8.2.4 第2课时 积化和差与和差化积公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦积化和差与和差化积公式，以两角和与差的正弦、余弦公式为基础支架，引导学生通过证明过程构建新旧知识联系，形成梯度进阶的深化学习路径。 其亮点在于通过“思维建模”总结公式应用规律，结合具体例题如求sin37.5°cos7.5°的值，培养学生数学思维中的推理能力和运算能力。多样化的课时跟踪检测题帮助学生用数学语言表达问题，提升应用意识，对学生深化公式理解和应用，对教师提供系统教学资源，便于实施进阶教学。

积化和差与和差化积公式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明积化和差与和差化积公式的过程. 2.会用积化和差与和差化积公式解决简单的化简、求值. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.三角函数的积化和差公式 (1)cos αcos β=____________________； (2)sin αsin β=____________________； (3)sin αcos β=___________________； (4)cos αsin β=___________________. [cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)] [sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)] 2.三角函数的和差化积公式 (1)sin x+siny= _______________； (2)sin x-sin y=_______________； (3)cos x+cos y=______________； (4)cos x-cos y=_______________. 2sincos 2cossin 2coscos -2sinsin 1.把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为 (　　) A.sin 18°-sin 2°　　　　　 B.sin 18°+cos 2° C.sin 18°+sin 2° D.cos 18°+cos 2° √ 基础落实训练 解析： 2sin 10°cos 8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°) =sin 18°+sin 2°. 2.把sin 15°+sin 5°化成积的形式为 (　　) A.sin 5°sin 15° B.2cos 10°cos 5° C.2sin 10°sin 5° D.2sin 10°cos 5° √ 解析： sin 15°+sin 5°=2sincos=2sin 10°cos 5°. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　积化和差公式的应用 [例1]　求下列各式的值. (1)sin 37.5°cos 7.5°； 解：sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)] =(sin 45°+sin 30°)=×=. (2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 解：sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°+cos 40° =-sin 50°+sin 50°=. |思|维|建|模| 　　在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差. 针对训练 1.求下列各式的值. (1)2cos 50°cos 70°-cos 20°； 解：2cos 50°cos 70°-cos 20° =cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20° =cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-. (2)sin 80°cos 40°-sin 40°； 解：sin 80°cos 40°-sin 40°=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°=. (3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°. 解：sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°=-cos 60°=-. 题型(二)　和差化积公式的应用 [例2]　(1)cos 20°-cos 50°= (　　) A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15° C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35° √ 解析：cos 20°-cos 50°=cos(35°-15°)-cos(35°+15°) =2sin 15°sin 35°.故选C. (2)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为 (　　) A.0 B. C. D.1 √ 解析：sin 20°+sin 40°-sin 80° =2sincos-sin 80° =2sin 30°cos 10°-sin 80° =2×cos 10°-sin(90°-10°) =cos 10°-cos 10°=0. (3)计算：=(　　) A. B.- C. D.- √ 解析：原式==-=-=-.故选D. (4)cos+cos+cos=______.  解析：原式= = ====. |思|维|建|模| 　　在运用和差化积公式时，如果形式为混合函数和时，化得的结果应为sin α与sin β的和或差；或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差. 针对训练 2.利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin 15°+sin 105°； 解：sin 15°+sin 105°=2sincos =2sin 60°cos(-45°)=2××=. (2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°. 解：cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160° =(cos 40°+cos 80°)+-cos 20° =2cos 60°cos 20°+-cos 20° =cos 20°+-cos 20°=. 题型(三)　公式的化简与证明 [例3]　求证：=. 证明：左边= = = ==右边.所以原等式成立. |思|维|建|模| 　　利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 针对训练 3.求证：·tan 25°=. 证明：左边=· = = == == ====右边.所以原等式成立. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(多选)下列等式错误的是 (　　) A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ D.cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ √ √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析： sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ； cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ)=2sin 4θsin θ； sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θsin θ； cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= (　　) A.2cos 3cos B.2sin 3sin C.-2sin 3sin D.-2sin 3sin √ 解析：原式=-2sin·sin+2cos· sin=-2sin xsin 3+2cos xsin 3=-2sin 3(sin x-cos x) =-2sin 3sin.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.2cossin=(　　) A.+cos 4x B.-sin 4x C.+cos 4x D.-+sin 4x √ 解析： 2cossin=sin-sin=sin 4x-sin=sin 4x-，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若A+B=120°，则sin A+sin B的最大值是 (　　) A.1 B. C. D. √ 解析：∵sin A+sin B=2sincos=cos≤， ∴sin A+sin B的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.函数f(x)=的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π √ 解析： f(x)====tan 2x.由 得x≠kπ+，k∈Z，且x≠kπ+，k∈Z，可得函数f(x)的最小正周期T=.但是，当x=0时，f(0)=0，f无意义，所以T≠.又f(x+π)=f(x)，且对定义域内的任意自变量x，x+π也在定义域内，所以函数f(x)的最小正周期T=π.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.对任意x，y∈R，恒有sin x+cos y=2sincos，则sincos等于(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由方程组解得 ∴sincos===.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)cos 2α-cos 3α化为积的形式为______________.  2sinsin 解析：cos 2α-cos 3α=-2sinsin =-2sinsin=2sinsin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)sincos化为和差的结果是______________________.  cos(α+β)+sin(α-β) 解析：原式==cos(α+β)+sin(α-β). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)=______.  2 解析：原式===2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若sin α+sin β=(cos β-cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α-β等于___________.  解析：∵α，β∈(0，π)，∴sin α+sin β>0. ∴cos β-cos α>0，cos β>cos α.又在(0，π)上，y=cos x是减函数， ∴β<α.∴0<α-β<π. 由题意可知2sin·cos=， ∴tan=.∴=.∴α-β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分 )求下列各式的值： (1)sin 54°-sin 18°；(5分) 解：sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=2· = ===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.(5分) 解：cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73° =2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°) =2××cos 26°++cos 26° =-cos 26°++cos 26°=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos B+ cos C=sin B+sin C，试判断△ABC的形状. 解：在△ABC中，-π<B-C<π，即-<<， 故cos的值不为0.由cos B+cos C=sin B+sin C， 得2coscos=2sincos. 两边同除以2cos，得sin=cos， 即tan=1.∵0<B+C<π，∴0<<. ∴=.∴B+C=.∴A=.∴△ABC为直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)若sin x+sin 3x+sin 5x=a，cos x+cos 3x+cos 5x=b，求tan 3x. (结果用a，b表示) 解：由和差化积公式得sin 5x+sin x=2sincos=2sin 3xcos 2x， cos 5x+cos x=2coscos=2cos 3xcos 2x， 则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1)， cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1)， 故==tan 3x，故tan 3x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知α，β为锐角，且α-β=，求sin αsin β的取值范围. 解：∵sin αsin β=-， 又α-β=，∴sin αsin β=-=-. ∵α，β为锐角，且α-β=，∴0<+β<，即0<β<. ∴<2β+<.∴-<cos<. ∴0<-<. ∴sin αsin β的取值范围为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $