8.2.4三角恒等变换的应用课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2.4　三角恒等变换的应用 上节课我们学习了倍角公式，倍角是相对而言的 例1 求证： 例2 求函数 的周期与最大值. 例3 求函数 的周期与最大值. 例4 最新课程标准：(1)经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 (3) 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。 知识点一　半角公式 sineq \f(α,2)＝________________，coseq \f(α,2)＝________________， taneq \f(α,2)＝____________________________________________. [变式1] 1．若cos α＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则coseq \f(α,2)的值为(　　) A.eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6) C.eq \f(\r(30),6) D．－eq \f(\r(30),6) 知识点二　积化和差公式 cos αcos β＝_______________________________； sin αsin β＝_______________________________； sin αcos β＝_______________________________； cos αsin β＝_______________________________. [变式2] 计算sin 105°cos 75°的值是(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2) 知识点三　和差化积公式 设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝__________，β＝__________. 这样，上面的四个式子可以写成 sin x＋sin y＝________________； sin x－sin y＝________________； cos x＋cos y＝________________； cos x－cos y＝________________. [变式3] 已知sineq \f(α,2)－coseq \f(α,2)＝－eq \f(\r(5),5)，450°<α<540°，求sin α及taneq \f(α,2)的值． 解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2＝1－sin α＝eq \f(1,5)，∴sin α＝eq \f(4,5)， ∴sineq \f(α,2)coseq \f(α,2)＝eq \f(sin α,2)＝eq \f(2,5)，∴eq \f(sin\f(α,2)cos\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq \f(tan\f(α,2),tan2\f(α,2)＋1)＝eq \f(2,5)， 解得taneq \f(α,2)＝2或taneq \f(α,2)＝eq \f(1,2). ∵450°<α<540°，∴225°<eq \f(α,2)<270°，∴taneq \f(α,2)>1，∴taneq \f(α,2)＝2. 综上可知sin α＝eq \f(4,5)，taneq \f(α,2)＝2. $