河北省邯郸市复兴区实验中学2025-2026学年九年级下学期4月阶段数学试题

2026年河北省九年级巩固练习 总分 核分人 数学 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟. 市、区、乡 三 密 题号 学校 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 班级 得 分 评卷人 、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 姓名 1. 2026年石家庄、沧州等市中考体育抽考项目都是1分钟跳绳，在评定标准中，男生1分 钟跳绳的满分标准是175个，在一次练习中，不够满分标准的部分用负数表示，下列四 考场 名男生的成绩中，与满分标准相差最小的是(） A.-10 B.-8 C.-5 D.-4 考号 封 2. 成语是中华文化精髓的重要载体，其背后蕴含着丰富的历史典故与哲学智慧.下列 成语所描述的事件中，属于随机事件的是() 座位号 A.水涨船高 B.异口同声 C.日出东方 D.冬去春来 3.下列各式运算时，2和3可以直接相加的是() A.2a+3b B.a+a C.a.a D.(2 图1正面 4.如图1，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去一部分，则剩下的几何体的左视 图为( D 5.根据光的反射定律，入射角x等于反射角B.在如图2所示 的光的反射实验中，法线BD⊥镜面OM,∠BAN=64°.若反 射光线BC∥镜面ON,则∠OBA的度数为() -C A.38° RN B.32° A 图2 C.28 D.22° 6.“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系.如图3，两个正 方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间关系的是( 面积 面积为8 为2 A.8=2×4 B.V8=2 C.V8=2V2 D.8=2 图3 7.下面是嘉嘉和淇淇的对话，根据对话内容，淇淇取的x的值可能是( 嘉嘉：我能正确的化简分式受◆气； 淇淇：我给x取一个值，能使你化简后所得代数式的值大于0 A.-2 B.0 C.3 D.10 A 8.小明将由四条长为10的木条组成的菱形ABCD沿BD向右推至四边形 A'B'CD的位置，如图4所示，当BD=16,且菱形ABCD与四边形A'BCD 的大小完全一致时，BB的长度为( A.2 B.3 C.4 D.6 图4 9.在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产盘问题.小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55 斗， 2。 设上等禾每捆产出稻米*斗”列出不等式33x+22×55≥5170，则“ 上应是( ) A.取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B.取上等禾22捆、中等禾33捆共屉之，产出的稻米不少于5170斗 C.取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D.取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 10.为了测量树AB的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测登方法及 测量数据，能计算出树AB高度的是(） 方案一：如图5-1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆CD的影子 顶端与树AB的影子顶端E重合，此时测得标杆的影长DE=3米，树AB 的影长BE=13.5米； 方案二：如图5-2，乙同学站立点H与树AB的距离BH=10米，眼睛G E D 图5-1 观测树AB的顶端A的仰角为37（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75) A.只有方案一能 B.只有方案二能 37° C.方案一、二都能 图5-2 D.方案一、二都不能 11.如图6，正六边形的顶点D,E,F在等边三角形ABC的三边上，若BE= 2,BD=6,则正六边形的边长为( A.⑦ B.2V万 3 3 c.y21 D.22红 3 图6 三)第2页（共8页） 12如图7，点A(2,2)在反比例函数y=左(x>0)的图象上，过点A作AD⊥x轴于点D.点Q从点(a,0) (a心2)出发，沿x轴向右以每秒α个单位长度的速度运动，以点Q为顶点作 等腰直角三角形QCB,点B在反比例函数y=上(x>0)的图象上，点C在x A 轴上且在点Q的右侧，∠BCQ=90°.则在点Q运动过程中，时间每增加1 B 秒，四边形ABCD的面积都会( ODQC￥ A增加号 B.增n号 图7 C.增加1 D.增加a 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 6m 8m 13为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在一个 6m 三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图8所示，则 10m 阴影部分的周长为 m. 图8 14.中国研发的纳米机器人尺寸因应用场景和设计目标不同而存在较大差异，磁控纳米机器人多 用于医疗健康领域，尺寸约为2×106米，3D手型微纳机器人可用于环保和制造等领域，其尺 寸是磁控纳米机器人的20倍，则3D手型微纳机器人的尺寸约为 米（用科学记 数法表示). 15.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个不相等的实数根为 ,名，若(x+1)(2+1)=8,则m的值为 16,如图9，在□ABCD中，AB=10,sinB=号，将□ABCD折叠，使点 B与点D重合，折痕为EF,点P在EF上（点P不与点E,F重合）， 过点P作PMLAD于点M,PN⊥DF于点N,以PM,PN为邻边构造 □PMQN,则了PMQN的周长为 图9 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分)》 如图10，在一条未标出原点的数轴上，点A,B所表示的数分别为-10,4. (1)线段AB的长为 (2)若0是数轴的原点，请在图中标出点0的位置； (3)点P在该数轴上，位于点B右侧，且点P表示的数为m.若点P到点A,点B的距离之和等于 20,求m的值， B -10 图10 数学（十三）第 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 2026年3月22日至28日是“中国水周”，为增强学生的节约用水意识，某校举办了以 “节水护水”为主题的活动.结合该主题活动，某数学小组随机调查部分城镇居民家庭，统 计其3月份用水量后，将居民家庭的用水量x(单位：m)分为5组，A组：3≤x<5,B组：5≤ x<7,C组：7≤x<9,D组：9≤x<11,E组：11≤x<13,并将收集的数据整理后，绘制成如图11 所示的两幅不完整的统计图. (1)请补全条形统计图，扇形统计图中圆心角α= 度； 密 (2)被调查的居民家庭3月份用水量的中位数落在 (填字母)组； (3)若城镇居民月平均用水量小于7'，则体现城镇居民节水意识较强，且达到评选文明城 镇的标准.若分别用4,6,8,10,12作为A,B,C,D,E这五组用水量的平均数，估计该城镇3 月份平均用水量是否达到评选要求。 户数50 50 45 4 20 22.5% 10 E DE组别 图11 得 分 评卷人 19.(本小题满分8分) 如图12-1，已知正方形ABCD和正方形AEFG,点B在边AG上，点D在线段EA 的延长线上.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转a(0<a<90°)，连接DG,BE,DG 与直线BE交于点0，如图12-2所示 (1)如图12-2，求证：△ADG≌△ABE; (2)请在下列①、②中任选一问进行证明 B ①在旋转过程中，LG0E的度数不变； ②过点A作AM⊥DG于点M,AN⊥BE于点N,在旋转过程 E 中，AM与AN之间的数屉关系不变， 图12-1 G B 0 E D 图12-2 (共8页) : 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 现有长度不同的两种木棒各4根（如图13-1所示，木棒长度分别为a,b,其中α> b),数学小组的同学们用这8根木棒（不折断且木棒全部用完）摆成长方形或正方形，选 取如图13-2所示的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法进行研究，记四种图形的面积分别为 S甲，Sz,S两，Sr(Sz和Sr表示各自图形的面积和). a 密 (1)请用含a,b的式子直接表示S和S两； 图13-1 (2)判断S甲，Sz,S两，S丁中哪个最大，并说明理由. 丙 图13-2 封 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 如图14，在平面直角坐标系中，点A(10,m)在直线1：y=-x+4上，且直线l与x轴， y轴交于点C,B,过点A的直线2交x轴于点D(-2,0), (1)求m的值和直线2的解析式； (2)若点E(1)在直线，上，点Fx+1,2)在直线2上，求-2的值； (3)在第三象限内是否存在点P(a,2a),使得△BCP的面积与△BCD的面积相等？若存 在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由。 线 图14 数学（十三）笋 ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 【综合与实践】无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段.按 要求完成下列各小题. (1)如图15-1，在8×8的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点M,0在格点（小正方形的 顶点)上 ①0M的长为 ②谛在图15-1中仅用一把无刻度直尺画出线段0N,使得0N=0M,且∠M0N=90°； M 图15-1 (2)如图15-2，已知在平行四边形ABCD中，AB=BC,连接AC. ①点E在边AB上，老师要求仅用一把无刻度直尺在图15-2的边AD上画出点F,使得AF=AE, 小冀先连接DE,交AC于点O,请你在小强画图的基础上，完成画图； ②在(2)①的基础上，AB=4,LDAB=60°，连接EF交AC于点H,连接BH,求BH+】AH的最小值. 2 D A E 图15-2 、而) ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员 需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）， 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线C的一部分，飞行轨迹最高点距地面 3m,起飞点0和降落点E(都在水平地面上)的距离为8m,以0为原点，OE所在直线为x轴，过 点0与水平地面垂直的直线为y轴，建立如图16所示的平面直角坐标系。 (1)求抛物线C的解析式； 【解决问题】(2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 0.15m,才能安全通过.如图16，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形ABDE,其 中AB=2.85m,AE=2m,DE=2.4m,∠BAE=∠DEA=90°.无人机乙原计划从距离AB左侧4m的 点N(2,0)处起飞（其飞行轨迹抛物线C与抛物线C的形状和最高点距地面的高度均相同），发现 不能安全越过障碍物.若该公司人员在起飞点N处放置一个平台，无人机乙从平台上的点M(MNL x轴)处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线C”, ①求该平台的高度MW; ②求当2≤x≤8时，在平台点M处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在x相同时 的最大高度差； (3)在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上.电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解 析式为y=-子4d(其中d是正整数，≥0，无人机从x=0处起飞)，回收平台的截面是直线l:y一kx (0<k<子)，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点P处.判断是 否存在k,使得点P的横坐标是正整数，若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由， y/m N A x/m 图16 数学（十三 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图17-1、图17-2和图17-3，A,B是⊙0上的两个定点，P是⊙0上的动点（不与 点A,B重合) 【基础解题】(1)如图17-1，AB是⊙0的直径，AB=4,∠PAB=30°，求劣弧BP的长度； (2)如图17-2，若⊙0的半径为1，AB=V3,求∠APB的度数； 【能力探究】(3)如图17-3，点C在线段PA的延长线上，且CB与⊙0相切，切点为B. 密 ①求证：∠CPB=∠CBA; ②若⊙0的半径为6，AB=4,anC=E,则BC的长度为 2 【类比拓展】(4)如图17-4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点P在△ABC的内 部（点P不与点A,B重合），连接AP,BP,CP,且∠APB=135°.请你利用直尺和圆规在图 17-4中画出所有满足条件的点P所形成的轨迹，并直接写出C2的最小值 AP A 0 B B 封 B CA 图17-1 图17-2 图17-3 C 图17-4 线 ☑ …不) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分. 2.若答案不正确，但解题过程正确，可的情给分. 一、 （本大题共12个小怒，每小题3分，共36分) 号 12345 8 1112 答案 DD 【稍思博考：12.设点B的坐标为(x,y）,易得Xy=4.S0附o=号×(y+2)(x-2)=。xy-y+x-2=x-y. BC=CQ.当Q(2a,0)时，yFx-2a,此时SKD=2a!当Q(3a,0)时，y=x-3a,此时Sm附m=3a:… 依次类推，时间每增加1秒，四边形ABCD的面积都会增加a】 二、（本大题共4个小愿，每小题3分，共12分) 13.19 14.4×10 15.-4 16.16 【科思博考：l6.过点A作AG⊥BC于点G,FH⊥AD于点H,易得AG=FH=8.易得BF=DF=DE. Som,号XDEXFH-号XDEXPM+XDFXPN,.FH=PHPN=8,平行，四边形PMON的网长为I6】 2 2 三、17.解：（1)14：…(2分) (2)如图：…(4分) -10 17期因 (3)根据题意可得m(-10)+m-4=20,解得m=7.…（7分) 1产50 50 18.解：（1)如图：54：…(4分) 8 (2)C:…(6分) (3)被调查的居民家庭3月份平均用水量为(4×45+6×50+8×40+10×30+12×35)÷ A∥C 18题阳 200=7.6(m),可得该城镇3月份平均用水量约为7.6m. 7.6>7,.该城镇3月份平均用水量没有达到评选要求.…(8分) I9.解：（1)证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AD=AB,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°， ,∠BAD叶∠BAG=∠EAG+∠BAG,即∠DAG=∠BAE,.△ADG≌△ABE:·（4分) (2)选①证明：设BE与AG交于点P,.∠BPG=∠APE.△ADG≌△ABE,∠DGA=∠AEB. 在△OPG和△AEP中，∠COE=180°-∠BPG-∠DGA,∠PAE=180°-∠APE-∠AEB, ∠G0E=∠PAE=90°，.在旋钱过程中，∠C0B的度数不变；…(8分) (选@证明：：△ADG≌△ABE,“DG=B配，SASA,XAMXDG=-XANX BE,AfAM,在旋转过程中， 2 2 AM与AN之间的数量关系不变) 20.解：(1)Sp=4ab,S则(a+b）2（或写成Sm=a+2ab+b):…（4分) (2)S网：心(5分) 理由：S=2ab<Sm,Sr=a24b2<Sw,Sm-Sp=(atb)2-4ab（a-b)3. 又a>b,(a-b》2>0,S网>Sp,即S四最大.…(8分) 21.解：（1)将点（10，m)代入y=-x+4中，解得m=-6,…(2分） 点A的坐标为(10,6).设直线12的解析式为y=kx+b.将点(10,6)，(-2,0)代入y=kx+b中，解 得k=-,b=-l,直线，的解析式为y-Xl: …(5分) 2 2 10/11 (2)y22-xt4-2X-(x1)-=7:… *(7分） (3)存在…… …(8分） 。的值为 ,(9分) 【精思博考：若△BCP的面积与△BCD的面积相等，则过点D,P的直线与直线l,平行，则直线DP的解析式可 设为y严-x+c, 将(-2.0)代入y=-x+c,解得c=-2,y=-X-2. 将a,2)代入=x解得 2,解：(1)2…(2分) ②如图1…(4分） (2)①如图2……(6分) ②如图3，过点H作HG⊥AD于点G. 2 W四边形ABCD是平行四边形，∴，AD∥BC,∠DAC∠BCA 'AB=BC,.∠BAC=∠BCA,,∠DAC∠BAC. aG-60,i2Dc∠Bc0,在△G中，6tM脚r2=G 2 当点B,H,G共线时，BH+GH最短，此时BG⊥AD,∴BG=AB·Sin60°25， 即6分的最小值为25.…（9分） 效鼎（报据愿整可设猫物成c的解折武为6x4将点(0,0》代入解得8”- ,,抛物线C 的解折式为y产君仪48（3分剂 (2)①根据愿意可设抛物线C”的解折式为y三(x4-2》43h-三(x-6)43+h 16 :0呢=8,0A-2+4=6,∴此时点B正好在抛物线C”最高点的下方，与最商点的距离超过0.15@，点D的坐标为 (8,2.4).2.4+0.15=2.55. ,无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过降碍物，∴.点(8,2.55)恰好在抛物线C”上， 825的)代入6x6)43h中，解得h03,即该平台的燕度w为0.3m ②由0岩物线c的解折式为产吕(6)a.8 当名6)4a3-是g时解得兽 16 5 结合图象可得，当2≤x<孕时，在x2时，有最大高度兹，此时高度差为9 5 当管<≤时，在电时，有最大高度递，离度笼为分：>碧最大离度滋为 m:…(8分) 20°2020 20 (3)存在：。 …(9分) 长的微为欢号 …(11分) a 【精思博考：联立y=-x4dx和y=kx,整理可得x(xk-d)=0,解符x=0(舍》，x4d-4k. A :是正整数，4d是整数。当4纵是整数时，×的值也是整数，满足条件的k有二和二】 2 24.解：（1）连接0R,÷∠P0B=-2∠PAB-60°，劣弧BP的长度为2：(2分) 2)如图1，连接OM,0B,过点0作0LB于点MAf涨A= ,易得∠AOM=∠BOM. 2 在RtA0s中，sin∠A0=A.5，A∠h0I=60°，∠B0W=60°，÷∠h08=120°. 0A2 24划因1 当点P在优弧AB上时，∠APB=60°：当点P在劣弧AB上时，∠PB=120°， 0 即∠APB的度数为60°或120°：…(6分) (3)①证明：如图2，连接B0并延长交⊙0于点Q,连接AQ, C∠ ∴.∠AQB=∠CPB,∠BAQ=90°，∴.∠AQB+∠ABQ=90°. 21郑阳2 ,CB与⊙0相切，∴∠0BC=90°，.∠CBA+∠ABQ=90°， ,∠AQB=∠CBA,.∠CPB=∠CBA:…(9s分) 40 ②42： (10分) 【静思博考：如图3，连接OB,过点A作AF⊥BC于点F,过点0作OE⊥AB于点E,∴.∠OEB=∠AFB=9CZF B 24近图3 ·,AE=BE=号A=2,六∠FA8+∠FBA=90”，在R△0EB中，0E=45. 由O可得∠FBA+∠0BE=90°，∠0BE=∠FB,△0EB∽△BFA,:08.0E-E 8 =,BF= AB BF AF 3,4 在Rt△AcR中，tanc=,则GFg,BCF4Gr4E) 3 (4)如图4（作图方法不唯一）：… …（11分)A 的最小值为，…2分 AP 2 【郝思博考：如图5，所有满足条件的点P所形成的弧B在⊙0'上，延长CP交⊙0' 于点M,连接AM易得⊙0'的直径为4，AC与⊙0'相切于点A. 24期田4 根据(3)①中的解法可得∠AMC∠CAP.又.∠AC∠ACP,.△AC∽△APC :AAC,:P.AC.当C的值最小时， APCP'·APAM·AM 巴的值最小. AP 当想是⊙0的直备时，C的值最小，比时C主，即吧的最小做为宁】 AM AM 2 AP 24购图5