第23章四边形 单元训练2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学第23章四边形综合单元卷，通过文化情境、分层问题及跨知识综合题，提升几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行四边形判定（1）、勾股定理证明（4）、图形分割（6）|结合“青朱出入图”渗透文化传承，考查空间观念| |填空题|6/18|菱形形变度（13）、黄金矩形折叠（15）、动点最值（16）|设置“形变度”新定义，培养创新意识与模型观念| |解答题|8/72|平行四边形证明（17）、等边三角形综合（19）、动点梯形（24）|设计分层探究题（22角关系），发展推理能力与运算能力|

第23章四边形综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．根据图形中所标数据判断，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】解：A、根据题意，得，， 故，，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，得，， 故，无法判定是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得， 故无法判定是平行四边形，不符合题意； D、根据题意，得，， 故，，是平行四边形，符合题意． 2．已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意，得到，从而有，，结合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到结果． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∵ ，， 且 ， 即 ，， ∴ 四边形两组对边分别相等， ∴ 此四边形为平行四边形. 故选：D． 3．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解，再结合多边形的内角和公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴． 4．“出入相补法”是我国古代几何的核心方法，以图形割补、以盈补虚实现面积守恒，直观推导各类公式并奠定数形结合的数学传统．如图是我国古代数学家刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”，四边形，，均为正方形．若，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形的性质得到直角三角形的边长，再通过勾股定理求出正方形的边长的平方，即其面积． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴正方形的面积为． 5．如图，点在边上，将平行四边形沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ， ． 6．已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】本题考查多边形的剖分，根据题意画出图形，得到a，b，c的值，即可解答． 【详解】解：如图1，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为4个三角形， 如图2，从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为5个三角形； 如图3，从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为6个三角形， ∴，，， ∴． 故选：B． 7．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 8．如图，在中，是的中点，平分，，垂足为，连接．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，可证 ，可得 ，为中点，即得，再利用三角形中位线定理解答即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和 中， ， ， ，， 是的中点， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线 ， ． 9．如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，先求出，再根据菱形的性质得出，，求出，，根据作图可知垂直平分，根据中点坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，作于G，作于T，    ∵， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 由作图得垂直平分， ∴， ∴点E是的中点， ∴，即， 故选：A． 10．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么______． 【答案】 【分析】连接并延长，首先根据多边形内角和公式计算出的度数，再根据补角的定义计算出，再根据角平分线定义计算出，再根据三角形内角与外角的关系计算出的度数． 【详解】解：连接并延长，如下图， ∵在四边形中，， 又，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 【详解】∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点睛】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 13．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 14．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P，则与的位置关系是_____，的长是____． 【答案】 【分析】利用菱形的性质得出相关角的度数，即可得出结论；，过点作，交的延长线于点，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以折叠出一个黄金矩形、第一步，在一张矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平、折痕是；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为；第四步、如图4，展平纸片，按照所得的点D折出，使；按点E折出，使． 则下列是黄金矩形的是_________．（填序号） ①矩形；②矩形；③矩形；④矩形；⑤矩形． 【答案】②③⑤ 【分析】设，根据折叠的性质可得，，利用勾股定理求出的长，由折叠可得，进而求出的长，分别计算各选项中矩形的宽与长的比值，与进行比较即可得出答案． 【详解】解：设， 由折叠的性质可得：四边形、为矩形，，， 在中，， 由折叠的性质可得：， ， ①在矩形中，，不是黄金矩形； ②在矩形中，宽，长， ， 矩形是黄金矩形； ③在矩形中，宽，长， ， 矩形是黄金矩形； ④在矩形中，，不是黄金矩形； ⑤， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ，，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ， 在矩形中，宽，长， ， 矩形是黄金矩形； 综上所述，是黄金矩形的是②③⑤． 16．如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行四边形的性质得到，，再利用，即可得到四边形是平行四边形，进而得到，根据线段的和差解答即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，． 18．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得，再由勾股定理求出， 设，则，在中，，由此列方程求解即可； （2）先判定，即可得出，进而得到四边形是平行四边形，即可求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19．如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 20．如图（1）点、点在直线上，点、点在直线上，且，连接、、、． (1)图（1）中面积相等的三角形有______对； (2)利用（1）中的结论解决下面两个问题： ①将图（1）中的、进行以下操作： 第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、 第二步，先将图（2）中的、的顶点、重合，再将绕点旋转到如图（3）所示位置．若直线与相交于点，连接．求证：平分． ②如图（4），折线型小路，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路改为经过点的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）． 【答案】(1)3 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可得出答案； （2）①过点分别作于，于，根据题意可知，的面积的面积，根据面积公式可得，即可得出结论； ②连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴、间的距离相等， 设、间的距离为， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故面积相等的三角形有和，和，和，共3对． （2）①证明：过点分别作于，于，如图：    根据题意可知，的面积的面积， ∵的面积，的面积， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； ②解：步骤：连接，过点作的平行线交于点，则为所求的直路． 如图：    证明：∵， ∴， ∴，， ∴甲、乙的面积前后不发生改变． 21．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 22．小琪利用三角形卡纸对几何图形中角的关系进行探究，在中，，分别为和的平分线． (1)如图①，若为等边三角形，则与的数量关系为________，________； (2)如图②，小琪将沿剪下一角后得到四边形，已知，试猜测与之间的关系，并说明理由； (3)若小琪将（2）中的图形继续沿剪下一角后得到五边形，如图③，请直接写出与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由为等边三角形，得，， 利用，分别为和的平分线，易得，可得，； （2）先求出，，在四边形中，，得到，得到； （3）连接，延长与的延长线交于点，由（2）知：，，先求出五边形内角和为，得到，即可得到． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， ，分别为和的平分线， ，， ， ，； （2）解：，理由如下： 在中，， ， ，分别为和的平分线， ， ， 在四边形中，， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，连接，延长与的延长线交于点， 由（2）知：，， 五边形内角和为， 在五边形中，， ， ， ． 23．已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果， ①如图2，当时，求的长； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为或． 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，在中，勾股定理求得，∴中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 24．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)存在，的值为或 【分析】（）分从运动到和从运动到两种情况，根据平行四边形的性质列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据梯形的面积公式列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据等腰三角形和矩形的性质列出方程解答即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； ∴当或时，四边形是平行四边形； （2）解：∵以为顶点的梯形面积等于， ∴， 当从运动到时，则， 解得； 当从运动到时，则， 解得； ∴当或时，以为顶点的梯形面积等于； （3）解：存在． 当从运动到时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 当点返回时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 综上，存在点，使，此时的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第23章四边形综合专练 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.根据图形中所标数据判断，下列一定为平行四边形的是() 100° B. 人80 110° 人80 100° 100° C D 80° 5 2.已知一个四边形的四边长顺次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则此 四边形是() A.长方形 B.等腰梯形 C.正方形 D.平行四边形 3.完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.如图，五边形ABCDE是 迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1+∠2=120°，∠C+∠D+∠E=() D B 2 A A.300° B.340° C.200 D.260° 4.“出入相补法”是我国古代几何的核心方法，以图形割补、以盈补虚实现面积守恒，直观推 导各类公式并奠定数形结合的数学传统.如图是我国古代数学家刘徽证明勾股定理的“青朱 出入图”，四边形ABCD,AEFG,BHIG均为正方形.若AD=3,CG=2,则正方形 AEFG的面积是() 试卷第1页，共3页 0 朱出 d 青入 青入 朱入 K 青出 青出 H A.13 B.25 C.30 D.34 5.如图，点E在AD边上，将平行四边形ABCD沿CE翻折，使点D的对应点F落在AB边 上，若∠DCE=45°，BC=5,CD=4,则AF的长为() ---D A.1 B.√2 C.1.5 D.2 6.已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为α个三角 形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此 六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分 割为c个三角形，则a+b+c的值是() A.16 B.15 C.14 D.13 7.如图，将大正方形的对角线AB分成n条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作 一个小正方形.设大正方形的周长为Q,所有小正方形的周长之和为b,则Q,b的大小关 系是() B A.a>b B.a<b C.a=b D.azb 8.如图，在ABC中，D是AB的中点，CE平分∠ACB,AE⊥CE,垂足为E,连接DE. 试卷第1页，共3页 若AC=14,BC=20,则DE的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，已知菱形ABCD的顶点B(0,0),A2,2V3),点C在x轴正半轴上.按以下步骤 作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M,N:②作 直线MN,交CD于点E,连接BE,若MN恰好经过点A,则点E的坐标为() D O(B) A.(55 B.(5,23 10.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,P为边BC上一动点，PE⊥AB于 E,PF⊥AC于F,M为EF的中点，则PM的最小值为() A A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.如图，四边形ABCD,∠A=80°，∠C=140°，DG和BG分别是∠EDC和∠CBF的角 平分线，那么LDGB= 试卷第1页，共3页 E G 12.如图，在RtAABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E,连接CD, 过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F.若AB=I0,则EF的长为， B D E 13.边长为Q的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的 距离为h,则称&为这个菱形的“形变度”. (1)一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 2)如图，A,B,C为菱形网格〔每个小菱形的边长为1，“形变度”为)中的格点则 △ABC的面积为 14.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转， 对应得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则EF与CD的位置关系是 ,PF的长是· 试卷第1页，共3页 G E 15.宽与长的比是5-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价 2 值，我们可以折叠出一个黄金矩形、第一步，在一张矩形纸片的一端利用图1的方法折出一 个正方形，然后把纸片展平，第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸 片展平、折痕是AH；第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3中所示的AD 处，折痕为AE;第四步、如图4，展平纸片，按照所得的点D折出DF,使DF⊥ME；按 点E折出EG,使EG⊥ME. M MH MHB MHB FE D NACDG 图1 图2 图3 图4 则下列是黄金矩形的是 (填序号) ①矩形MNAH;②矩形BCDF;③矩形MNDF;④矩形HADF;⑤矩形HAGE. 6.如图，在BC中，∠ACB=90,4B,BC,点D,E分别是线段BC AB上的动点（点D不与点C重合），且CD=AE,连接AD,CE,则AD+CE的最小值为 D B 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.如图，E,F分别是平行四边形ABCD边AD,BD上的点，且AF∥CE. E D (I)求证：DE=BF; 试卷第1页，共3页 (2)若LB=60°，∠DEC=80°，求∠DCE的度数， 18.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PO垂直平分BE,分别交AD、BE、BC于 点P、O、Q,连接BP、EQ,AB=6,BE=10: A P ED B (1)求PE的长； (2)求四边形BPEQ的面积. 19.如图，△ACE,△ABD,BCF均为等边三角形，且两两共用一个顶点.求证：CD与 EF互相平分. 20.如图(1)点C、点D在直线（上，点A、点B在直线上，且I∥12，连接AC、AD、 BC、BD. D 一12 图(1) (1)图(1)中面积相等的三角形有对； (2)利用(1)中的结论解决下面两个问题： ①将图(1)中的ABC、△ABD进行以下操作： 第一步，分别复制ABC、△ABD,粘贴，如图(2)所示的△A,B,C、A,B,D 第二步，先将图(2)中的△AB,C、A,B2D的顶点C、D重合，再将A,B2D绕点C旋转 到如图(3)所示位置.若直线A,B2与AB,相交于点E,连接CE.求证：CE平分∠AEA· 试卷第1页，共3页 B C(D B A2 B E B 图(2) 图(3) ②如图(4)，折线型小路P-M-Q,将四边形ABCD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理， 要将折线型小路P-M-Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变， 请你在图(4)中画出直线型小路PN(不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关 键步骤). 图(4) 21.阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题， 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角 不可能吧！我帮你检查一下.你看，你的计算 度数加起来，和是945°. 式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数. (②)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为 内角和为 22.小琪利用三角形卡纸对几何图形中角的关系进行探究，在ABC中，BP,CP分别为 ∠ABC和∠BCA的平分线： D 图① 图② 图③ (I)如图①，若ABC为等边三角形，则PB与PC的数量关系为 ,∠BPC= (2)如图②，小琪将ABC沿DE剪下一角后得到四边形DBCE,已知LA=60°，试猜测 试卷第1页，共3页 ∠BDE+∠CED与∠BPC之间的关系，并说明理由； (3)若小琪将(2)中的图形继续沿FG剪下一角后得到五边形DBCFG,如图③，请直接写出 ∠BDG+∠DGF+∠GFC与∠BPC之间的关系 23.己知在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，BE平分∠ABC,交边AD于点E. D(E D 图1 图2 (I)如图1，如果点E与点D重合，AD=AB,求证：四边形ABCD是正方形： (2)如果AB=5,AD=4, D如图2，当C等5动，求CD的长： ②当BEC是直角三角形时，求DE的长， 24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,LB=90°，AD=16cm,AB=12cm, BC=21cm,动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动 点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P,Q分别从点B,A同时 出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（(秒). B E (1)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形； (2)当t为何值时，以C,D,2,P为顶点的梯形面积等于60cm?? (③)是否存在点P,使PQ=PD?若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请 说明理由. 试卷第1页，共3页