专题06三角形的中位线.重心与特殊平行四边形复习讲义(知识梳理+10大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题06三角形的中位线.重心与特殊平行四边形 知识目标 能力目标 应试目标 1.清晰区分三角形中位线与三角形中线的概念差异，牢记定义本质，杜绝概念混淆。 2.熟练掌握三角形中位线定理，吃透位置关系 + 数量关系两大核心规律，夯实理论基础。 3.理解三角形重心的定义、独有性质，明确重心线段比例关系，完善几何知识点体系 1.能灵活运用中位线定理，进行线段求值、平行证明、周长与面积相关计算。 2.学会借助中位线构造辅助线，转化线段与角度，提升几何转化解题思维。 3.熟练利用重心分线段比例特点，解决几何计算、线段分割类综合题型。 1.精准规避中位线、中线、重心的高频易错点，减少基础题型无谓失分。 2.规范几何推理书写，熟练定理套用格式，贴合考试评分标准。 3.掌握本节常考题型与命题方向，适配单元测、期中期末考题，提升综合解题与答题效率。 题型01.三角形中位线的求解问题 题型02.三角形中位线的证明问题 题型03.三角形中位线的实际应用 题型04.重心的概念 题型05.重心的性质应用 题型06.中点四边形 题型07.特殊平行四边形阴影面积计算 题型08.特殊平行四边形动点问题 题型09.四边形中线段最值问题 题型10.四边形其他综合问题 解答题6题 知识点01:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 · 一个三角形有三条中位线。 · 中位线的两个端点都是边的中点。 2. 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4. 三条中位线的性质 三条中位线组成的新三角形，周长为原三角形的一半。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 . 知识点02:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点03:中点四边形 1、定义. 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.三角形中位线的求解问题 【典例】如图，点D，E，F分别是各边上的中点，若，则四边形的周长为（　 ） A．7 B．14 C．21 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为_____ 【跟踪专练2】谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型02.三角形中位线的证明问题 【典例】如图，四边形中，，点是对角线的中点，点，分别是，的中点，，则的度数是__________．    【跟踪专练1】如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 【跟踪专练2】如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 【跟踪专练3】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型03.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出的长，由此他就知道了间的距离．小明在解决上述问题中，主要用到的数学知识是 （    ） A．勾股定理 B．勾股定理逆定理 C．三角形中位线定理 D．线段垂直平分线的性质定理 【跟踪专练1】如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则______，的最小值是 ______． 【跟踪专练3】如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①； ②； ③是等腰直角三角形； ④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 题型04.重心的概念 【典例】如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【跟踪专练1】在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【跟踪专练2】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【跟踪专练3】如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 题型05.重心的性质应用 【典例】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，AD＝9，DG＝___． 【跟踪专练1】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【跟踪专练2】在中，点是的重心，若的面积等于6，______． 【跟踪专练3】重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 题型06.中点四边形 【典例】已知矩形的对角线长为10，那么顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长为（      ） A．40 B．10 C．20 D．5 【跟踪专练1】如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【跟踪专练2】将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【跟踪专练3】如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 题型07.特殊平行四边形阴影面积计算 【典例】如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【跟踪专练1】如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【跟踪专练2】如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 题型08.特殊平行四边形动点问题 【典例】如图，在长方形中，A，点从出发，以的速度在线段上运动，点从点出发，以的速度在线段上运动，若点点同时出发，当x=_______时，与全等． 【跟踪专练1】如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 题型09.四边形中线段最值问题 【典例】如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型10.四边形其他综合问题 【典例】如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是___________． 【跟踪专练1】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【跟踪专练2】小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【解答题】. 1．如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 2．如图，在中，于D，点M，E，F分别是，，的中点．求证：． 3．解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 4．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 5．如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 6．【问题探究】 (1)如图1，P、Q是正方形的对角线上的点，且，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在梯形中，，E为边上一点，且，P、Q是对角线BD上的两个动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形的森林生态公园，沿其对角线修建一条景观水渠，其中．现在计划在水渠上找两个点，沿修建笔直的健身步道，沿修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是15万元，修建塑胶跑道的费用是30万元．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为 ．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06三角形中位线.重心与特殊平行四边形 知识目标 能力目标 应试目标 1.清晰区分三角形中位线与三角形中线的概念差异，牢记定义本质，杜绝概念混淆。 2.熟练掌握三角形中位线定理，吃透位置关系 + 数量关系两大核心规律，夯实理论基础。 3.理解三角形重心的定义、独有性质，明确重心线段比例关系，完善几何知识点体系 1.能灵活运用中位线定理，进行线段求值、平行证明、周长与面积相关计算。 2.学会借助中位线构造辅助线，转化线段与角度，提升几何转化解题思维。 3.熟练利用重心分线段比例特点，解决几何计算、线段分割类综合题型。 1.精准规避中位线、中线、重心的高频易错点，减少基础题型无谓失分。 2.规范几何推理书写，熟练定理套用格式，贴合考试评分标准。 3.掌握本节常考题型与命题方向，适配单元测、期中期末考题，提升综合解题与答题效率。 题型01.三角形中位线的求解问题 题型02.三角形中位线的证明问题 题型03.三角形中位线的实际应用 题型04.重心的概念 题型05.重心的性质应用 题型06.中点四边形 题型07.特殊平行四边形阴影面积计算 题型08.特殊平行四边形动点问题 题型09.四边形中线段最值问题 题型10.四边形其他综合问题 解答题6题 知识点01:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 · 一个三角形有三条中位线。 · 中位线的两个端点都是边的中点。 2. 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4. 三条中位线的性质 三条中位线组成的新三角形，周长为原三角形的一半。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 . 知识点02:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点03:中点四边形 1、定义. 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.三角形中位线的求解问题 【典例】如图，点D，E，F分别是各边上的中点，若，则四边形的周长为（　 ） A．7 B．14 C．21 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据中位线性质得出，，再根据，，求出四边形的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是各边上的中点， ∴，， ∵，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为_____ 【答案】6 【分析】根据三角形中位线定理，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵在中，，是边上的中线， ∴． 【跟踪专练2】谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 【答案】 【分析】先根据中位线定理推出第次分形的等边三角形的边长是，再通过规律得到第次分形图形中黑色三角形的个数，从而得结论． 【详解】解：∵每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形， ∴根据中位线定理可知每进行一次分形得到的三角形边长是上一次分形三角形边长的， ∴第一次分形图形中等边三角形的边长是，第二次分形图形中等边三角形的边长是，第三次分形图形中等边三角形的边长是，第次分形图形中的等边三角形的边长是， ∵每进行一次分形，黑色三角形的个数是上一次分形中黑色三角形个数的三倍， ∴第一次分形图形中黑色的三角形的个数为3个，第二次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第三次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第次分形图形中黑色的三角形的个数为个， ∴第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为 ， ∴第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为． 【跟踪专练3】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为． 题型02.三角形中位线的证明问题 【典例】如图，四边形中，，点是对角线的中点，点，分别是，的中点，，则的度数是__________．    【答案】/20度 【分析】根据中位线定理推出，，由此得到，推出是等腰三角形，根据三角形的内角和定理求出答案． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的中位线定义及定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 【答案】C 【分析】如图，连接，证明出是的中位线，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵E，F分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵点R不动 ∴的长度不变 ∴线段的长不变． 【跟踪专练2】如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 题型03.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出的长，由此他就知道了间的距离．小明在解决上述问题中，主要用到的数学知识是 （    ） A．勾股定理 B．勾股定理逆定理 C．三角形中位线定理 D．线段垂直平分线的性质定理 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．结合题意，利用三角形中位线定理分析即可． 【详解】解：的中点为， 是的中位线， ， 主要用到的数学知识是三角形中位线定理， 故选：C 【跟踪专练1】如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________． 【答案】/16米 【分析】先判断是的中位线，再由中位线的性质即可得解． 【详解】解：，是，的中点， 是的中位线， ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则______，的最小值是 ______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理的逆定理，垂线段最短．熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，取中点F，连接，证明是等边三角形，得出，则可求的度数；根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 取中点F，连接， ， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接，如图： ∵点，分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小． 若， 则， ∴， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①； ②； ③是等腰直角三角形； ④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质逐个验证即可． 【详解】如图，连接．    是等腰直角三角形 ∵点是的中点 同理可得：，结合（已证） ，故①正确． 是等腰三角形， 又是直角， 是等腰直角三角形，故③正确 过点P分别作，垂足为点M、N．如下图．   ，点是的中点 是三角形的两条中位线 ，故④正确． 连接．    假定点E与点N不重合． 由，为直角知，四边形是矩形． 又（前面已证）知，四边形是正方形． 则为等腰直角三角形． 由前面已证可知，也是等腰直角三角形． ∴． 在直角中，总有：． ∴． ∴ 即：． 由四边形是正方形知，， ∴． 只有当点E与点N重合时，． 故②不正确． 综上，正确的有①③④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定定理与性质、三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键． 题型04.重心的概念 【典例】如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线的交点是解题的关键． 【跟踪专练1】在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 题型05.重心的性质应用 【典例】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，AD＝9，DG＝___． 【答案】3 【分析】直接根据三角形的重心可进行求解． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心， ∴， ∴， ∵AD＝9， ∴； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键． 【跟踪专练1】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了重心的性质．根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：B． 【跟踪专练2】在中，点是的重心，若的面积等于6，______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键． 先根据点是的重心得出，再由的面积等于，得出的面积等于，即可求出． 【详解】解：∵中，点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，重心，中点坐标公式的相关知识点． 根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选B． 题型06.中点四边形 【典例】已知矩形的对角线长为10，那么顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长为（      ） A．40 B．10 C．20 D．5 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到AC=BD=10，再根据三角形中位线定理得到EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5，最后求出中点四边形的周长即可． 【详解】如图， 因为矩形的对角线相等，所以AC=BD=10， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点， ∴EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5， 故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH=5+5+5+5=20． 故选:  C． 【点睛】本题比较简单，只要熟知矩形的对角线相等，三角形的中位线等于第三边的一半即可． 【跟踪专练1】如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，四边形的综合；根据题意得到四边形为菱形，结合勾股定理得到，再计算周长即可． 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 【跟踪专练2】将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ． 题型07.特殊平行四边形阴影面积计算 【典例】如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 题型08.特殊平行四边形动点问题 【典例】如图，在长方形中，A，点从出发，以的速度在线段上运动，点从点出发，以的速度在线段上运动，若点点同时出发，当x=_______时，与全等． 【答案】或 【分析】分两种情况：①且列方程求解即可；②且列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ①且， ∴， 解得：， ∴当时，， ②且， ∴， 解得：， ∴当时，， 综上所述，或，． 【点睛】本题考查了矩形的动点问题，三角形全等的判定,二元一次方程组的解法，用含有的代数式表示相关线段的长度是解题的关键． 【跟踪专练1】如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键． 先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间． 【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上． 设运动时间为，则，． 根据题意，得，解得． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】作交的延长线于H，证明是的角平分线，由即可解决问题． 【详解】解：作交的延长线于H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴点P的运动轨迹是的角平分线， ∵， ∴， 而， ∴一直不变， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、余角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及得到点P的运动路线是解答的关键． 题型09.四边形中线段最值问题 【典例】如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】取的中点，则与关于对称，过点作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，根据轴对称的性质可以得出，利用三角形三边关系可以得出，根据两点间的距离最短进一步得出，在中，根据勾股定理即可解此题． 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及利用平移和对称求最值问题，关键在于通过平移和对称将所求线段和转化为两点之间的距离． 【详解】，解：四边形是正方形，， ， ， 是的中点， ， 取的中点，则与关于对称， ， 过点作，，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， 又点是上的动线段， ， 当点在一条直线上时，取最小值， ， , 在中，，，根据勾股定理， 最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，掌握通过中位线将线段长度转化，结合动点位置求最值是解题的关键． 利用三角形中位线定理将转化为，通过分析的最大值来确定的最大值，结合勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当最大时，最大． 当点与点重合时，最大，此时， 线段长度的最大值为3． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 题型10.四边形其他综合问题 【典例】如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是___________． 【答案】 【分析】根据四边形为矩形及为的中点即可得到，再利用正方形的性质得到即可解答． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，全等图形，掌握图形的剪拼是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明四边形是正方形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】解：①根据题意可得，则，，设，，，根据，即可判断①；过点C作于点H， 先根据，得出，进而推出，再证明，得出，即可判断②；③连接，证明，得出，，则，根据，，得出，则，最后通过，得出，即可判断③；过点E作于点N，易得，进而得出，根据梯形面积公式，求出四边形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵四边形为正方形，， ∴， ∴，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 故①正确，符合题意； ②过点C作于点H， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④过点E作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴点N为中点，则， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故④不正确，不符合题意， 综上：正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． 【解答题】. 1．如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 【答案】(1)相等，； (2)与的值相等，等于，理由见解析 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可； （2）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， ∵是的重心， ∴即， ∵， ∴ ∴， 即与的值相等，且都等于； （2）解：与的值相等，等于， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 即与的值相等，等于． 2．如图，在中，于D，点M，E，F分别是，，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，再利用等边对等角，得到，，推出，接着利用是的中位线证明四边形是平行四边形，得到，最后得证． 【详解】证明：， ， 是的中点， ， ； ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 点，，分别是，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 3．解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边 (2) (3) (4)且 【分析】连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形； （3）解：， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形； （4）解：且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，可知平行四边形为矩形， 根据，可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形． 4．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 5．如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的边与直角性质，结合同角的余角相等推出等角，通过证明△，进而证得； （2）由第一问的全等结论得到，结合正方形性质推导线段等量关系，用证明△得到等腰直角，最终通过勾股定理求出的长度； （3）设正方形边长为、，利用勾股定理由得，将配方为常数加非负完全平方项，即可利用非负性求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设正方形边长为，，则， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 6．【问题探究】 (1)如图1，P、Q是正方形的对角线上的点，且，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在梯形中，，E为边上一点，且，P、Q是对角线BD上的两个动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形的森林生态公园，沿其对角线修建一条景观水渠，其中．现在计划在水渠上找两个点，沿修建笔直的健身步道，沿修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是15万元，修建塑胶跑道的费用是30万元．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为 ．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)，见解析 (2) (3)万元 【分析】（1）证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：连接，证明可得，再利用三角形三边关系求解即可； （3）如图3：取的中点E， 的中点F，连接，作点A关于的对称点，交于点K，过点作交的延长线于点G，连接，利用三角形中位线定理求得，求得，再解直角三角形求得，最后求总费用即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵梯形，， ， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴，， 在中，，， ， ∴当Q位于与的交点处时，取得最小值，最小值为． （3）解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用． 如图3：取的中点E， 的中点F，连接，作点A关于的对称点，交于点K，过点作交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴ ∵， ， ∴， ， ，， ∴是的中位线， ， ∵点A与点关于的对称， ， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ， ， ， ． ， 的最小值为． 答：修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $