2026年中考数学一轮专题复习之相似三角形的实际运用

**基本信息** 以实际应用为载体，系统构建“模型识别-相似证明-比例计算”的解题体系，强化用数学眼光观察现实世界、用数学思维解决实际问题的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-6题|通过平行/两角相等证相似，利用相似比建立方程|从相似三角形判定（AA）到性质（对应边成比例），解决影长、杠杆等简单应用| |综合应用|7-25题|结合投影/反射/仰角构建相似模型，多步转化比例关系|整合三角函数、坡度等知识，深化相似在复杂场景（测高、盲区）中的综合应用|

相似三角形的实际运用 一、单选题 1．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 2．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 二、填空题 3．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 4．如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 5．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 6．如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是_______米． 三、解答题 7．山河壮丽如画卷，万里锦绣映华夏．越来越多的人们通过旅游感受祖国的大好河山，放松心情，浩浩一家在咸阳某景区游玩时，发现景区的游客中心（）上面有一面旗帜，浩浩想知道这面旗帜的高度，于是设计了以下测量方案：他先在游客中心前分别放置了高为的测角仪（）和一根高的竹竿（）．在某一时刻的阳光下，旗帜的影子顶端与竹竿的影子顶端在点处重合．然后他用皮尺测得，，，用测角仪测得游客中心顶端的仰角为．已知，求游客中心上的旗帜（）的高度．（参考数据：） 8．如图，西安曲江池遗址公园内有标志性建筑阅江楼垂直于水平地面．阳光下，楼的影子落在水平地面和山坡上，测得水平地面上的影长，坡面上的影长．已知山坡坡度，同一时刻，身高的小明在水平地面上的影长为，求阅江楼的高度． （结果精确到，参考数据：） 9．磻溪宫银杏又名“丘处机手植树”，相传是丘处机亲手所植．某数学兴趣小组准备用学过的数学知识测量这棵银杏树的高度．具体方法如下：如图，在D处利用高为的测角仪（即）测得这棵银杏树顶端点A的仰角的度数为，在距离D点的F处（即）竖立一根高为的标杆（即），得到地面上的点P、标杆顶端点E和银杏树顶端点A在同一直线上，测得．已知，，，点B、D、F、P在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，求这棵银杏树的高度．（参考数据：，，） 10．实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）． 11．某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处． (1)求证：． (2)已知，求物体的高度（即线段的长）． 12．如图，一棵大树由于风力所致，在处断裂，断裂后大树的顶端落在地面上的处，大树段在地面上的影长为2.8米，此时站在地面上的彤彤身高为1.7米，同一时刻落在地面上的影长为0.85米，彤彤用测倾仪测得，已知，，，，，，在同一直线上，请根据以上数据估算大树的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 13．如图，马路两侧有高度相同灯杆，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为，在灯A的照射下小明的影长为．测得两路灯间距离米，小明身高米，米，米，求灯杆的高度． 14．“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形和矩形，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边上，，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，．已知，，，、、均与地面垂直，点B、D、、、在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度． 15．《金戈》是以紫铜锻造而成，突出表现了秦国在统一历程中推行“耕战”国策的雄略主题，周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量这座雕塑最高点到地面的距离．如图，小华在点D处竖立一根标杆，小亮站在斜坡的点F处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在E处时，他的视线从E点通过标杆顶端C点正好落在雕塑顶端A点处．已知、、均与地面垂直，测得米，米，点F到地面的距离米，米，米，，点B、D、G、M、H在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，求雕塑最高点到地面的距离． 16．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 17．【问题背景】万佛楼，为重檐歇山式三层砖木结构建筑（如图1）．阳光明媚的一天，林林所在的数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量万佛楼的高度． 【测量过程】如图2，为了测量方便，在该楼一侧地面上的点处斜放了一个背景板，它与地面的夹角为，身高1.5米的林林（）在阳光下的影长为，同一时刻此楼的最高点在阳光下的影子落在背景板上的点处． 【测量数据】米，米，米． 【参考数据】． 已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出万佛楼的高度． 18．综合与实践 【主题】汽车盲区与行车安全实践探究 【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二：如图2，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度，双眼与车头连线上某点与地面距离，该点与车头水平距离，驾驶员与车头水平距离，点在上，． 素材三：如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为的摩托车．如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为，小汽车车尾盲区为正后方长为的矩形区域． 【问题解决】 (1)①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； (2)如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 19．承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行3米到达B处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，平平在F处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点M、标杆顶点E和钟楼顶端P在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点Q、F、M、C、B在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 20．综合实践：照明节能改造方案调研与设计 一、项目背景 为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议，数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研．目前，校园内部分路灯因设计年代较早，存在光照不均匀、能耗较高等问题，小组成员需要先测量现有路灯的各项参数，再结合相似三角形、比例关系等数学知识，分析改造方案． 二、实践任务 任务一 基础测量——两种方法测灯高 情境：校园主干道上的路灯由主杆和悬臂构成，悬臂与地面平行．为了获取准确数据，小组分别设计了两种测量方案． 方案1（影子比例法） 如图1，在路灯旁竖直立一根的标杆，测得标杆影长，标杆底部到路灯底部的水平距离． 问题1：请计算路灯的高度． 方案2（共线投影法） 如图2，将一根长为的标杆竖直立于地面，调整位置使得：主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线；路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线．已知，路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离，且B、D、N、E、P在同一水平线上． 问题2：求主杆的高度． 任务二：节能分析——改造前后对比 原路灯使用千瓦高压钠灯，改造后拟使用千瓦的灯，灯的照明效率更高． 问题3：若校园内共有此类路灯20盏，每晚点亮3小时，电费元/千瓦时，估算改造后每学期（按100天计算）节约的电费． 21．某数学兴趣小组开展综合实践活动．如图，他们发现一间房屋前有一堵围墙，同学们想测量围墙的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点E时，测得米；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点F时，测得米．此外，还测得窗高米，窗户距地面的高度米，垂直于，垂直于．请根据以上信息求出围墙的高． 22．榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 23．如图，为了测量校园里一根旗杆的高度，小颖通过调查得知旗杆旁教学楼高，在楼顶端处测得旗杆顶端的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，旗杆顶端的影子落在地面上的点处，楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，已知旗杆、教学楼均垂直于地面，且点在同一条直线上，求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据： 24．在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 25．由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 试卷第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 2．C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 3．36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 4．5 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 5． 【分析】 根据题意可证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是求解即可． 【详解】解：∵与交于点，， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵蜡烛火焰的高度是， ∴，解得，即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 6． 12 【分析】根据光的反射定律可得入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合垂直定义可证得人与镜子构成的三角形和旗杆与镜子构成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， , 根据光的反射定律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ，，， ． 7． 【分析】过点M作，根据题意得出，，再由正切函数的定义得出，利用相似三角形的判定和性质确定，结合图形即可求解． 【详解】解：过点M作，如图所示： 根据题意得：四边形为矩形， ∴，， ∵用测角仪测得游客中心顶端的仰角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴ ． 8．阅江楼的高度约为． 【分析】作交延长线于点，作于点，利用坡度结合勾股定理求得，，再利用相似三角形的应用求解即可． 【详解】解：作交延长线于点，作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵山坡坡度，， ∴设，则， 由勾股定理得， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵身高的小明在水平地面上的影长为， ∴，即， 解得， ∴， 答：阅江楼的高度约为． 9．． 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，设，在中，，进而求出的长，证明，得到，代入数值解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知，，，，， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即这棵银杏树的高度为． 10．校徽的高度为 【分析】过点F作于点D，求出，推导出，得到，则，代入求解即可． 【详解】解：过点F作于点D，如图 ， 由题知：， ， 又， ， ， ． 答：校徽的高度为． 11．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解； （2）根据相似三角形的性质得到，结合图形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴． 12．大树的高度约为米 【分析】由题意可得，求得，再解直角三角形求得即可解答． 【详解】解：根据题意可得，， ， 米， 在中，米， 米， 答：大树的高度约为米． 13．米 【分析】设灯杆高度米，米，则米，证明，得出，①，证明，得出②，联立①②，求出，再求出即可解答． 【详解】 解：设灯杆高度米，米，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴①， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴②， 联立①②，得，解得， 将代入①得：，解得：， 因此灯杆高度为米． 14．挂甲柏的高度为17m 【分析】先延长交于点，延长交于点，再根据矩形的性质和平行线的性质，得出，最后利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 由题可得：，，四边形是矩形， 则，，，， ，， ， ， ，即， ， ， ∴挂甲柏的高度为17m． 15．雕塑最高点到地面的距离为米． 【分析】过点E作于点N，交于点O，则四边形是矩形，证明，求解即可； 【详解】解：如图，过点E作于点N，交于点O， 则四边形是矩形， 故米， 与地面垂直，， 点F在上． ， ， 米， 米，米， 由四边形是矩形， 得米，米，米， ， ， ， ， 解得米， 米， 雕塑最高点到地面的距离为米． 16．． 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为， ∴， 解得：， ∴． 17．万佛楼的高度为18米． 【分析】过点作于点，过点作于点，根据求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，，， ，     ，即， ， ，     ， 由题意得，， ，即，     ， ． 故万佛楼的高度为18米． 18．(1)①；②不能观察到物体，见解析 (2)39 【分析】（1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； ②过点作交于点，可证得到，得，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，，，，， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， 解得，经检验，是原方程的解， ∴， ∴； ②不能观察到物体，理由如下： 如图，过点M作交于点N， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不能观察到物体； （2）解：摩托车的速度为， ∴摩托车在的反应时间里的行驶路程为， 由题意可得， ∴摩托车应与小汽车至少保持的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 19．27米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，掌握该知识点是解题的关键．先证明，得到，不妨设，接着证明，推出，然后代入求值即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 不妨设， ∵米， ∴米， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴米． 答：咸阳钟楼的高度为27米． 20．问题1：路灯的高度为；问题2：主杆的高度为；问题3：改造后，每学期可节约324元的电费． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，得到，进而根据已知条件计算即可； （2）证明，，得到，，进而根据已知条件计算即可； （3）求出用电量的变化，再乘以电费、点亮时间、路灯数、天数即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， ∴． 又，，， ∴， ∴． 答：路灯的高度为； （2）解：由题意知：，，， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴． 又， ∴，即． 答：主杆的高度为； （3）解：（元） 答：改造后，每学期可节约324元的电费． 21．围墙的高为米 【分析】根据垂直定义可得，然后证明∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ∽，∽， ，， ，， 解得：，， 解得：， 解得：， 米， 围墙的高为米． 22．米 【分析】过点作于，先利用平面镜反射性质证三角形相似，得到与的等量关系，结合仰角的正切函数关系建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵平面镜反射，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 设米，则米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴米，米． 在中，， ∵，， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， 答：该大厦的高度为米． 23． 【分析】过点A作于点H，则四边形为矩形，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，利用正切函数求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，则四边形为矩形， ∴， 设，则， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在C处测得A的俯角为， ∴， 解得：． 答：旗杆的高度约为． 24．米 【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可． 【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且， ∴ （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得， （米）． 25．任务1：小明的说法正确，理由见解析；任务2：建筑物的高是；任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 任务1：证明出得到，即可求解； 任务2：证明，则＝，由任务1得，＝，故＝，再代入数据求解即可； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差． 【详解】解：任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∵可以直接测量出的长度， ∴建筑物的高度可以通过计算得出； 任务2：∵∠， ∴， ∴＝， 由任务1得，＝， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴， ∵，即， ∴． 答：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． $