精品解析：上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷

2025学年宝山第二学期九年级模拟考试数学试卷 考生注意： 1.本试卷共25题． 2.试卷满分150分，考试时间100分钟． 3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 5 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 实数大小比较中，负数小于0，负数小于正数， ∴ 四个选项中唯一的负数一定小于，和， 因此最小的数是． 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时乘以−2，不等号的方向改变，即−2a＜−2b，故本选项错误； B、在不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误； C、在不等式的两边同时乘以−1，得到-a＜-b，再在两边同时加上2，不等式仍成立，即2−a＜2−b，故本选项错误； D、在不等式的两边同时减去2，不等式仍成立，即a−2＞b−2，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 4. 如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 5. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 6. 如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，作图得到垂直平分，进而得到的长，解直角三角形，求出的长，由作图可知，，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵在矩形中，，，为矩形对角线， ∴，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）（请将结果直接填入答题纸的相应位置上，超出答题区域书写的答案无效） 7. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 8. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 9. 方程＝4的根是_____． 【答案】x=5 【解析】 【分析】两边平方，得3x+1=16，解方程即可． 【详解】解：两边平方，得3x+1=16， 解得x=5， ∵， 解得， ∴x=5是方程的根． 故答案为：x=5． 【点睛】本题考查解无理方程，求解步骤是两边先平方，再求解，注意验证根是否符合意义． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式分母进行因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根， 解得， 解得． 12. 2025年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超6000家，核心产业规模预计突破1.2万亿元，将数据1.2万亿元用科学记数法表示为______元． 【答案】 【解析】 【详解】解：万亿， 故数据1.2万亿元用科学记数法表示为． 13. 已知一次函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小 ∴， 即取负数，当时，函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可． 14. 在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有个，根据题意得 整理得 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意， 所以袋中红球的个数是． 15. 如图，在中，的平分线交于点E，，设，，那么用向量、表示向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，再根据三角形法则进行计算即可. 【详解】解：∵中，的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 16. 如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为O，过点O作于点M，过点P作于点Q， 由拼图和正六边形的性质可知，，， 在中，，， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 17. 如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，，由旋转的性质得到，从而，，，结合点在的延长线上可得，进而证明，求出的长，最后利用计算即可． 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，，， ∵点在的延长线上， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∴， 在和中  ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上，点在上， ∴， ∵，， ∴． 18. 定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况，画出图形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等， 当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，是等腰的外接圆， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 当为钝角时，如图，连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 综上：的面积与的面积比为或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 20. 解关于x的不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点B，点C和点A关于原点对称． （1）求k与n的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先联立一次函数与反比例函数的解析式求解点，然后由关于原点对称的点的坐标特征求解点，再根据勾股定理及其逆定理证明是直角三角形，最后根据正切的定义求解． 【小问1详解】 解：由题意得，把代入得，， ∴， 把代入，则， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵点C和点A关于原点对称，， ∴，如图： ∴， 同理可求， ∴， ∴， ∴在中，． 22. 某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． （1）扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； （2）本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； （3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 【答案】（1）90 （2）160，补全条形统计图： （3）①7，8，； ②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小，说明成绩更加稳定． 【解析】 【分析】（1）用乘以占比即可； （2）先由C的人数除以占比求解总人数，然后计算出B、E的人数，即可补全条形统计图； （3）①根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； ②根据平均数，中位数，方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：总人数：（人）， B的人数：（人）， 则E的人数为：（人）， 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：①； 乙的数据排列为：3，4，8，8，8，9，9，则； ； ②略 23. 如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果四边形是矩形，且，求证：． 【答案】（1） 证明：由翻折可得，， ∵梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，设， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先得到梯形是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据比例线段证明，然后结合翻折，矩形的性质证明，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架为正方形时，求架骨的长； （3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到，，再设出顶点式，代入求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据对称性可得，，则，再把代入抛物线表达式求解即可； （3）根据矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离求出对应的值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矿洞横截面是轴对称图形，，点E到的距离为， ∴顶点， 设抛物线L的表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线L的表达式为； 【小问2详解】 解：设正方形的边长为，则， 根据对称性可得，， ∴， 将点代入得，， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为，即架骨的长为； 【小问3详解】 解：∵矿车距离上方预留的安全距离， ∴把代入， 则， 解得（舍去）， ∴此时， ∵两侧支撑架需预留的安全距离， ∴此时， ∴为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，． 25. 如图1，是的直径，C是延长线上一点，是的切线，P为切点，连接、． （1）求证：； （2）如图2，过点B作交于D， ①如果，，求的长； ②连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，P为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）①作于点，作于点，垂径定理得到，证明四边形为矩形，得到，，设的半径为，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，进而得到，求出的值，证明，列出比例式进行求解即可；②分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，延长交于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，连接，交于点，则， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年宝山第二学期九年级模拟考试数学试卷 考生注意： 1.本试卷共25题． 2.试卷满分150分，考试时间100分钟． 3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 5 C. D. 0 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 5. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 6. 如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）（请将结果直接填入答题纸的相应位置上，超出答题区域书写的答案无效） 7. 的立方根是__________． 8. 因式分解：________． 9. 方程＝4的根是_____． 10. 计算：______． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 2025年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超6000家，核心产业规模预计突破1.2万亿元，将数据1.2万亿元用科学记数法表示为______元． 13. 已知一次函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：_______． 14. 在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 15. 如图，在中，的平分线交于点E，，设，，那么用向量、表示向量是______． 16. 如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是______． 17. 如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 18. 定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解关于x的不等式组：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点B，点C和点A关于原点对称． （1）求k与n的值； （2）求的值． 22. 某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． （1）扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； （2）本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； （3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 23. 如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果四边形是矩形，且，求证：． 24. 【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架为正方形时，求架骨的长； （3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 25. 如图1，是的直径，C是延长线上一点，是的切线，P为切点，连接、． （1）求证：； （2）如图2，过点B作交于D， ①如果，，求的长； ②连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $