精品解析：北京市十一学校2025-2026学年第3学段 常规八年级 初中数学III课程教与学诊断 (2026.4)

北京市十一学校2025-2026学年第3学段常规八年级初中数学III课程教与学诊断 满分：100分 时间：120分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，在本试卷上的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 2. 如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 3. 在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 4. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，再由角平分线得出是等腰直角三角形，得出，证明是等边三角形，得出，，得出，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ . ∵ 平分， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ． 5. 下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ） A. 如图中，是的函数； B. 观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C. 式子中，是的函数； D. 数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【详解】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确； C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误． 6. 已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数和正比例函数的图象分别判断出每个选项中，的符号，即可判断． 【详解】解：A、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过二、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； B、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、二、三象限，则，，符合题意； C、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； D、由图象可得，正比例函数经过一、三象限，则，， 一次函数经过一、二、四象限，则，，矛盾，不符合题意； 7. 若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 8. 如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（ ） A. 27 B. 27.5 C. 28.5 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，三角形中位线的性质等，取的中点，连接，由三角形中位线的性质可得，且，得到，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 由三角形中位线的性质可得，且， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由函数图象可知，，， 由函数图象可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共36分） 9. 用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 10. 函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 11. 一次函数的图象过点(2，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 【答案】 4或 【解析】 【分析】先求出一次函数与轴的交点，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可得到结果. 【详解】解：当时，，即一次函数图象与轴交点为， 已知一次函数图象过点，即与轴交点为， 根据三角形面积公式得：， 化简得， 解得或 12. 如图，中，，点、分别是、的中点，连接，点是边的中点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵在中，，是的中点， ∴， ∵在中，是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴． 13. 已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 14. 已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，待定系数法求一次函数解析式；先求出原直线上两个点平移后的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的解析式． 【详解】解：根据题意可得：平移后得到点，平移后得到点， 设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得， 因此直线的解析式为． 15. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，已知，，则_____． 【答案】 9.6 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求出的长，再根据勾股定理求出的长，再根据菱形的面积等于底乘以高，进行求解即可. 【详解】解：∵在菱形中，对角线，交于点， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴. 16. 若是关于的方程的根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得，然后把等式两边除以可得到的值． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 即． 17. 如图，在等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=6，D、E分别为AB、AC边上的点，将边AD沿DE折叠，使点A落在CD上的点F处，当点F与点C重合时，AD=____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，当C和F重合时，DE为AC(F)的中垂线,过C作CG垂直于AB交AB于G点,可得AG=3,CG=4,设：AD=x,则BD=6-x，由已知可得DG=x-3,在Rt△CDG中，由勾股定理列出方程可求得x，即为AD． 【详解】解：由题意可知，当C和F重合时，如下图 由于AD沿DE折叠至CD，故DE为AC(F)的中垂线过C作CG垂直于AB交AB于G点 设AD=x，由中垂线性质可得，CD=AD=x， 则BD=6-x； ∵AC=5，CG为等腰△ABC底边AB上的高，且AB=6 ∴，CG=4， ∴DG=BG-BD=x-3； 在Rt△CDG中，由勾股定理，得：CG²+DG²=CD²； 即：； 解得：； ∴ 故答案为： 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于画出图形和掌握作辅助线． 18. 已知一次函数（m，n是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与轴的交点坐标为； ③若，则； ④方程的解是． 其中正确的是（写序号）_____． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征判断①，根据x轴上点的坐标特征解方程判断②，利用换元后解不等式判断③，整理一元一次方程求解判断④. 【详解】解：已知一次函数，，且 ①当时， ，因此函数图象经过点，故①正确； ②当时， ，解得，因此直线与轴的交点坐标为 ，故②正确； ③由得 ，代入不等式得，即 ， 解得，故③错误； ④整理方程 得 ， 解得， 因此方程的解为，故④正确； 综上，正确的序号为①②④， 故答案为：①②④． 19. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则_____，线段的最小值为_____． 【答案】 ①. 90 ②. ## 【解析】 【分析】求出，由三角形内角和定理得到，取的中点，连接、，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系定理得到：， ∴线段的最小值为． 20. 为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲，乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强； ②在时刻，甲企业的污水排放量比乙企业高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】 ② 【解析】 【详解】解：①在这段时间内，甲企业图象比乙企业图象陡峭，甲企业污水治理能力比乙企业强，故①错误； ②在时刻，甲企业图象在乙企业图象上方，甲企业污水排放量比乙企业高，故②正确； ③在时刻，甲、乙两企业图象均在污水达标排放量虚线上方，均未达标，故③错误； ④在，，这三段时间中，甲企业图象在最陡峭，污水治理能力最强，故④错误． 三、解答题（第21题5分，第22题9分，每小题3分，第23题6分，第24、25题各5分，第26、27、28题各6分，共48分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先运算负整数次幂、化简二次根式，绝对值和分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 22. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）利用直接开平方法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴，， 解得，； 【小问3详解】 解：， ，，, ， ∴， 解得，． 23. 如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； （1）根据菱形的性质得到，根据对角线相等且平分的四边形是矩形证明即可； （2）根据菱形的性质得到，即可得到，根据角平分线可得，进而可得，然后根据勾股定理求出长，根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意求得，分三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，其中， ∴， 情况1：当即， 此时随的增大而增大， 在时取得最小值，最小值为， 由，得， 解得； 情况2：当即，此时， 不满足，舍去； 情况3：当即， 此时随的增大而减小， 在时取得最大值， 最大值为， 由，得，解得； 综上，的取值范围或． 25. 曹冲生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”太祖悦，即施行焉．译文：曹冲年龄五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人，有一次，孙权送来了一头巨象，曹操想知道这象的重量，询问他的属下这件事，但他们都不能说出称象的办法．曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西，称一下这些东西，那么比较下就能知道了．”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了．现有一艘大船的吃水深度与船上重物（吨）之间的关系如表所示： （吨） 0 0.5 1 2 3 4 … a 20.2 20.4 20.8 21.2 21.6 … （1）_____； （2）求出船的吃水深度与船上重物（吨）之间的函数关系式； （3）大象装上船后该船的吃水深度为23.4cm，求大象重多少吨． 【答案】（1）20 （2） （3）8.5吨 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际问题； （1）根据表格数据得到变化情况求出a的值解答即可； （2）利用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）令，解关于x的方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据表格可知船上重物每增加吨，吃水深度增加厘米， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设大船的吃水深度 (厘米)与船上重物(吨)之间的函数关系式为 ， 根据表格数据,选取点和代入,得： ，解得： ， ∴大船的吃水深度 (厘米)与船上重物(吨)之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解:当时， ， 解得， 答：大象重8.5吨． 26. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂和添加剂）对面包保质期的影响．添加剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接： （2）工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失． ①若增加添加剂能使保质期延长超过_____天，则增加浓度是有利的； ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）． 当添加剂浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为_____元； （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂比选择添加剂可以节省_____的添加剂（保留整数）； ②当浓度在__________范围内时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多1天（保留整数）． 【答案】（1）见解析 （2）①2；②18 （3）①60；②20；80 【解析】 【分析】（1）根据题意描点并连线即可； （2）①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； ②即当添加剂A浓度为时，保质期为8天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； （3）①分别求出保质期至少为8天时，添加剂A和添加剂B的浓度，求差即可解答； ②结合表格中添加剂A的浓度，求出相应保质期下添加剂B的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 【小问1详解】 解：描点并连线为： 【小问2详解】 解：①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则 ， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过2天，增加浓度是有利的． ②由题意可得，当时，， 即当添加剂A浓度为时，保质期为8天， 此时总成本为：（元）． 【小问3详解】 解：①由表格可知，若选择添加剂A，当时，， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要； 若选择添加剂B，当时，，解得， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为； ②当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， ∴当浓度在范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 27. 如图1，在正方形中，点是边上一点，且不与、重合，过点作的垂线交的延长线于点．连接，过点作于点． （1）求证：点为中点； （2）如图2，连接． ①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； ②若正方形边长为，的面积为，直接写出的取值范围是_____． 【答案】（1）见解析 （2）①，见解析；② 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）①取的中点，连接，，先证明，得出，证明，结合勾股定理，即可得出结论；②当点F与点A重合时，当点F运动到点B时，结合图形分别求出相应的面积即可得出结果． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形 ∵， ∴点为中点； 【小问2详解】 解：①，证明如下： 取的中点，连接，， 是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在中，， ， ，， ， ， ， ； ∵， 为的中位线， ，， ， 在中，， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． ②由（1）可知，， ∴， 当点F与点A重合时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时的面积最小为：； 当点F运动到点B时，， ∴， ∴， ∵， ∴此时的面积最大为：； ∵点是边上一点，且不与、重合， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的等长点．例如：如图中的为矩形的一个等长点． （1）在点中，矩形的等长点是_____； （2）若为矩形的等长点，则值为_____； （3）若一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，则的取值范围是_____． 【答案】（1），； （2）或或或； （3）或． 【解析】 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是理解等长点的定义以及一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想进行求解． （1）理解等长点的定义，逐个判断即可； （2）根据等长点的定义分四种情况构建方程，再解方程，即可解决问题； （3）设为矩形的等长点，确定点的轨迹，由一次函数可得过定点，结合题意以及图象，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴是矩形的等长点； ∵， ∴不是矩形的等长点； ∵， ∴是矩形的等长点； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵为矩形的等长点， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：或或或； 【小问3详解】 解：由题意可得，设为矩形的等长点， 则或或或，且，， 可得或或或， 画图象如下， 则矩形的等长点在线段、、，上， 由一次函数可得过定点， 因为一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，可得图象如下： 当一次函数经过点时，， 当一次函数经过点时，， 由此可得，； 当一次函数经过点时，， 当一次函数经过点时，， 由此可得，， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2025-2026学年第3学段常规八年级初中数学III课程教与学诊断 满分：100分 时间：120分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，在本试卷上的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ） A. 如图中，是的函数； B. 观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C. 式子中，是的函数； D. 数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 6. 已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（ ） A. 27 B. 27.5 C. 28.5 D. 30 二、填空题（每题3分，共36分） 9. 用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 10. 函数中，自变量的取值范围是_________． 11. 一次函数的图象过点(2，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 12. 如图，中，，点、分别是、的中点，连接，点是边的中点，连接，若，则的长为______． 13. 已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 14. 已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 15. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，已知，，则_____． 16. 若是关于的方程的根，则的值为_____． 17. 如图，在等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=6，D、E分别为AB、AC边上的点，将边AD沿DE折叠，使点A落在CD上的点F处，当点F与点C重合时，AD=____________． 18. 已知一次函数（m，n是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与轴的交点坐标为； ③若，则； ④方程的解是． 其中正确的是（写序号）_____． 19. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则_____，线段的最小值为_____． 20. 为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲，乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强； ②在时刻，甲企业的污水排放量比乙企业高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（第21题5分，第22题9分，每小题3分，第23题6分，第24、25题各5分，第26、27、28题各6分，共48分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 计算：． 22. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 23. 如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 25. 曹冲生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”太祖悦，即施行焉．译文：曹冲年龄五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人，有一次，孙权送来了一头巨象，曹操想知道这象的重量，询问他的属下这件事，但他们都不能说出称象的办法．曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西，称一下这些东西，那么比较下就能知道了．”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了．现有一艘大船的吃水深度与船上重物（吨）之间的关系如表所示： （吨） 0 0.5 1 2 3 4 … a 20.2 20.4 20.8 21.2 21.6 … （1）_____； （2）求出船的吃水深度与船上重物（吨）之间的函数关系式； （3）大象装上船后该船的吃水深度为23.4cm，求大象重多少吨． 26. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂和添加剂）对面包保质期的影响．添加剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接： （2）工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失． ①若增加添加剂能使保质期延长超过_____天，则增加浓度是有利的； ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）． 当添加剂浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为_____元； （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂比选择添加剂可以节省_____的添加剂（保留整数）； ②当浓度在__________范围内时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多1天（保留整数）． 27. 如图1，在正方形中，点是边上一点，且不与、重合，过点作的垂线交的延长线于点．连接，过点作于点． （1）求证：点为中点； （2）如图2，连接． ①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； ②若正方形边长为，的面积为，直接写出的取值范围是_____． 28. 在平面直角坐标系中，，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的等长点．例如：如图中的为矩形的一个等长点． （1）在点中，矩形的等长点是_____； （2）若为矩形的等长点，则值为_____； （3）若一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，则的取值范围是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $