第十一章 不等式与不等式组 单元练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十一章不等式与不等式组黄金卷（新教材人教版） （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共10题，每题3分） 1．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中是一元一次不等式的是（    ）． A． B． C． D． 3．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 5．不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 6．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某中学开展手工制作活动，为制作宣传展板框架，某小组领取了一根长为的木条，现需将其全部截成和两种规格的短木条用于拼接（每种规格至少一根）．如果截取时没有损耗，那么截取方案共有（） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 8．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 10．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共5题，每题3分） 11．用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 12．若不等式的解集是，则_________． 13．满足不等式的整数的值是________． 14．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 15．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（8分）解不等式，并把解集在下面的数轴上表示出来． 17．（9分）解不等式组：． 18．（9分）已知关于x，y的方程组 的解满足 ，求m的取值范围． 19．（9分）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 20．（9分）数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有：1，2，3，…，，． 游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 (1)卡片A和卡片C中，哪张卡片上的数字较大？为什么？ (2)求出五张卡片上的数字之和； (3)指出哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 21．（10分）嘉嘉、淇淇和小明在操场上一起玩丢沙包游戏，每人丢6次，落到A区域一次得3分，落到B区域一次得分，设每次沙包都落到这两个区域．嘉嘉、淇淇的6次落点如图所示．    (1)求嘉嘉和淇淇的最后得分； (2)若小明丢的沙包有m次落在A区域，且最后得分比嘉嘉和淇淇的分数和还高，求m的最小值． 22．（10分）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表： 老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元） 初一（1）班 4 5 900 初一（2）班 8 3 820 (1)求《老舍文集》和《四大名著》每套各是多少元； (2)学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过四大名著的3倍，学校有几种购买方案？请你设计出来． 23．（11分）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式 的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章不等式与不等式组黄金卷2025-2026下学年新教材人教版七年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题 1．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式两边同乘同一个负数，不等号方向改变即可得出结果． 【详解】解：∵ ， 将不等式两边同时乘以，，不等号方向改变， ∴ ． 故选：A． 2．下列各式中是一元一次不等式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A ： 只含1个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，是不等式，符合一元一次不等式的定义； 对于选项B： 含有两个未知数，不符合定义； 对于选项C： 是等式，不是不等式，不符合定义； 对于选项D ： 中未知数次数为，不符合定义． 3．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，即可得解． 【详解】解：根据题意可知：， 在数轴上表示如下所示： 4．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，进而求得k的值． 【详解】解：由，解得； 由，解得． 由图象知不等式组的解集为， 则， ∴． 5．不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，求出不等式组的公共解集，再找出解集中的非负整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式， ∵移项得， 合并同类项得， ∴， 解不等式， ∵去括号得， 移项得， ∴， ∴不等式组的解集为， 解集内的非负整数为，共2个． 6．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴A错误，B正确，C错误，D错误． 7．某中学开展手工制作活动，为制作宣传展板框架，某小组领取了一根长为的木条，现需将其全部截成和两种规格的短木条用于拼接（每种规格至少一根）．如果截取时没有损耗，那么截取方案共有（） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】根据总长度建立方程，结合两种短木条都至少有一根的条件，求方程正整数解的个数即可得到方案数． 【详解】解：设截得的短木条根，的短木条根，均为正整数，且， 根据题意列方程得： 两边同除以化简得： 变形得 ， ，解得， 又且是正整数， 的可取值为，共7个，每个对应唯一的正整数，因此共有7种截取方案． 8．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序运算规则，第1次、第2次运算结果不大于29，第3次运算结果大于29，据此列出一元一次不等式组求解即可.． 【详解】解：由题意可知，程序运算进行了3次才停止，说明前两次运算结果均不大于29，第三次运算结果大于29， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为：， 根据题意列出不等式组为： 解得， 此时，符合题意， 故选：A． 9．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 【答案】D 【分析】设原三位数，其中，，为整数，令，根据，得到，再通过确定的可能取值，逐一验证得到结果． 【详解】解：设原三位数，其中，，为整数，令， ，这六个数的和中，在百位、十位、个位上各出现次， 这六个数的和为， 即，可得， ， ，即， 解得， 为整数， ， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； ． 10．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 二、填空题 11．用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 【答案】 【分析】先将的2倍与3的差表示为，再根据“小于0”的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“的2倍与3的差小于0”，用不等式表示为． 12．若不等式的解集是，则_________． 【答案】 【分析】先解出含参数的不等式，再根据解集为得出关于的方程进行求解． 【详解】解：， ， ， ， ∵不等式的解集是， ∴且，即， ∴， ∴． 13．满足不等式的整数的值是________． 【答案】或或 【分析】估算下的大小，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵为整数， ∴， ∴或或． 14．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 15．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题 16．解不等式，并把解集在下面的数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，注意不等式两边同除以或乘以同一个负数，不等号方向发生改变． 先去分母，然后移项合并同类项，再将系数化为1，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： ． ． 将解集在数轴上表示为： 17．解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 18．已知关于x，y的方程组 的解满足 ，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了已知方程组的解求字母参数的值，解一元一次不等式，解题关键是掌握加减消元法． 先利用加减消元法求出方程组的解，代入中，得到关于字母参数的不等式求解即可． 【详解】解：解该方程组得， ∵， ∴， 解得：． 19．为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元 (2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本 【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价； （2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元． 根据题意得 解得 答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元． （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． ∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元， ∴ 解不等式，得． 解不等式，得，即． 解不等式得，． ∴不等式组的解集为． ∵为正整数， ∴的取值为． 答：学校共有6种购买方案，分别是： 方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本； 方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本； 方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本； 方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本； 方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本； 方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本． 20．数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有：1，2，3，…，，． 游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 (1)卡片A和卡片C中，哪张卡片上的数字较大？为什么？ (2)求出五张卡片上的数字之和； (3)指出哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【答案】(1)卡片A数字较大，理由见解析 (2) (3)卡片D数字最大，理由见解析 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． （1）根据题中所给的等量关系比较大小即可得出答案； （2）根据题中所给的等量关系结合等式的性质计算即可； （3）先计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】（1）解：卡片A数字较大，理由如下： ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵，，，，， ∴， ∴． （3）解：∵，，，，，， ∴卡片A：， ∴卡片B：， ∴卡片C：， ∴卡片D：， ∴卡片E：， ∵， ∴． 21．嘉嘉、淇淇和小明在操场上一起玩丢沙包游戏，每人丢6次，落到A区域一次得3分，落到B区域一次得分，设每次沙包都落到这两个区域．嘉嘉、淇淇的6次落点如图所示．    (1)求嘉嘉和淇淇的最后得分； (2)若小明丢的沙包有m次落在A区域，且最后得分比嘉嘉和淇淇的分数和还高，求m的最小值． 【答案】(1)3， (2)3 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）根据得分规则，列出算式进行计算即可； （2）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉得分为：； 淇淇的得分为：； （2）由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴m的最小值为3． 22．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表： 老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元） 初一（1）班 4 5 900 初一（2）班 8 3 820 (1)求《老舍文集》和《四大名著》每套各是多少元； (2)学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过四大名著的3倍，学校有几种购买方案？请你设计出来． 【答案】(1)《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元 (2)4种方案，具体方案见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答． （1）根据题意和表格中的数据可以列出相应的方程组，本题得以解决； （2）根据题意和（1）中的结果可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设《老舍文集》每套元，《四大名著》每套元， 根据题意，得：  ， 解得， 答：《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元； （2）解：设学校决定购买《老舍文集》套，则购买《四大名著》套． 根据题意，得  ， 解得，， ∵取整数， ∴，13，14，15， ∴该学校共有四种购买方案： 方案1：购买《老舍文集》12套，《四大名著》为8套； 方案2：购买《老舍文集》13套，《四大名著》为7套； 方案3：购买《老舍文集》14套，《四大名著》为6套； 方案4：购买《老舍文集》15套，《四大名著》为5套． 23．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式 的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． （1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，不满足，故舍去； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $