数与是相关函数对，函数与是相关函数对，函数与是相关函数对； 若与不为相关函数对，则且， 则，所以只要即可， 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； 【小问2详解】 因为与为相关函数对， 所以， 所以恒成立，所以， 又因为，因为 所以， 所以； 【小问3详解】 小菲说法正确， 假设对任意正整数，都存在，均有， 对任意，有，， 又函数与为相关函数对， 则①若，则； ②若，则， 由①②知：， 由，将其分为很多个子区间， 如，，，…… 则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立， 故存在正整数，对任意，均有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $