精品解析：2026年黑龙江省绥化市望奎县五中联考二模数学试题

2026年九年级二模数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，黑龙江省的绥化市总面积约为35000平方千米，将数35000用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知 、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A. B. C. D. 4. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面 与底座 平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（   ） A. B. C. D. 6. 在物理学中，物质的密度等于物体的质量 与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 8. 福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔 的高度（如图，在离白塔底端 正前方8米的 处，用高为1.5米的测角仪 测得白塔顶部A处的仰角为 ，则白塔 的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，在菱形 中， ，点M和N分别是 和 上一点，沿 将折叠，点A恰好落在边 的中点E上．若 ，则 的长为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形 中，点 E 为 上一点，连接 交 于点F，延长 交 的延长线于点 G，若，则 的长为( ) A. B. C. D. 2 12. 二次函数 的对称轴是 ，图像与负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ．则下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根为， 则．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二．填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 如果代数式有意义，则 的取值范围是___________ 14. 因式分解：___________． 15. 化简：，结果为_____． 16. 已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则______． 17. 将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为， ，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ___________． 18. 在平面直角坐标系中，将 的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 19. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是___________． 20. 如图，扇形中，，点分别在上，连接，点 ， 关于直线 对称，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM＋MN取最小值时△BMN的周长为______． 22. 如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 三．问答题（本题共6个小题，共54分） 23. 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． （1）尺规作图：如图1，过点 作圆O的两条切线、切点分别为点 ，点 （保留作图痕迹，痕迹要清晰）； （2）如图2，连接并延长交圆O于点 ，连接，已知，圆O的半径，求． 24. 某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有______人，其中 组的学生人数为______． （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中 组部分所占的圆心角 的度数． （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 25. 如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G． （1）求证：BC是圆O的切线； （2）记的面积分别为，若，求的值； （3）若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式． 26. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 27. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形 中，E为对角线 上的动点，过点B作 的垂线，过点C作 的垂线，两条垂线交于点F，连接 ，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形 中，E为对角线 上的动点，过点B作 的垂线，过点C作 的垂线，两条垂线交于点F，且 ，连接 ，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线 上的动点，其余条件不变，取线段 的中点M，连接 ， ，若，则当是直角三角形时，请求出 的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交 轴于点， 两点，交 轴于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，求周长的最大值及此时点 的坐标； （3）在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级二模数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 据统计，黑龙江省的绥化市总面积约为35000平方千米，将数35000用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 已知 、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两根， ， ， 故选：A． 4. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面 与底座 平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解 【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 5. 下列计算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方运算与积的乘方．利用幂的乘方运算与积的乘方运算计算并判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确． 故选：D． 6. 在物理学中，物质的密度等于物体的质量 与它的体积 之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据密度公式和已知密度比找到等量关系即可列出方程． 【详解】解：设物体A的体积是， ∵物体B的体积比物体A的体积小， ∴物体B的体积为， 根据密度公式可得 ，， 已知 ， 根据比例的基本性质整理得． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过B作轴于E，轴于F，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过B作轴于E，轴于F， ， 四边形是矩形， ，，， ， 又 四边形 是正方形， ， ， ，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， 解得， 点的坐标为， ， ， 故选：C． 8. 福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔 的高度（如图，在离白塔底端 正前方8米的 处，用高为1.5米的测角仪 测得白塔顶部A处的仰角为 ，则白塔 的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考解直角三角形应用，关键在于能熟练地在不同直角三角形中解直角三角形． 过点 作，垂足为 ，由中，，，，结合米，即得米． 【详解】解：过点 作，垂足为 ， 由题意得：米，米， 在中，， （米 ， 米， 白塔 的高度为米． 故选：A． 9. 如图，在菱形 中， ，点M和N分别是 和 上一点，沿 将折叠，点A恰好落在边 的中点E上．若 ，则 的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、 角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出 的长． 【详解】如图，过点M作于点F． ∵四边形 是菱形， ∴ ∵ ， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即，解得， ∴． 故选：B． 10. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设粽子的成本为a元，设降价幅度为x，根据降价出售后不亏本即售价不低于进价列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：设粽子的成本为a（a是常数且）元，设降价幅度为x， 则， 解得， 即为了不亏本，降价幅度最多为 ． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 11. 如图，在正方形 中，点 E 为 上一点，连接 交 于点F，延长 交 的延长线于点 G，若，则 的长为( ) A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、勾股定理、相似三角形判定与性质，先求出，进而求出，证明即可求出结论． 【详解】解： 四边形 是正方形， ， 在中，， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 12. 二次函数 的对称轴是 ，图像与负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ．则下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根为， 则．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图形与性质是解题关键．根据抛物线开口方向、对称轴以及抛物线与 轴的交点位置，确定的取值范围，即可判断结论①；由抛物线的顶点的纵坐标大于0，可知，即可判断结论②；首先确定，结合 可知，进而可得抛物线与 轴的另一交点为，故当时，可有，即可判断结论③；由抛物线与 轴的两个交点坐标，可得方程的两个根为，，即可判断结论④． 【详解】解：∵该抛物线开口向下， ∴ ， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线与 轴的交点在正半轴上， ∴ ， ∴，所以①正确； 由该二次函数的图像可知，其顶点的纵坐标大于0，即， ∴，所以②错误； 对于二次函数， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵对称轴为 ， ∴抛物线与 轴的另一交点为， ∴当时，可有， 即， ∴，所以③正确； ∵抛物线与 轴的两个交点分别为，， ∴方程的两个根为，， ∴， ∴，所以④正确． 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 故选：B． 二．填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 如果代数式有意义，则 的取值范围是___________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出关于x的不等式，再解不等式即可解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且，即且． 14. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 化简：，结果为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】解： ＝ ＝ 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】】把 分别向两方延长交直线 于点 ，交直线 于点 ，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质可得，再利用平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：把 分别向两方延长交直线 于点 ，交直线 于点 ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是的一个外角， ， 故答案为： 17. 将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为， ，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，，据此即可求解． 【详解】解：由图可知：新几何体的表面积， 故答案为： 18. 在平面直角坐标系中，将 的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质．根据题意可得与 是以坐标原点为位似中心的位似图形，且相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，且相似比为， ∴的面积与 的面积的比为， ∴． 故答案为： ． 19. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据左视图和俯视图可以猜测几何体的可能性，进而得到答案． 【详解】解：从俯视图可看出，该几何体有三行两列，从左视图可看出最后面一行有两层，中间一行最多都是两层，最前面一行最高是一层， ∴所需的小正方体的个数最多是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查三视图，由两个视图想象几何体是解答的关键． 20. 如图，扇形中，，点分别在上，连接，点 ， 关于直线 对称，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接 ， ，证明为等边三角形，根据，求出扇形的半径，然后求出，，，即可得出答案． 【详解】解：连接 ， ，如图所示： 根据折叠可知，，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ， ∴， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，求出扇形的半径． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM＋MN取最小值时△BMN的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，根据对称性可得，由两点之间线段最短和垂线段最短可得当时，取得最小值，设，根据勾股定理求出，然后由等面积法即可求出高h的长度，然后利用勾股定理求出的长度，进而可求出△BMN的周长． 【详解】解：如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值， ∴当时，取得最小值， ∴作交 于，则即的最小值； ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴在中，，即， 解得：， ， 设中 边上的高为h， 由对称性可得，， ∴，解得：， h+5=8，即BM+MN的最小值是8， ∴在中，， ∴， ∴△BMN的周长＝． 故答案为：12 【点睛】本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键． 22. 如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入中计算求解，然后求出，，，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形， 联立，得，解得：， ∴， ∴， 设，则有 解得或（舍去） ∴ 设，则有 解得或（舍去） ∴ 同理可得 ∴ ∴ 当时，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，反比例函数与几何综合．解题的关键与难点在于求解的坐标，推导一般性规律． 三．问答题（本题共6个小题，共54分） 23. 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． （1）尺规作图：如图1，过点 作圆O的两条切线、切点分别为点 ，点 （保留作图痕迹，痕迹要清晰）； （2）如图2，连接并延长交圆O于点 ，连接，已知，圆O的半径，求． 【答案】（1） 如图即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以的中点为圆心，的一半为半径画圆与圆O交于两点Q和R，连接、，即为所求； （2）连接交于点H，连接，根据，得出 是线段的垂直平分线，再推出是的中位线，则，证明，则，即可求的长，再由勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：作图： ①连接，作线段的中点A； ②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R； ③连接、，则、是圆O的切线． 【小问2详解】 解：连接交于点H，连接，如图 、是圆O的切线， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 圆O的半径， ， ∴． 24. 某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有______人，其中 组的学生人数为______． （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中 组部分所占的圆心角 的度数． （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】（1）60；21 （2） 补全条形图如下图所示， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“ 组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数 组的学生人数占比”，即可求得答案； （2）结合（1）补全条形图；利用“ 组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 故答案为：60；21； 【小问2详解】 图略； 组部分所占的圆心角； 【小问3详解】 根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 25. 如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G． （1）求证：BC是圆O的切线； （2）记的面积分别为，若，求的值； （3）若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式． 【答案】（1） 证明：如图，记 ∵ 是 的直径， ∵由题意得： 又∵ 是 的直径， ∴ 是 的切线； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）记由 是 的直径，得到再进一步得到即可得出结论； （2）由得到进而得到设根据勾股定理进一步证明即可得出结论； （3）连接，证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ∴在 中， 即 设 在 中， ∵ 为 的直径， ∵由题意得 ； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，且 为 的直径， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 26. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段 对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 【答案】（1）6，3 （2） （3）17秒 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度 路程时间计算即可； （2）根据时间 路程速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． 【小问2详解】 解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且 ）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，， 由与乙无人机的高度差为9米得：， 解得， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 27. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形 中，E为对角线 上的动点，过点B作 的垂线，过点C作 的垂线，两条垂线交于点F，连接 ，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形 中，E为对角线 上的动点，过点B作 的垂线，过点C作 的垂线，两条垂线交于点F，且 ，连接 ，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线 上的动点，其余条件不变，取线段 的中点M，连接 ， ，若，则当是直角三角形时，请求出 的长． 【答案】（1）证明： 四边形 是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和垂线的定义证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）根据题意证明点 ，点E，点B，点F四点共圆，利用圆周角定理得到，进而得到，再证明，利用相似三角形性质即可得到的值； （3）由（2）知，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到 ，根据E为直线 上的动点，当是直角三角形，分以下情况讨论，当 在线段 上时，当或时，点 不存在，当 在 延长线上时，设，则，结合勾股定理建立方程求解，即可解题； 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 点 ，点E，点B，点F四点共圆， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）知：， ， ， ， ， ， 为 的中点， ， 由（2）知， ， ， 又是直角三角形， ， ， 当 在线段 上时， 设，则， ，， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点 不存在， 当 在 延长线上时，设，则， ，， ， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述， 的长为 或 ． 【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形性质和判定，四点共圆，圆周角定理，相似三角形性质和判定，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交 轴于点， 两点，交 轴于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是直线上方抛物线上的一动点，过点 作于点 ，过点 作 轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点 的坐标； （3）在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2）周长的最大值，此时点 （3）以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形时或或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． （1）把、代入计算即可； （2）延长交 轴于 ，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出 ， 的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【小问1详解】 把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 延长交 轴于 ， 过点P作于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线 解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； 【小问3详解】 ∵将该抛物线沿射线 方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形 ∴与 互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为， 中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且 和 是对角线时，此时以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形 ∴ 与 互相平分，且 ∴，解得 ∵ 中点坐标为， 中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且 和是对角线时，此时以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形 ∴ 和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形时或或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $