第七章相交线与平行线题型突破2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册（25题型）

第七章相交线与平行线题型突破2025-2026学年鲁教版 （五四制）六年级下册（25题型） 题型1：两条直线的位置关系 1.在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 2.“直线AB与射线CD相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 3在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型2：余角的定义及其性质运用 1.已知∠1与∠2互余，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．38° B．48° C．58° D．138° 2.已知∠1与∠2互为余角，∠2与∠3互为余角，若∠1＝40°，则∠3的度数是（　　） A．20° B．40° C．50° D．140° 3.已知，那么的余角度数为 ． 题型3：补角的定义及其性质运用 1.已知∠a＝35°30′12″，则它的补角为（　　） A．144°29′48″ B．54°29′48″ C．144°30′48″ D．154°29′48″ 2.在平面上，∠AOB和∠AOC有公共的顶点O，且有一条边重合，如果∠AOB＝65°，∠AOC＝25°，那么，∠BOC的补角的度数是 　． 3.如图所示，已知∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∠AOB与∠BOC互补． （1）求∠BOC的度数； （2）点M为∠AOB内一点，且∠BOC＝3∠COM，求∠BOM的度数． 题型4：对顶角的定义与计算 1．下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，直线，相交于点，平分，若，求的度数是 ． 3.如图，直线、相交于点O，平分，，， ， ． 题型5：邻补角的定义与计算 1．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 3．如图，直线，交于点O，，若，求的度数． 题型6：垂线定义与应用 1．在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（　　） ①两直线相交所成的四个直角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2.下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ． 题型7：与垂直有关的角的计算 1.如图，直线于点O，直线经过点O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.已知AO⊥BO，DO⊥CO，∠AOD＝4∠BOC，则∠AOD的度数为 　 　． 3.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O． （1）若∠BOE＝45°，求∠AOC的度数； （2）若∠AOC：∠BOE＝2：3，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，如果过点O作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与点O不重合），求∠EOF的度数． 题型8：平行的定义与识别 1.下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 2.下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 3.在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系： （1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2　 　； （2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2　 　； （3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2　　 ． 题型9：作已知直线的平行线 1.如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是（　　） A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 2．如图中完成下列各题． （1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD． （2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系． 3.如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 题型10：同位角、内错角、同旁内角的判断 1.几何直观 下列图形中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 2.下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 3.如图． （1）当直线AC、DG被直线CD所截时，∠2的内错角是 　 　； （2）∠AEF的同位角是 　 　； （3）∠1的同旁内角是 　 　． 题型11：对平行公理及其推论的理解与应用 1．下列说法错误的是（    ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．同一平面内的四条直线a，b，c，d满足，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3.在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 题型12：利用同位角判定两直线平行 1.如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　） A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144° 2.图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 3.如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD． 题型13：利用内错角判定两直线平行 1．如图，若，则（　　） A． B． C． D． 2.小丽将两块完全相同的直角三角尺如图所示，拼在一起，沿着三角尺的斜边画出线段AB和CD，则小丽判定ABCD，她的依据是______． 3.如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，证明：AB∥CD． 题型14：利用同旁内角互补判定两直线平行 1．如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，由∠A+∠B=180°，可得： ．理由是  ． 3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD． 题型15：判定平行的条件综合 1．如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，填写一个能使ABCD的条件：_________． 3.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 题型16：通过阅读推理过程填空 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 2.下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 题型17：两直线平行同位角相等的应用 1.如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，直线，，，则等于　　 A． B． C． D． 3.如图，直线，，，则等于　　 A． B． C． D． 题型18：两直线平行内错角相等的应用 1.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 2.如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．50° D．140° 3.如图，，，平分，则的度数为　　 A． B． C． D． 题型19：两直线平行同旁内角互补的应用 1.如图，直线，被直线所截，且，，则等于　　 A． B． C． D． 2.如图，若，，则等于　　 A． B． C． D． 3.如图，，，则（　　） A． B． C． D． 题型20：利用平行的性质说明两直线垂直 1.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 2.已知：如图，EF⊥BC，AB∥DG，∠1＝∠2．求证：AD⊥BC． 3.如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 题型21：平行线的性质与判定的综合运用 1.如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（　　） A．120o B．80o C．60o D．75o 2.如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法： ①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ②若∠1+∠4＝180°，则c∥d； ③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1； ④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 3.如图，AB∥CD，连接CA交延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH与∠AFC互余． （1）试判断AG与CE的位置关系，并说明理由． （2）若∠GAF＝110°，求∠AFC的度数． 题型22：利用平行线的性质解决实际问题 1.某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 2.太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（　　） A．88° B．89° C．90° D．91° 3.近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 题型23：借助三角形求角的度数 1．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．42° C．32° D．30° 3.如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　． 题型24：利用平行线的性质解决折叠问题 1.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 2.如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A．70° B．65° C．50° D．25° 3.如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（　　） A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54° 题型25：平行线的“拐点”问题 1.如图，AB∥ED，∠B＝115°，∠D＝120°，则∠BCD的度数为（　　） A．125° B．135° C．115° D．105° 2.如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180° 3.小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下． （1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由； （2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数； （3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】 第七章相交线与平行线题型突破2025-2026学年鲁教版 （五四制）六年级下册（25题型） 题型1：两条直线的位置关系 1.在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】D 2.“直线AB与射线CD相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 3在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C． 题型2：余角的定义及其性质运用 1.已知∠1与∠2互余，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．38° B．48° C．58° D．138° 【答案】B． 2.已知∠1与∠2互为余角，∠2与∠3互为余角，若∠1＝40°，则∠3的度数是（　　） A．20° B．40° C．50° D．140° 【答案】B． 3.已知，那么的余角度数为 ． 【答案】 题型3：补角的定义及其性质运用 1.已知∠a＝35°30′12″，则它的补角为（　　） A．144°29′48″ B．54°29′48″ C．144°30′48″ D．154°29′48″ 【答案】A． 2.在平面上，∠AOB和∠AOC有公共的顶点O，且有一条边重合，如果∠AOB＝65°，∠AOC＝25°，那么，∠BOC的补角的度数是 　． 【答案】140°或90°． 3.如图所示，已知∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∠AOB与∠BOC互补． （1）求∠BOC的度数； （2）点M为∠AOB内一点，且∠BOC＝3∠COM，求∠BOM的度数． 【答案】解：（1）∵∠AOD＝30°，OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOD＝60°， ∵∠AOB与∠BOC互补， ∴∠AOB+∠BOC＝180°， ∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC， ∴2∠BOC+∠AOC＝180°， 即2∠BOC+60°＝180°， 解得∠BOC＝60°； （2）∵∠BOC＝3∠COM，∠BOC＝60°， ∴∠COM＝20°， 当点M在∠BOC内部时，∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣20°＝40°； 当点M在∠BOC内外部时，∠BOM＝∠BOC+∠COM＝60°+20°＝80°． 综上，∠BOM的度数为40°或80°． 题型4：对顶角的定义与计算 1．下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，直线，相交于点，平分，若，求的度数是 ． 【答案】/30度 3.如图，直线、相交于点O，平分，，， ， ． 【答案】 37 53 题型5：邻补角的定义与计算 1．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 【答案】/72度 3．如图，直线，交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 题型6：垂线定义与应用 1．在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（　　） ①两直线相交所成的四个直角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D． 2.下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ． 【答案】 线段的长度 题型7：与垂直有关的角的计算 1.如图，直线于点O，直线经过点O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知AO⊥BO，DO⊥CO，∠AOD＝4∠BOC，则∠AOD的度数为 　 　． 【答案】144°． 3.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O． （1）若∠BOE＝45°，求∠AOC的度数； （2）若∠AOC：∠BOE＝2：3，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，如果过点O作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与点O不重合），求∠EOF的度数． 【答案】解：（1）∵EO⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∵∠BOE＝45°， ∴∠BOD＝∠AOC＝45°， （2）∵EO⊥CD， ∴∠EOD＝∠COE＝90°， ∴∠BOE+∠BOD＝90°， ∵∠AOC：∠BOE＝2：3，∠BOD＝∠AOC， ∴∠BOD：∠BOE＝2：3， ∴， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝126°； （3）如图，当点F在直线AB的下方， ∵MN⊥AB， ∴∠BOF＝90°， 由（2）可得，BOE＝54°， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝54°+90°＝144°； 当点F在直线AB的上方， ∵MN⊥AB， ∴∠BOF＝90°， 由（2）可得，BOE＝54°， ∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°， 综上所述，∠EOF的度数为144°或36°． 题型8：平行的定义与识别 1.下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 2.下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 【答案】B 3.在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系： （1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2　 　； （2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2　 　； （3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2　　 ． 【答案】（1）平行；（2）相交；（3）重合． 题型9：作已知直线的平行线 1.如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是（　　） A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 【答案】B． 2．如图中完成下列各题． （1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD． （2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系． 【答案】解：（1）如图所示： （2）EF∥AB，MC⊥CD． 3.如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行； （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下： 如图，∵b∥a，c∥a， ∴c∥b． 题型10：同位角、内错角、同旁内角的判断 1.几何直观 下列图形中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图． （1）当直线AC、DG被直线CD所截时，∠2的内错角是 　 　； （2）∠AEF的同位角是 　 　； （3）∠1的同旁内角是 　 　． 【答案】解：（1）当直线AC、DG被直线CD所截时，∠2的内错角是∠ACD． 故答案为：∠ACD． （2）∠AEF的同位角是∠ACD、∠ACB． 故答案为：∠ACD、∠ACB． （3）∠1的同旁内角是∠ACD、∠ACB、∠EFD． 故答案为：∠ACD、∠ACB、∠EFD． 题型11：对平行公理及其推论的理解与应用 1．下列说法错误的是（    ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 2．同一平面内的四条直线a，b，c，d满足，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 题型12：利用同位角判定两直线平行 1.如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　） A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144° 【答案】A． 2.图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 3.如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°， ∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义）， ∵∠2＝60°，（已知）， ∴∠2＝∠ACD（等量代换）， ∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）． 题型13：利用内错角判定两直线平行 1．如图，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.小丽将两块完全相同的直角三角尺如图所示，拼在一起，沿着三角尺的斜边画出线段AB和CD，则小丽判定ABCD，她的依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 3.如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，证明：AB∥CD． 【答案】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1＝180°，∠B＝42°， ∴∠A+∠1＝138°， 又∵∠A+10°＝∠1， ∴∠A+∠A+10°＝138°， 解得：∠A＝64°． ∴∠A＝∠ACD＝64°， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 题型14：利用同旁内角互补判定两直线平行 1．如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，由∠A+∠B=180°，可得： ．理由是  ． 【答案】【答案】同旁内角互补，两直线平行． 3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD． 【答案】证明：∵∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°（已知）， ∴∠BCD+∠CDG＝180°（等量代换）， ∴BC∥GD（同旁内角互补，两直线平行）． 题型15：判定平行的条件综合 1．如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，填写一个能使ABCD的条件：_________． 【答案】（答案不唯一） 3.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 【答案】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF， ∴∠2BEF，∠3DEF， ∵∠BEF+∠DEF＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥CE； （2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C， ∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°， ∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°， ∴AB∥CD． 题型16：通过阅读推理过程填空 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 【答案】邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行 2.下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 题型17：两直线平行同位角相等的应用 1.如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，直线，，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，直线，，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 题型18：两直线平行内错角相等的应用 1.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 【答案】B 2.如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．50° D．140° 【答案】B 3.如图，，，平分，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】． 题型19：两直线平行同旁内角互补的应用 1.如图，直线，被直线所截，且，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】． 2.如图，若，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】． 3.如图，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 题型20：利用平行的性质说明两直线垂直 1.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 【答案】证明：FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝90°． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠BCD（等量代换）， ∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB． 2.已知：如图，EF⊥BC，AB∥DG，∠1＝∠2．求证：AD⊥BC． 【答案】证明：∵AB∥DG， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴EF∥AD， ∵EF⊥BC， ∴AD⊥BC． 3.如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 【答案】证明：∵AD∥BE， ∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴∠CGF＝∠BAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD， ∴∠CGF∠BAD， ∵CF平分∠DCE， ∴∠FCG∠DCE， ∴∠FCG∠B， ∴∠CGF+∠FCG（∠BAD+∠B）180°＝90°， ∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°， ∴CF⊥AE． 题型21：平行线的性质与判定的综合运用 1.如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（　　） A．120o B．80o C．60o D．75o 【答案】C． 2.如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法： ①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ②若∠1+∠4＝180°，则c∥d； ③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1； ④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】B． 3.如图，AB∥CD，连接CA交延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH与∠AFC互余． （1）试判断AG与CE的位置关系，并说明理由． （2）若∠GAF＝110°，求∠AFC的度数． 【答案】（1）AG∥CE，理由如下： 证明：∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠DCF， ∵CF平分∠ACD， ∴∠FCD＝∠ACF， ∴∠AFC＝∠ACF， 又∵CE⊥CF，∠GAH与∠AFC互余， ∴∠ECH＝∠GAH， ∴AG∥CE； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠HCD＝∠HAF， ∵AG∥CE， ∴∠HCE＝∠HAG， ∴∠ECD＝∠GAF＝110°， 又∵CE⊥CF， ∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝20°， ∴∠AFC＝∠DCF＝20°． 题型22：利用平行线的性质解决实际问题 1.某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 【答案】D． 2.太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（　　） A．88° B．89° C．90° D．91° 【答案】B． 3.近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【答案】/度 题型23：借助三角形求角的度数 1．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．42° C．32° D．30° 【答案】C． 3.如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】10°． 题型24：利用平行线的性质解决折叠问题 1.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】C． 2.如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A．70° B．65° C．50° D．25° 【答案】C 3.如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（　　） A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54° 【答案】A． 题型25：平行线的“拐点”问题 1.如图，AB∥ED，∠B＝115°，∠D＝120°，则∠BCD的度数为（　　） A．125° B．135° C．115° D．105° 【答案】A 2.如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180° 【答案】C 3.小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下． （1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由； （2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数； （3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE （2） 50°（3）∠BED＝180°﹣β°+α° 【解答】解：（1）成立， 理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD， ∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE， ∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE． （2）如图2，过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD，∠FAD＝60°， ∴∠FAD＝∠ADC＝60°， ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°， ∴∠EDC＝∠ADC＝30°， ∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴∠ABE＝∠ABC＝20°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH， ∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°， ∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°． （3）∠BED的度数改变． 如图3，过点E作EG∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β°，∠ADC＝∠FAD＝α°， ∴∠ABE＝∠ABC＝β°，∠CDE＝∠ADC＝α°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG， ∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣β°，∠CDE＝∠DEG＝α°， ∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣β°+α°． 学科网（北京）股份有限公司 $