精品解析：山东青岛市青岛大学附属中学2025—2026学年第二学期期中阶段性检测七年级数学试题

山东青岛市青岛大学附属中学2025-2026学年 第二学期期中阶段性检测七年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 打开电视，正在播放《大国工匠》 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是必然事件，符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是随机事件，不符合题意； 故选B． 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D错误． 3. 据研究，一种H7N9病毒直径为29纳米（1纳米米），下列科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，解题关键是正确确定和的值，先将病毒直径单位转换为米，再整理为符合要求的科学记数法. 【详解】解：纳米米，纳米米， 将表达式整理为符合要求的科学记数法 米． 4. 如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．小明转出来的数字不大于6的概率与小亮转出的颜色是红色的概率是否相同？（ ） A. 相同 B. 小明转出的概率大 C. 小亮转出的概率大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：小明转出来的数字不大于6的概率， 小亮转出的颜色是红色的概率， ． 5. 如图，已知点P在直线外，在直线上任取一点Q，以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点M；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则的依据为（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 内错角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了基本作图和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是关键．连接，根据作图得到，由内错角相等，两直线平行即可证明结论成立，得到答案． 【详解】解：连接， 由作图可知，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：C 6. 下列图形中，由，能得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理依次进行判断即可． 【详解】解：A．不能判定，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，但不能判定，故此选项不符合题意； C．不能判定，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项符合题意． 7. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．如图，某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据题意可得：，从而可得，然后利用平行的性质求出，从而可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ． 8. 下列乘法公式的运用中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，A错误； B、，B错误； C、 ，C正确； D、 ，D错误． 9. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及翻折的性质得到，再根据平角的性质进行求解即可． 【详解】解：延长到， 对边互相平行的纸带， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ． 10. 如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ； ， ， 即， ， 或（舍去） ∵四边形是正方形， ， ∴阴影部分的周长是， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上下两个部分，上部分为上珠，下部分为下珠，每颗上珠代表数字5，每颗下珠代表数字1．如图所示的算盘中，每档有上珠1颗，下珠4颗，规定最右侧档为个位，依次向左为十位、百位、千位等，不拨珠空挡表示0．在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，所表示的数恰是5的整数倍的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用概率公式计算概率，根据在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，结果为11或15或51或55，进而求出概率． 【详解】解：在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，结果为11或15或51或55， 所以所表示的数恰是5的整数倍的概率为， 故答案为：． 13. 一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的补角是 _____°． 【答案】120 【解析】 【分析】设这个角为x；则这个角的余角为90°-x，这个角的补角为180°-x；根据题意，90°-x=（180°-x），解方程得这个角的度数，进而求这个角的补角； 【详解】解：设这个角为x；则这个角的余角为90°-x，这个角的补角为180°-x； 根据题意，90°-x=（180°-x）， 解得：x=60°， ∴这个角的补角为：180°-60°=120° 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查余角、补角的概念、一元一次方程的应用，正确得到方程是解本题的关键． 14. 数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点P作已知直线l的平行线，如图是甲、乙的作图过程．下列说法正确的是___________；（填序号） ①甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” ②甲的作图不正确 ③乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” ④乙的作图不正确 【答案】① 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由平行线的判定，可知甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行”；乙的作图也正确，但依据是“同位角相等，两直线平行”，并非“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”． 15. 设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式将与化简，再进行比较即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 16. 如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 【答案】5秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况． 分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，． 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即． 解得； 旋转到与都在的右侧时， ，， 要使，则， 即， 解得； 旋转到与都在的左侧时， ，， 要使，则， 即， 解得． ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5秒或秒． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 作图题： （1）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．的顶点A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺根据下列要求进行作图： ①过点E作线段的平行线，并标出平行线所过的格点； ②过点作线段的垂线，并标出垂线所过的格点； ③的面积为________． （2）尺规作图：（要求：只保留作图痕迹，不写做法） 小区里有一个三角形花坛支架，园艺师傅要在支架上加装一根水平横杆，要求横杆和花坛支架底边保持平行，用来摆放盆栽．请你用尺规画出横杆的安装位置（画出所在的直线）． 【答案】（1） ①如图所示； ②为所作格点； ③ （2） 【解析】 【分析】（1）①将向右平移，向下平移得到，由平移的性质得到； ②将向上平移得到，由平移的性质得到，由全等判定，即可得到结论； ③用大长方形的面积减去三个小三角形的面积即可得到答案； （2）过点作，点在点的右边的延长线上即可． 【小问1详解】 解：①略； ②将向上平移得到， ， ， ， ， ， ， ； 故是的垂线，为所作格点； ③； 【小问2详解】 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，与交于两点， 以点为圆心，同样的半径画弧，与交于一点， 用圆规量取第一步中两点之间的距离，以点为圆心，同样的半径画弧，与交于一点的这个点为圆心，刚刚的半径画弧，过点和这个点作一条直线即可． 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5），54 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法以及积的乘方进行计算即可； （2）根据积的乘方以及单项式的乘除运算进行计算即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可； （5）根据完全平方公式以及多项式除以单项式进行化简，再代数求值即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：原式 ； 将，代入， 原式． 19. 同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达． （1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______． ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），再将纸片展开铺平（如图）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； （2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图，连接交于点，连接，并在上找一点，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 王玲的说法正确． 理由如下： 根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． ∴． （2） ． 理由如下： ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可知，可求得的度数，进而求得的度数，同理可求得的度数，根据角之间的等量关系，可判断与的位置关系． （2）根据已知条件可知，进而可得，即可判断与的位置关系． 【小问1详解】 根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． 故答案为：． 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的判定及性质，牢记折叠的性质和平行线的判定及性质是解题的关键． 20. 如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． （1）小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ； （2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗地雷． ①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ； ②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明． 【答案】（1） （2）①；②这个约定对小亮有利 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算； （2）①直接利用概率公式计算； ②根据概率公式，分别计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后比较两概率的大小即可得到这个约定对谁有利． 【小问1详解】 解：∵一共有的小方格，其中埋藏地雷的小方格有10个，且每个小方格被选择的概率相同， ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 【小问2详解】 解：①∵一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，且每个小方格被选择的概率相同， ∴小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是； ②小明胜的概率，小亮胜的概率， ∵， ∴小亮胜的机会大， 即这个约定对小亮有利． 21. 观察下列各式： ，，， 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则：个位数字是5的两位数平方，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上即25．例如：计算：，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：___________． （2）请用你所学的数学知识表达并解释你所发现的规律． 【答案】（1）5625 （2） 设这个数字十位上是，故这个数字表示为， ， 故个位数字是5的两位数平方，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上即25． 【解析】 【分析】（1）根据题意中的规律进行求解即可； （2）设这个数字十位上是，故这个数字表示为，利用完全平方公式进行验证即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：略． 22. 已知：∠DEC+∠C=180°，DE平分∠ADF，∠F=∠1．求证：∠B=∠C． 【答案】 证明：∵∠DEC+∠C=180°，∠F=∠1， ∴DEBC，ACDF， ∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BGD，∠C=∠BGD， ∴∠C=∠EDF， ∵DE平分∠ADF， ∴∠ADE=∠EDF， ∴∠B=∠C． 【解析】 【分析】由∠DEC+∠C=180°，∠F=∠1，可得DEBC，ACDF，从而可得∠ADE=∠B，∠EDF=∠BGD，∠C=∠BGD，可得∠C=∠EDF，再结合DE平分∠ADF，有∠ADE=∠EDF，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 23. 阅读理解： 【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． （1）【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． ①由图（4），你能得到的等量关系式是___________； ②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： （I）已知，，则___________． （II）已知，则___________． （2）【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________． （3）【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________． 【答案】（1）①；②（I）24；（II）3； （2）4； （3） 【解析】 【分析】（1）①利用两种方法求出阴影部分的面积即可得到等式； ②（I）将变形成，代入进行计算即可； （II）令，求出，，根据即可得到答案； （2）根据阴影部分的面积为，求出即可得到答案； （3）由题意可知：，，根据，，求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①方法一：用大正方形的面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法二：用小正方形的边长列式可得：， ， 故等量关系式是； ②（I），， ， 将，代入，原式； （II）， 令， 故， ， ， ； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积和为， ， ， 阴影部分的面积和为； 【小问3详解】 解：由题意可知：，， ，， ， ． 24. 如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． （1）如图1，若，，请求出的大小； （2）若的平分线交于点： ①如图2，当，且时，请说明：； ②如图3，将三角板沿从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系，并直接写出你的结论． 【答案】（1）的大小为 （2） ①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵在三角板中，， ∴， ∴， ∴． ②或或或． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，即可求解． （2）①根据平行线的性质可得，，由平分，，可得，由直角三角板可得，可得，即可得证；②分情况讨论，当点在点左侧时，当点在点右侧时，根据始终保持不变，结合平行线的性质以及角平分线的定义即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的大小为； 【小问2详解】 解：①略 ②分两种情况： 当点A在点E左侧时，则或； 当点A在点E右侧时，或．理由如下， 第一种情况：当点A在点E左侧时，如图3所示，若点在点左侧， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 若点在点右侧时，由于， ∵平分， ， 故； 第二种情况：当点A在点E右侧时，点P在点O的左侧，如图4所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当点A在点E的右侧，点P在点O的右侧时，如图所示， 同理，，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东青岛市青岛大学附属中学2025-2026学年 第二学期期中阶段性检测七年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 打开电视，正在播放《大国工匠》 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据研究，一种H7N9病毒直径为29纳米（1纳米米），下列科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．小明转出来的数字不大于6的概率与小亮转出的颜色是红色的概率是否相同？（ ） A. 相同 B. 小明转出的概率大 C. 小亮转出的概率大 D. 无法确定 5. 如图，已知点P在直线外，在直线上任取一点Q，以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点M；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则的依据为（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 内错角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6. 下列图形中，由，能得到的是（　　） A. B. C. D. 7. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．如图，某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证为（ ） A. B. C. D. 8. 下列乘法公式的运用中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 12. 算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上下两个部分，上部分为上珠，下部分为下珠，每颗上珠代表数字5，每颗下珠代表数字1．如图所示的算盘中，每档有上珠1颗，下珠4颗，规定最右侧档为个位，依次向左为十位、百位、千位等，不拨珠空挡表示0．在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，所表示的数恰是5的整数倍的概率为______． 13. 一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的补角是 _____°． 14. 数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点P作已知直线l的平行线，如图是甲、乙的作图过程．下列说法正确的是___________；（填序号） ①甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” ②甲的作图不正确 ③乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” ④乙的作图不正确 15. 设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 16. 如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 作图题： （1）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．的顶点A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺根据下列要求进行作图： ①过点E作线段的平行线，并标出平行线所过的格点； ②过点作线段的垂线，并标出垂线所过的格点； ③的面积为________． （2）尺规作图：（要求：只保留作图痕迹，不写做法） 小区里有一个三角形花坛支架，园艺师傅要在支架上加装一根水平横杆，要求横杆和花坛支架底边保持平行，用来摆放盆栽．请你用尺规画出横杆的安装位置（画出所在的直线）． 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）先化简，再求值：，其中，． 19. 同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达． （1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______． ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），再将纸片展开铺平（如图）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； （2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图，连接交于点，连接，并在上找一点，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 20. 如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． （1）小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ； （2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗地雷． ①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ； ②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明． 21. 观察下列各式： ，，， 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则：个位数字是5的两位数平方，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上即25．例如：计算：，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：___________． （2）请用你所学的数学知识表达并解释你所发现的规律． 22. 已知：∠DEC+∠C=180°，DE平分∠ADF，∠F=∠1．求证：∠B=∠C． 23. 阅读理解： 【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． （1）【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． ①由图（4），你能得到的等量关系式是___________； ②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： （I）已知，，则___________． （II）已知，则___________． （2）【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________． （3）【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________． 24. 如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． （1）如图1，若，，请求出的大小； （2）若的平分线交于点： ①如图2，当，且时，请说明：； ②如图3，将三角板沿从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系，并直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $