六年级下册期中热考+压轴题型专项训练（考题猜想，27大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版2024）

六年级下册期中 热考+压轴 题型专项训练（27大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 画直线、射线、线段、角 题型二 求线段的条数/角的个数 题型三 与线段中点有关的计算 题型四 角的单位和角度制 题型五 与方位角有关的计算问题 题型六 几何图形中的角度计算问题 题型七 与线段中点/角平分线有关的分类讨论问题【易错】 题型八 与角平分线有关的计算问题 题型九 与线段中点/角平分线有关的压轴问题【压轴】 题型十 三角板中的角度计算问题【压轴】 题型十一 与多边形对角线有关的计算问题 题型十二 根据一元一次方程的定义求参数 题型十三 等式的性质 题型十四 解一元一次方程 题型十五 根据一元一次方程的解求参数 题型十六 解含绝对值的方程【压轴】 题型十七 一元一次方程与实际问题 题型十八 与一元一次方程有关的新定义问题 题型十九 与余角、补角有关的计算 题型二十 画垂线、平分线 题型二十一 补全两直线平行的证明过程 题型二十二 判定两直线平行 题型二十三 根据平行线的性质求角度 题型二十四 根据平行线的性质解决实际问题 题型二十五 根据平行线的性质探究角的关系 题型二十六 根据平行线的性质与判定求角度 题型二十七 根据平行线的性质与判定的证明问题 题型一 画直线、射线、线段、角 1．（23-24六年级下·山东威海·期中）如图，平面上四个点A、B、C、D，根据下列语句作图． 画直线；画射线；画线段，连接，并在四边形内找到一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你的理由．（不写作法） 2．（22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，在平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题： (1)（按要求作图）作射线； 作直线与射线交于点O，分别连接、； (2)我们容易判断线段与的数量关系是 ；理由： ； (3)请用尺规求作线段，使（不写做法，保留痕迹）． 3．（23-24六年级下·山东烟台·期末）作图题： 已知：，求作：，使.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）    4．（23-24六年级下·山东淄博·期末）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知，点在射线上， (1)在上取一点，使； (2)作． 题型二 求线段的条数/角的个数 5．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 6．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角；从图（2）顶点画条射线，图中共有个角，按这样规律继续下去，若从顶点画条射线，则图中共有（    ）个角． A． B． C． D． 题型三 与线段中点有关的计算 7．（24-25六年级下·山东·阶段练习）如图，点M，N在线段上，且，点N是线段的中点．若，求线段的长度．    8．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点． (1)若，且，求的长． (2)若线段，且，求的长． 9．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 10．（22-23六年级下·山东泰安·期中）（1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求： ①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度； ②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由． （2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值． 题型四 角的单位和角度制 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）若，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 12．（22-23六年级下·山东泰安·期中）计算： ． 13．（22-23六年级下·山东东营·期中）（1）； （2）． 题型五 与方位角有关的计算问题 14．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 15．（20-21六年级下·山东泰安·阶段练习） 如图，射线OA的方向是北偏东，射线OB的方向是北偏西，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是______ ； （2）求的度数； （3）若=90°，试说明射线OE平分． 题型六 几何图形中的角度计算问题 16．（24-25六年级下·山东·阶段练习）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 17．（21-22七年级上·山东济宁·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 题型七 与线段中点/角平分线有关的分类讨论问题【易错】 19．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，点C是线段上的一点，D为的中点，且，．若P点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 20．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数是 ． 题型八 与角平分线有关的计算问题 21．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）如图所示，直线，相交于点，平分，，且，求的度数． 22．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知O为直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 题型九 与线段中点/角平分线有关的压轴问题【压轴】 23．（22-23六年级下·山东淄博·期中）（1）特例感知：如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则______度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 24．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 25．（23-24六年级下·山东淄博·期中）已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 题型十 三角板中的角度计算问题【压轴】 26．（23-24六年级下·山东泰安·期中）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤，⑥，六个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是__________；（填序号） （2）在图①中，求的度数； （3）如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上（图①），固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度（如图②），当平分时，求旋转角的度数． 27．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 28．（21-22六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化． 【A组研究】 在同一平面内，将这副三角板的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动． （1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________； （2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由． 【B组研究】 在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动． （3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________； （4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由． 题型十一 与多边形对角线有关的计算问题 29．（20-21六年级下·山东淄博·期中）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点可以作______条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作_____条对角线；经过D点可以作______条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线． (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线； (3)探索归纳： 对于n边形（），共有_________条对角线．（用含n的式子表示） (4)运用结论： 九边形共有________条对角线． 30．（22-23七年级下·山东聊城·期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 题型十二 根据一元一次方程的定义求参数 31．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 题型十三 等式的性质 32．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）下列运用等式的性质变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 33．（24-25六年级上·山东泰安·期末）根据等式的性质，若，经过变换后下列各式错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 34．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 题型十四 解一元一次方程 35．（24-25六年级下·山东威海·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 题型十五 根据一元一次方程的解求参数 37．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，▲处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字应是 ． 38．（24-25七年级上·陕西延安·期末）已知关于的方程的解是，求的值． 39．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）关于的方程与方程的解相同，求的值 题型十六 解含绝对值的方程【压轴】 40．（20-21七年级上·山东济南·期末）如果，那么的值为（    ） A． B．或1 C．或－2 D．或－4 41．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 42．（24-25六年级上·山东淄博·期中）已知点A在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出的值，______，______； (2)设点在数轴上对应的数为，若，求的值； (3)如图，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点之间，求的值； ②若，求的值． 题型十七 一元一次方程与实际问题 43．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ (2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 44．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？物品价格是多少？ 45．（24-25六年级下·山东·阶段练习）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位和十位上的两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求原来的两位数． 46．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过的部分按“调节价”收费．小明家今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是______元，“调节价”是______元； (2)若小明家5月份用水8立方米，则应缴水费多少元？ (3)若小明家6月份水费是26.4元，小明家6月份用水多少立方米？ 题型十八 与一元一次方程有关的新定义问题 47．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 48．（24-25七年级上·四川达州·期末）“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 49．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 50．（23-24六年级上·山东济南·期末）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 题型十九 与余角、补角有关的计算 51．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． （2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数． 52．（22-23七年级上·江西赣州·期末）设，的度数分别为和，且与互补，与互余． (1)求的值； (2)与能否互补，请说明理由． 题型二十 画垂线、平分线 53．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图，的一边在网格线上，另一边经过点M，点B和点M均为格点．请完成下列问题：    (1)过点M作的垂线，垂足为点N； (2)过点M作的垂线，交于点P； (3)找出图中与相等的角（不再添加字母）：___________：理由是_________． 54．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 题型二十一 补全两直线平行的证明过程 55．（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，根据条件完成填空． ①______（已知） （    ） ②______（已知） （    ） （已知） ______（    ） ④（已知） ____________ 56．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，．求证：．     证明：∵（已知）， （　　）， ∴（　　）． 又∵　　（已知）， ∴（平角的定义）． ∴（　　）． 57．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）如图，． 试说明，根据图形，完成下列推理： ∵（已知） ∴（等量代换） ∴________//_________（_______________） ∵相交， ∴（____________） ∵ ∴ ∴ （___________________） 题型二十二 判定两直线平行 58．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图，与相交于点，，且平分．判断直线是否平行？并说明理由． 59．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，，，平分，直线与直线平行吗？为什么？ 60．（21-22六年级下·山东东营·期末）如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由． 题型二十三 根据平行线的性质求角度 61．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，直线l分别交于点M、N，的平分线交于点F，，求的度数．    62．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点．    (1)若，求的度数； (2)平分吗？为什么？ 63．（23-24六年级下·山东威海·期中）已知：点在的一边上，过点的直线．作的平分线，过点画的垂线，如图所示． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 题型二十四 根据平行线的性质解决实际问题 64．（21-22六年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 65．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 66．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 题型二十五 根据平行线的性质探究角的关系 67．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知直线 ，，相交于点E． (1)如图①，此时与，有什么数量关系? (2)如图②，此时与，有什么数量关系? (3)直接写出图③、图④中，与，的数量关系．（不需说明理由） (4)如图⑤，点 E，F在上方，平分，平分． ①和有什么数量关系? ②若的倍比大，则 68．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 69．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 题型二十六 根据平行线的性质与判定求角度 70．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 71．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．      72．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 题型二十七 根据平行线的性质与判定的证明问题 73．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知分别是上的动点，也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 74．（2025七年级下·全国·专题练习）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 75．（20-21八年级上·山西·期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． $$六年级下册期中 热考+压轴 题型专项训练（27大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 画直线、射线、线段、角 题型二 求线段的条数/角的个数 题型三 与线段中点有关的计算 题型四 角的单位和角度制 题型五 与方位角有关的计算问题 题型六 几何图形中的角度计算问题 题型七 与线段中点/角平分线有关的分类讨论问题【易错】 题型八 与角平分线有关的计算问题 题型九 与线段中点/角平分线有关的压轴问题【压轴】 题型十 三角板中的角度计算问题【压轴】 题型十一 与多边形对角线有关的计算问题 题型十二 根据一元一次方程的定义求参数 题型十三 等式的性质 题型十四 解一元一次方程 题型十五 根据一元一次方程的解求参数 题型十六 解含绝对值的方程【压轴】 题型十七 一元一次方程与实际问题 题型十八 与一元一次方程有关的新定义问题 题型十九 与余角、补角有关的计算 题型二十 画垂线、平分线 题型二十一 补全两直线平行的证明过程 题型二十二 判定两直线平行 题型二十三 根据平行线的性质求角度 题型二十四 根据平行线的性质解决实际问题 题型二十五 根据平行线的性质探究角的关系 题型二十六 根据平行线的性质与判定求角度 题型二十七 根据平行线的性质与判定的证明问题 题型一 画直线、射线、线段、角 1．（23-24六年级下·山东威海·期中）如图，平面上四个点A、B、C、D，根据下列语句作图． 画直线；画射线；画线段，连接，并在四边形内找到一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你的理由．（不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图．根据直线、射线、线段的概念作图即可，根据两点之间线段最短，连接、，交点即为所求点；熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确的根据定义作图是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求， 在四边形内另取不同于点的一点，连接，，，， 则由两点之间线段最短可知，，， ∴， ∴当点为、的交点时，它到四边形四个顶点的距离的和最小． 2．（22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，在平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题： (1)（按要求作图）作射线； 作直线与射线交于点O，分别连接、； (2)我们容易判断线段与的数量关系是 ；理由： ； (3)请用尺规求作线段，使（不写做法，保留痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)；两点之间，线段最短 (3)见解析 【分析】（1）根据题意用尺子直接作图即可； （2）根据两点之间，线段最短作答即可； （3）用尺规截取各线段，再同一射线上作图即可． 【详解】（1）如图所示： （2）由（1）中作的图可知， 理由为两点之间，线段最短， 故答案为：；两点之间，线段最短； （3）如图所示：用圆规截取线段的长度并用尺子画出；截取的长度，并画出；截取的长度，在线段上作出； 则线段就是所要求做的线段． 【点睛】本题考查了尺规作图—作线段，两点之间线段最短等知识，熟练运用尺规作图是解题的关键． 3．（23-24六年级下·山东烟台·期末）作图题： 已知：，求作：，使.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图“作一个角等于已知角”．根据作一个角等于已知角的作法，先作，进而再的外部作，即可得到． 【详解】解：即为所求．     ． 4．（23-24六年级下·山东淄博·期末）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知，点在射线上， (1)在上取一点，使； (2)作． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，熟练掌握基本作图方法是解此题的关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则线段即为所作； （2）根据作一个角等于已知角的作法画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ． 题型二 求线段的条数/角的个数 5．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论． （2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：， 故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：， 故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种， 要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 6．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角；从图（2）顶点画条射线，图中共有个角，按这样规律继续下去，若从顶点画条射线，则图中共有（    ）个角． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可以总结出从角的顶点画射线，图中共有个角，即可得到答案 【详解】解：在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画条射线，图中共有个角； …… 若从角的顶点画条射线，图中共有个角； ∴从角的顶点画条射线，图中共有个角； 故选： 【点睛】本题考查了角的概念，关键是由条件总结出从角的顶点画条对角线，图中共有个角． 题型三 与线段中点有关的计算 7．（24-25六年级下·山东·阶段练习）如图，点M，N在线段上，且，点N是线段的中点．若，求线段的长度．    【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， 点N是线段的中点， ， ． 8．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点． (1)若，且，求的长． (2)若线段，且，求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点的定义，关键是掌握线段中点的定义． （1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）根据，可求得a、b的值，即得的长，因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：， ， ， ， ∵点C为线段的中点， ， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 9．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 10．（22-23六年级下·山东泰安·期中）（1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求： ①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度； ②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由． （2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值． 【答案】（1）①，②的长度不会发生变化，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算： （1）①根据线段中点的定义，可得，即可求解； ②根据线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据线段中点的定义，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：（1）①点、分别是线段、的中点， ，， ∴， ， ； ②的长度不会发生变化，理由： 点、分别是线段、的中点， ，， ∴， ， ； （2）点是线段的中点， ， ， ， ∴， ， ． 题型四 角的单位和角度制 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）若，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了度，分，秒的转化计算，将，进行比较即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 12．（22-23六年级下·山东泰安·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据，，计算求值； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题考查以度、分、秒为单位的角的度量；掌握度、分、秒是60进制是解题关键． 13．（22-23六年级下·山东东营·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型五 与方位角有关的计算问题 14．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【答案】(1)见解析 (2)南偏西或北偏东 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算， （1）根据方向角的意义画出表示客轮和海岛方向的射线，； （2）根据题意列出方程，解方程求得，进而根据方向角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图．，即为所求； （2）由题意可得． 解得． ， 或 所以渔船的方位角是南偏西或北偏东． 15．（20-21六年级下·山东泰安·阶段练习） 如图，射线OA的方向是北偏东，射线OB的方向是北偏西，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是______ ； （2）求的度数； （3）若=90°，试说明射线OE平分． 【答案】（1）北偏东70°；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向； （2）根据∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COD的度数； （3）根据=90°，即可求出，再利用可以得出，即可证出射线OE平分． 【详解】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB=40°，∠NOA=15°， ∴∠AOB=∠NOB+∠NOA=55°， ∵∠AOB=∠AOC， ∴∠AOC=55°， ∴∠NOC=∠NOA+∠AOC=70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB， ∴∠BOC=110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD=180°． ∴∠COD=180°-110°=70°． （3）∵=90°，， ， ∴， 又∵， ∴， ∴射线OE平分． 【点睛】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 题型六 几何图形中的角度计算问题 16．（24-25六年级下·山东·阶段练习）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算，根据已知条件，平分，可得，再根据，由角平分线的定义可得，由即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17．（21-22七年级上·山东济宁·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键． （1）先根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可； （2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图： ， ， 平分， ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ． 18．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案； （2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； 题型七 与线段中点/角平分线有关的分类讨论问题【易错】 19．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，点C是线段上的一点，D为的中点，且，．若P点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意求出长度，再分类讨论根据线段的和差计算即可； 本题主要考查两点间距离，分类讨论是解题关键． 【详解】解：如图所示： D为的中点，且， 如图1， 如图2， 故选：C． 20．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数是 ． 【答案】30°或50° 【分析】利用分类讨论的思想分当OB在∠AOC的外部和OB在∠AOC的内部时两种情况解答：利用角平分线的意义求得∠AOD和∠AOE的度数，根据图形用这两个角的和差即可求得结论． 【详解】①如图，当OB在∠AOC的外部时， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB， ∴∠AOC＝80°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD∠AOB＝10°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE∠AOC＝40°， ∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝50°； ②如图，当OB在∠AOC的内部时， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB， ∴∠AOC＝80°． ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD∠AOB＝10°． ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE∠AOC＝40°． ∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝30°； 综上，∠DOE的度数是30°或50°． 故答案为：30°或50°． 【点睛】 本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，正确利用角平分线的定义解答是解题的关键． 题型八 与角平分线有关的计算问题 21．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）如图所示，直线，相交于点，平分，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的计算，直接利用平角的定义得出，再利用角平分线的性质结合垂线定义得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知O为直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查角的计算，掌握角的和、差、倍角之间的关系是解题的关键． （1）先求得，再根据角平分线的定义可得，再根据求解即可； （2）设，则，再根据角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论； 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ． 题型九 与线段中点/角平分线有关的压轴问题【压轴】 23．（22-23六年级下·山东淄博·期中）（1）特例感知：如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则______度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可；②设，则，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，，①由，可得，即可求解； ②设，则， 结合，即可求解． 【详解】解：（1）① ，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变，的长度始终等于， 设， ， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ① ，， ，即， ， ； 故答案为：； ②，和之间的数量关系是：，理由如下： 设， 则， ， ， ． 24．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）①利用角平分线的定义解答即可； ②利用角平分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形,利用角平分线的定义解答即可； 【详解】（1）解：①由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； ②由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； （2）解：由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， ． 25．（23-24六年级下·山东淄博·期中）已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1) ； ；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 题型十 三角板中的角度计算问题【压轴】 26．（23-24六年级下·山东泰安·期中）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤，⑥，六个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是__________；（填序号） （2）在图①中，求的度数； （3）如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上（图①），固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度（如图②），当平分时，求旋转角的度数． 【答案】（1）⑤；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角的和差及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）根据三角板中角的度数解答即可； （3）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，进一步得到结论． 【详解】解：（1），，，，， 不是的倍数，不能写成，，，的和或差，故画不出； 故答案为：⑤； （2），， ； （3）， ； 平分， ， ， 旋转角． 27．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了角的计算和角平分线的定义等内容，熟练掌握角的和差计算方式是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，再用即可得解； （2）已知，要求，可以先求，利用已知条件很容易求出，再用即可得解． 【详解】（1）是的角平分线，， ， ． （2）不变，理由如下， ，， ， ，， ，， ， ． 28．（21-22六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化． 【A组研究】 在同一平面内，将这副三角板的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动． （1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________； （2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由． 【B组研究】 在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动． （3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________； （4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由． 【答案】（1）；（2）不变，；（3）；（4）不变， 【分析】（1）根据即可求得答案； （2）根据条件得，又因为，得出答案； （3）根据 ，得出答案； （4）根据=，得出答案； 【详解】解: (1) ，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ， 故答案为：； (2)不变； ∵， ∴， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴， ∴， ， =， =， =； (3) ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：60°； (4)不变， 由题意得，， ， =， =， =． 【点睛】本题考查角的计算，解题关键根据角平分线的性质结合图形得出结论． 题型十一 与多边形对角线有关的计算问题 29．（20-21六年级下·山东淄博·期中）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点可以作______条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作_____条对角线；经过D点可以作______条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线． (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线； (3)探索归纳： 对于n边形（），共有_________条对角线．（用含n的式子表示） (4)运用结论： 九边形共有________条对角线． 【答案】(1)1，1，1，1，2 (2)5，9 (3) (4)27 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）根据对角线的定义，可得答案；（3）根据探索，可发现规律；（4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】（1）解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）解∶ 运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）解∶由（1），（2）可知，对于n边形（n＞3），共有条对角线； 故答案为：； （4）解：当n=9时，， ∴十边形有27对角线． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． 30．（22-23七年级下·山东聊城·期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可； ①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果； ②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 题型十二 根据一元一次方程的定义求参数 31．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 题型十三 等式的性质 32．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）下列运用等式的性质变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，正确把握等式的性质是解题的关键．直接利用等式的基本性质进而判断即可． 【详解】解：A. 若，则，故该选项正确，不符合题意；     B. 若，则，故该选项不正确，符合题意； C. 若，则，故该选项正确，不符合题意；     D. 若，则，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 33．（24-25六年级上·山东泰安·期末）根据等式的性质，若，经过变换后下列各式错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：根据等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．可推出：若，则，故A不符合题意； 根据等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．可推出：若，则，故B不符合题意； 若，则，即；根据等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．可得C不符合题意； 若，当时，不能得到，故D符合题意； 故选：D 34．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 【答案】(1)，等式的性质2；变形过程见解析 (2)，等式的性质2；变形过程见解析 (3)6，等式的性质2；变形过程见解析 (4)，等式的性质1；变形过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练利用等式的性质解一元一次方程是解题的关键． （1）根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，得出所求； （2）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （3）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （4）根据等式的性质1，等号两边都减去，再除以，等号仍成立，得出所求． 【详解】（1）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （2）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （3）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：6，等式的性质2； （4）解：如果，根据等式的性质1，等号两边都减去，等号仍成立，那么，， 等号两边都除以，那么； 故答案为：，等式的性质1． 题型十四 解一元一次方程 35．（24-25六年级下·山东威海·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程去括号后，去分母，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （3）解：， 方程整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （4）解：， 方程整理得：， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 36．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （5）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （6）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （7）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （8）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （2）解：， 整理得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （3）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （4）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （5）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （6）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （7）解：， 整理得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． （8）解：， 整理得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 题型十五 根据一元一次方程的解求参数 37．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，▲处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字应是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， ∴． 故答案为：1． 38．（24-25七年级上·陕西延安·期末）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查解一元一次方程，根据题意把代入方程解关于的方程即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 整理得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴的值为6． 39．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）关于的方程与方程的解相同，求的值 【答案】32 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法是解题的关键．先求出方程的解，然后代入方程，求得的值，即可计算出的值． 【详解】解：解方程， 得 把代入方程中， 得， 解得， 所以． 题型十六 解含绝对值的方程【压轴】 40．（20-21七年级上·山东济南·期末）如果，那么的值为（    ） A． B．或1 C．或－2 D．或－4 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：由绝对值的性质化简， 可得或， 解得：或， 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、解一元一次方程；关键在于能利用绝对值的性质来进行化简． 41．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 42．（24-25六年级上·山东淄博·期中）已知点A在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出的值，______，______； (2)设点在数轴上对应的数为，若，求的值； (3)如图，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点之间，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)，2 (2)8或 (3)①5；②或 【分析】本题考查了数轴和绝对值、一元一次方程的解法，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． （1）利用数轴知识解答； （2）根据绝对值方程可进行求解； （3）利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，2； （2）解：， 或， 的值为8或； （3）解：①点在点、之间， 的值为； ②， 点在点的右边或点在点的左边， 当点在右边时， ， ， 当点在左边时， ， ， 的值为或． 题型十七 一元一次方程与实际问题 43．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ (2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)这批学生的人数是240人，原计划租用45座客车5辆 (2)租用4辆60座客车才合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设原计划租用45座客车辆，根据学生的人数相同作为等量关系列出方程，解出的值即可解答； （2）分别求出租用45座客车和60座客车的租金，比较两者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用45座客车辆， 由题意得，， 解得：， 这批学生的人数为（人）， 答：这批学生的人数是240人，原计划租用45座客车5辆． （2）解：若租用45座客车，需要租用辆，租金为（元）， 若租用60座客车，需要租用辆，租金为（元）， ， 租用4辆60座客车才合算． 答：租用4辆60座客车才合算． 44．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？物品价格是多少？ 【答案】共有7人，物品的价格为53元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．熟练掌握物价，每人出钱数，人数的盈亏关系列方程，是解题关键． 设共有x人，根据两种情况下物品的价格不变即可列出方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：设共有x人， 根据题意，得， 解，得， 则物品的价格为（元）． 答：共有7人，这个物品的价格为53元． 45．（24-25六年级下·山东·阶段练习）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位和十位上的两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求原来的两位数． 【答案】84 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设个位数字为，则十位数字为，则原两位数可表示为，数字对调后所得两位数是，再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：，解方程得到个位数，进而可得十位数字． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：， 则， 答：原两位数是84． 46．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过的部分按“调节价”收费．小明家今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是______元，“调节价”是______元； (2)若小明家5月份用水8立方米，则应缴水费多少元？ (3)若小明家6月份水费是26.4元，小明家6月份用水多少立方米？ 【答案】(1)，4 (2)22.4元 (3)该户6月份用水9立方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． （1）依据题意，设该市每立方米水费的“基本价”是x元，从而可得，解方程即可得解；依据题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元，从而，进而计算可以得解； （2）结合题意，列式计算，即可作答． （3）依据题意，设该户6月份用水m立方米，又，求出，故，计算即可得解； 【详解】（1）解：设该市每立方米水费的“基本价”是x元， ∴． ∴． 由题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元， ∴． ∴． 答：该市每立方米水费的“基本价”是元．每立方米水费的“调节价”是4元． （2）解：依题意，（元）， ∴小明家5月份用水8立方米，则应缴水费元； （3）解：由题意，设该户6月份用水m立方米， ∵， ∴． ∴． ∴． 答：该户6月份用水9立方米． 题型十八 与一元一次方程有关的新定义问题 47．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解，根据“美好方程”的定义即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可． 【详解】（1）解：的解为：， 的解为：， ， ∴方程与方程不是“美好方程”． （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得． 48．（24-25七年级上·四川达州·期末）“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及解一元一次方程； （1）按规定的运算程序运算求值即可； （2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ 整理得， 解得： 49．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“毓德方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得 ∴， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”，， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， ∴． 50．（23-24六年级上·山东济南·期末）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据“”列式计算即可； （2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出的值即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， ， ， 解得． 题型十九 与余角、补角有关的计算 51．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． （2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数． 【答案】（1）这个角的度数是；（2）这个角的度数为40° 【分析】本题考查了余角和补角，列方程是解题的关键． （1）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数． （2）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数． 【详解】（1）解：设这个角为x°，则这个的补角的度数为，它的余角的度数为， 根据题意，得， 解得， 故这个角的度数是． （2）解：设这个角的度数为x°，则这个的补角的度数为，它的余角的度数为， 根据题意，得：， 解得． 故这个角的度数为． 52．（22-23七年级上·江西赣州·期末）设，的度数分别为和，且与互补，与互余． (1)求的值； (2)与能否互补，请说明理由． 【答案】(1)50 (2)互补，理由见解析 【分析】（1）根据补角和余角的定义，列解方程解得即可； （2）根据补角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由与互补，与互余得 ，， 所以，， 所以， 因为、的度数分别为和， 所以， 解得； （2）与互补，理由如下： ，， ， 与互为补角． 【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义和性质是解题的关键． 题型二十 画垂线、平分线 53．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图，的一边在网格线上，另一边经过点M，点B和点M均为格点．请完成下列问题：    (1)过点M作的垂线，垂足为点N； (2)过点M作的垂线，交于点P； (3)找出图中与相等的角（不再添加字母）：___________：理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，同角的余角相等 【分析】（1）根据网格的特点和垂线的概念作图即可； （2）根据网格的特点和垂线的概念作图即可； （3）根据同角的余角相等求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求；    （3）图中与相等的角：．理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴图中与相等的角：．理由是同角的余角相等． 【点睛】本题考查了作图，垂线的定义，同角的余角相等，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 54．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查画射线、直线、平行线、垂线、线段，两点之间线段最短． （1）以点C为端点作射线，过点B、C作直线即可； （2）过点A作直线l的垂线，垂足为D，连接点A与垂足D即可； （3）根据“一放、二靠、三推、四画”的步骤作直线m即可； （4）根据两点之间线段最短，连接交直线l于E即可． 【详解】（1）解 ∶如图所示，射线，直线即为所求； （2）解 ∶ 如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，直线m即为所求； （4）解：如图，点E即为所求．理由是，两点之间线段最短． 题型二十一 补全两直线平行的证明过程 55．（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，根据条件完成填空． ①______（已知） （    ） ②______（已知） （    ） （已知） ______（    ） ④（已知） ____________ 【答案】①，内错角相等，两直线平行；②，同位角相等，两直线平行；③，同旁内角互补，两直线平行；④， 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可求解． 【详解】解：①（已知） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：，内错角相等，两直线平行； ②（已知） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：，同位角相等，两直线平行； （已知） （同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行； ④（已知） ． 故答案为：， 56．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，．求证：．      证明：∵（已知）， （　　）， ∴（　　）． 又∵　　（已知）， ∴（平角的定义）． ∴（　　）． 【答案】对顶角相等； 等量代换， ，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的性质等知识，先利用对顶角的性质求出，结合，可得，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）． 又∵（已知）， ∴（平角的定义）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等； 等量代换， ，同旁内角互补，两直线平行． 57．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）如图，． 试说明，根据图形，完成下列推理： ∵（已知） ∴（等量代换） ∴________//_________（_______________） ∵相交， ∴（____________） ∵ ∴ ∴ （___________________） 【答案】，，同位角相等，两直线平行，对顶角相等；，，同旁内角互补，两直线平行 【分析】先证明，由同位角相等，两直线平行可证，再证明，由同旁内角互补，两直线平行可证． 【详解】∵（已知） ∴（等量代换） ∴ (同位角相等，两直线平行） ∵AB，DE相交， ∴（对顶角相等） ∵ ∴           ∴ (同旁内角互补，两直线平行) 故答案为：，，同位角相等，两直线平行；对顶角相等；，，同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 题型二十二 判定两直线平行 58．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图，与相交于点，，且平分．判断直线是否平行？并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，对顶角相等，根据角平分线的定义结合对顶角得，即得，根据平行线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 59．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，，，平分，直线与直线平行吗？为什么？ 【答案】不平行，理由见详解 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先根据角平分线的定义得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：直线与直线不平行， 理由: ，平分， ， ， ， 直线与直线不平行． 60．（21-22六年级下·山东东营·期末）如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由． 【答案】EF∥BD，见解析 【分析】根据EF平分∠AED可求得∠2=20°，即∠2=∠1，再根据内错角相等两直线平行即可求证． 【详解】解：EF∥BD．理由如下： ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF＝∠2． ∵∠AED＝40°， ∴∠2＝20°． 又∵∠1＝20°， ∴∠1＝∠2． ∴EF∥BD． 【点睛】本题考查了平行的判定，掌握内错角相等两直线平行是解答本题的关键． 题型二十三 根据平行线的性质求角度 61．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，直线l分别交于点M、N，的平分线交于点F，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，，结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解： ， ， ， 平分， ， ， ． 62．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点．    (1)若，求的度数； (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质、垂线， 解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得的度数； （2）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得和的关系，从而可以证明结论成立． 【详解】（1）解：∵直线,平分,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴； （2）解:平分，理由如下， ∵平分, ,, ∴, ∴, ∴, ∴平分． 63．（23-24六年级下·山东威海·期中）已知：点在的一边上，过点的直线．作的平分线，过点画的垂线，如图所示． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质、垂线等知识，解答本题的关键是熟记平行线的性质定理． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得的度数； （2）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得和的关系，从而可以证明结论成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 题型二十四 根据平行线的性质解决实际问题 64．（21-22六年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； (2)96，90 (3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得； （2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得； （3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等 ）， ∵，（已知）， ∴（②等量代换 ）， ∴，即：， ∴（③内错角相等，两直线平行 ） 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； （2）解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：96，90． （3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下： 解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质． 65．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 66．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 题型二十五 根据平行线的性质探究角的关系 67．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知直线 ，，相交于点E． (1)如图①，此时与，有什么数量关系? (2)如图②，此时与，有什么数量关系? (3)直接写出图③、图④中，与，的数量关系．（不需说明理由） (4)如图⑤，点 E，F在上方，平分，平分． ①和有什么数量关系? ②若的倍比大，则 【答案】(1) (2) (3)图③：，图④： (4)①② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，与角平分线有关的计算，角的和差运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点E作，运用两直线平行，内错角相等，再结合角的和差运算进行列式，即可作答． （2）先过点E作，运用两直线平行，同旁内角互补，再结合角的和差运算进行列式，即可作答． （3）与（1）、（2）同理，根据平行线的性质，即两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，分别列式计算，即可作答． （4）①先过点E作，过点作，与（1）、（2）同理，根据平行线的性质，即两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，得出，，再结合角平分线的定义，整理得，即可作答． ②先依题意，得出，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ （2）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ （3）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ （4）解：①过点E作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴． ②由①得， ∵的倍比大， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 68．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 69．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 题型二十六 根据平行线的性质与判定求角度 70．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）由平行线的性质即可求解； （）过点作，可得，再平行线的性质即可求解； （）过点作，可得，再根据平行线的性质及（）的结果即可求解； （）根据（）、（）、（）的结果找出规律即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，图形类规律变化问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（）可得， ∴， 即 （4）解：由图①得， 由图②得， 由图③得， ， ∴， 故答案为：． 71．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 72．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 题型二十七 根据平行线的性质与判定的证明问题 73．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知分别是上的动点，也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 74．（2025七年级下·全国·专题练习）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 75．（20-21八年级上·山西·期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过P作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当P在延长线时，过P作交于E，结合图形可得；同理：可求当P在之间时． 【详解】（1）解：如图：过P作， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解∶①理由如下： 如图：过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当P在延长线时， 此时； 如图：当P在之间时， 此时． $$