精品解析：浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题

2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果空间两条直线与没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 的值域为 D. 是图象的一条对称轴 11. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 若为的中点，则平面 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台的外接球表面积为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______________． 13. 在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 14. 已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中的内角，，所对的边为，，，. （1）求角； （2）若，，求的周长. 16. 已知函数，，满足 （1）求的值； （2）若，且，求. 17. 如图，在菱形中，已知，，点，分别是，的中点，点为的四等分点（），设，. （1）用向量，表示，； （2）判断，是否垂直？用向量的方法证明你的结论； （3）点为线段上的一个点，求的取值范围. 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 19. 已知函数，. （1）求证：； （2）设函数，其中. （ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （ⅱ）若函数在上有两个零点，，且，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合交集的定义可得. 2. 如果空间两条直线与没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】因为两条直线异面或平行时，都没有公共点， 所以D选项正确. 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知函数的， 函数的最小正周期为． 4. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，由，则， 故“”是“”的充分条件； 若，平面，可能相交也可能平行， 故“”不是“”的必要条件； 综上可得：“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得： 故. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出和时，的解集，综合即可得答案. 【详解】当时，，得，则，不符合题意； 当时，，则， 解得或，则或， 综上，不等式的解集为. 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知余弦距离为，，的余弦距离为， ，解得， 已知，，则， ， ． 8. 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质可得函数的周期为4，再根据周期性和对称性及单调性即可判断大小. 【详解】因为是R上的偶函数，故； 由，令得，故的周期； 当时，，是增函数，故在上单调递增. 又因为，即. ，即,  由，得， 所以 ， 且，即. 即,且在上单调递增，所以,即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】选项：的虚部为，不是，选项A错误； 选项：的共轭复数，选项B正确； 选项：，选项C正确； 选项：，选项D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 的值域为 D. 是图象的一条对称轴 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：，，显然，故A错误； 对于B：令，所以， 所以的单调递增区间为，故B正确； 对于C：因为，则，， 所以的值域为，故C正确； 对于D：令，所以，当时，， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 11. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 若为的中点，则平面 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用台体体积公式可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；根据棱台的侧面积公式可判断C选项；设出球心的坐标，根据球心到点的距离相等，可求出球心的坐标，进而可求出球的半径，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对； 对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面，B对； 对于C选项，侧面的斜高为， 所以此四棱台的侧面积为，所以C错； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， 因为正方形的边长为，正方形的边长为， 所以,, 设点，则， 由可得，解得， 故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D对. 故选:ABD． 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：依题意有，解得． 考点：定义域． 13. 在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助正弦定理计算可得，再由圆的面积公式即可得. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，故， 则外接圆的面积. 14. 已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量，相互垂直得，，推出且，根据函数解析式得且，取，，设，可得，然后将表示为的三角函数，然后求范围. 【详解】单位向量，相互垂直，所以， 函数，， 由，得， 则且， 所以且， 单位向量，相互垂直，取，， 设， 由得，，， 由得，，， 所以， ， ， ，所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中的内角，，所对的边为，，，. （1）求角； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角转换后求解即可； （2）利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得： ，， ， 【小问2详解】 由余弦定理， 得：，又， ， 故的周长为 16. 已知函数，，满足 （1）求的值； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据条件，代入求解，可得的表达式，根据的范围，即可得答案. （2）根据（1），结合两角差的正弦公式、辅助角公式，可得解析式，根据条件及的范围，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 ， 或， 或， ，. 【小问2详解】 由题意得 ， 由，得， ，， ，或，，或， 故，或 17. 如图，在菱形中，已知，，点，分别是，的中点，点为的四等分点（），设，. （1）用向量，表示，； （2）判断，是否垂直？用向量的方法证明你的结论； （3）点为线段上的一个点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）与不垂直，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量三角形法则与向量线性运算，将目标向量、用基底a、b线性表示； （2）先通过线性运算表示出，再计算与的数量积，结合已知条件判断其是否为，从而判断两向量是否垂直； （3）设参数表示点的位置，将用基底线性表示，计算其与的数量积，再根据的范围求该数量积的取值范围. 【小问1详解】 根据向量三角形法则： ， . 【小问2详解】 ， ， 已知，，，， 所以， 与不垂直，故与不垂直. 【小问3详解】 设，，， ， ，的最大值为6，最小值为2， . 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； 【小问2详解】 取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 19. 已知函数，. （1）求证：； （2）设函数，其中. （ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （ⅱ）若函数在上有两个零点，，且，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）最小值；最大值为；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件先求，，结合证明结论； （2）（ⅰ）令，可得，结合指数函数单调性求的范围，再求二次函数在指定区间的最值； （ⅱ）方法一：根据二次方程区间根问题的处理方法，先求满足题意的的取值范围，再根据求出的值；方法二：条件可转化为与，有两个交点，结合对勾函数性质先求满足题意的的取值范围，再根据求出的值. 【小问1详解】 由平方差公式可得， ，， 因此代入得， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 令，则， 因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数， 当时，，当时，， 所以若，则， 二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时，，， 所以当时，取最小值，最小值为， 当时，取最大值，最大值为， 所以函数在区间上的最大值为，最小值； （ⅱ） 方法一：函数在上有两个零点，可转化为方程在有两个不等根， 设， 所以，即， 解出， 设为方程在的两根， 则，因为，， ， 又，得到①， ， 两边同乘得，，， 代入整理得， 整理得②， 结合①②得，求出，满足题意. 方法二：函数在上有两个零点，， 可转化为关于的方程在有两个不等根， 故关于的方程在区间上有两个不相等的实数根， 所以与，有两个交点， 函数，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 设为方程在的两根， 则，因为，， ， 又，得到①， ， 两边同乘得，，， 代入整理得， 整理得②， 结合①②得，求出，满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $