第06讲 三角形的中位线与重心（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 三角形的中位线与重心（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形的中位线 1.中位线与中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图，在 中，、 分别是边 、 的中点，于是线段 就是 的一条中位线.每一个三角形有三条中位线. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 2.三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3.关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 4.三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 【知识点02】三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 【题型一】与三角形中位线有关的求解问题 例1．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，中，已知点分别是的中点，那么下列判断中错误的是（   ）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是菱形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果是等腰直角三角形，那么四边形是正方形 【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形 【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解． 【详解】解：点分别是的中点， ， 四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意； ， ， 四边形是菱形，故B正确，不符合题意； ， 四边形是矩形，故C正确，不符合题意； 是等腰直角三角形，因为没有说清谁是顶角，所以不能判断四边形是正方形，故D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是题的关键． 变式1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）如图1，在梯形中，，，，，，点F是线段的中点，点G是线段上的一个动点（不与点F重合），连接并延长，交线段的延长线于点P． (1)如果，求PD的长． (2)如图2，点E是的中点． ①如果设，，求y与x的函数关系式并写出定义域． ②连接和，如果，求的长． 【答案】(1)2 (2)①；②的长为或4． 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由已知条件可得，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）①如图2，连接并延长交于点H．只要证明线段是的中位线即可解答；②分四边形是平行四边形时和四边形是等腰梯形时，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． （2）解：①如图2，连接并延长交于点H． ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴． ②∵，． a．当四边形是平行四边形时， ∴， ∴，解得：， ∴的长为； b．当四边形是等腰梯形时， ∵， ∴， ∵E、F是的中点， ∴， 如图：过点D作于M． ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ， 在中，， ∴，解得和舍弃)， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴的长为4． 综上所述， 的长为或4． 【题型二】与三角形中位线有关的证明 例2．（24-25八年级下·上海·期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形和矩形的性质．根据三角形中位线定理以及菱形的性质，可得原四边形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：如图，四边形的四边中点分别为，且四边形为菱形，连接四边形对角线， ∵中点分别为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 即原四边形的对角线相等， 故符合题意的是矩形． 故选：C 变式1．（24-25八年级下·上海金山·期末）如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件 （只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】利用中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：添加条件为：． 如图：、分别是，的中点，， 则， 故四边形是平行四边形； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【答案】见详解 【知识点】与三角形中位线有关的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的辅助线问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、中位线的性质是解题的关键．连接，并延长交于点G，易证得，即可求得，继而可得是的中位线，则可推知结论． 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 【题型三】三角形中位线的实际应用 例3．如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 变式1．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则 m． 【答案】52 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质． 利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果． 【详解】解：∵和的中点分别是点D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：52 变式2．（22-23八年级下·上海·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长． 【答案】． 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形中位线的实际应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】延长AD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出AC=，再证明△CDA≌△CDE得到AD=ED，CE=CA=10，然后利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：延长AD交BC于E，如图， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴BC=， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ECD， ∵CD⊥AD， ∴∠CDA=∠CDE=90°， 在△CDA和△CDE中， ， ∴△CDA≌△CDE（ASA）， ∴AD=ED，CE=CA=10， ∵点M是AB的中点， ∴DM为△ABE的中位线， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．构建中位线定理的基本图形是解决问题的关键． 【题型四】重心的概念 例4．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 变式1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 【答案】D 【知识点】重心的概念 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故答案为：D． 变式2．如图，点E在矩形ABCD内，且EB=EC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作边BC的中点M； (2)在图2中，作边CD的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、重心的概念、利用矩形的性质证明 【分析】（1）连接AC、BD，AC与BD交于O，连接EO并延长交BC于M，点M即为所求； （2）在（1）的解析图的基础上，连接DM交OC于F，连接BF并延长交CD于N，点N即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求； ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC， 又∵EB=EC， ∴EO在线段BC的垂直平分线上， ∴EM垂直平分线BC，即M为BC的中点； （2）解：如图所示，点N即为所求； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°，O为BD的中点， 由（1）得M为BC的中点，则DM为△BCD中BC边上的中线， 又∵直角三角形三条中线交于一点， ∴CD边上的中线也经过点F， ∴点N即为所求； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键在于掌握相关知识进行正确的画图． 【题型五】重心的有关性质 例5．（23-24八年级下·上海青浦·期末）两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、重心的有关性质 【分析】连接，与交于点，设点为的重心，点为的重心，利用菱形的性质和勾股定理求得，的长，利用三角形的重心的性质求得，的长，再利用“重心距”的定义解答即可． 【详解】解：连接，与交于点，设点为的重心，点为的重心，如图， 四边形为菱形， ，，． ． 点为的重心，点为的重心， ，． 与的“重心距”为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的重心的性质，利用菱形的性质和勾股定理求得，的长是解题的关键． 变式1．如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、重心的有关性质 【分析】（1）延长到，与相交于D，使，即可证明，则有，结合重心得性质得，，利用勾股定理逆定理即可判定是直角三角形，可求得，结合即可求得答案． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，由重心的性质可知，点D，E，F是中点，且，，，结合题意有，化简得，同理：，利用勾股定理得，结合可得，即可证． 【详解】（1）解：延长到，与相交于D，使，如图，    则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图，    由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 【点睛】本题主要考查重心的性质，涉及全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理和勾股定理，解题的关键是熟悉重心的性质和勾股定理的逆定理． 【题型六】中点四边形 例6．（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【知识点】中点四边形 【分析】根据各四边形的性质进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别为四边形各边的中点， ∴，，，， ∴，，且，， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，须使， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为 米． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、中点四边形 【分析】本题主要考查勾股定理 ，四边形的综合；根据题意得到四边形为菱形，结合勾股定理得到，再计算周长即可． 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 变式2．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【知识点】中点四边形 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 【题型七】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 例7．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 变式1．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 【题型八】（特殊）平行四边形的动点问题 例8．如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 ． 【答案】4.8或8或9.6 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=12cm，AD∥BC， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP=BQ， 当点Q的运动路线是C—B时，则12-4t=12-t， 解得：t=0，不符合题意； 点Q的运动路线是C—B—C，则4t-12=12-t， 解得：t=4.8； 点Q的运动路线是C—B—C—B，则12-（4t-24）=12-t， 解得：t=8； 点Q的运动路线是C—B—C—B—C，则4t一36=12-t， 解得：t=9.6； 综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4.8或8或9.6． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 变式1．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当秒时，平分对角线 (3)若是以为腰的等腰三角形，的值为或 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、（特殊）平行四边形的动点问题、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形； （2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，则可得，解此方程即可求得答案． （3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可； ②当时，由勾股定理得出方程，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， 当秒时，两点停止运动，在运动过程中，， ，， 当时，，， 又， ， 四边形为平行四边形； （2）解：能平分对角线，当秒时，平分对角线． 理由如下： 连接交于点，如图1所示： 若平分对角线，则， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 解得，符合题意， 当秒时，平分对角线． （3）解：分两种情况： ①当时，作于，于，与，如图2所示： 则，，， , ，， ， ， ， ， 解得：； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得（舍去）； 综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为或． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·上海松江·期末）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)． （1）求证：图中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长： （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由． 【答案】（1）证明见解答；（2）AF=4cm；（3）AF=9cm 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm，由四边形ABDE为矩形，可得AE2+ED2=AD2，建立方程求解即可； （3）设AF=DC=x cm，根据AE=DE，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起， ∴ED=AB，∠EDF=∠BAC， ∴ED∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移， ∴AF=DC， ∵BC=EF=6cm，AC=DF=9cm， ∴设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm， ∵∠DFE=90°=∠AFE， ∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠AED=90°， ∴AE2+ED2=AD2， 即x2+62+92+62=（9+x）2， 解得：x=4， 即AF=4cm； （3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形． ∵四边形ABDE能成为菱形， ∴AE=DE， ∴AE2=DE2， 设AF=DC=x cm， ∵∠DFE=∠AFE=90°， ∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62， ∴x2+62=92+62， 解得：x=9或x=-9（舍去）， 即AF=9cm， ∴当AF=9cm时，四边形ABDE能成为菱形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型九】四边形中的线段最值问题 例9．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF=OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OP=BC， ∵AC=， 则BC=2， ∴OP=1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题． 变式1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 变式2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【答案】5 【知识点】根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 易知，且， ，则，此时有最小值． ，， ． 由勾股定理，得，即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【题型十】四边形其他综合问题 例10．在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　） A．组1判断正确，组2判断正确 B．组1判断正确，组2判断错误 C．组1判断错误，组2判断正确 D．组1判断错误，组2判断错误 【答案】A 【知识点】四边形其他综合问题 【分析】组1：过线段的中点N作并分别延长交于点O，证明，得，再证明，得AM=DM，结合，得，得证组1判断正确； 组2：分别延长AF，DC交于点G，由题意知：，得AF=GF，由四边形ABCD是平行四边形，得AB=CD，AB//CD，进而证的，那么AB=GC，故GC=CD，所以FC是的中位线，则，进而推出 【详解】组1：如图， 过线段的中点N作并分别延长交于点O， ∴直线MN是线段CF的垂直平分线 ∴NF=CF 由题意得： ∴ ∵与是对顶角 ∴= 又∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∴ ∴ ∴在线段CF的垂直平分线MN上 ∴OA=OD 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合 故组1判断正确． 组2：如图，分别延长AF，DC交于点G 由题意知： ∴AF=GF， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∵与是对顶角 ∴= 在和中 ∴ ∴AB=GC， ∴GC=CD ∵AF=FG，GC=CD ∴FC是的中位线 ∴ ∴ ∴ 故组2判断正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查图形折叠的性质，全等三角形的判断与性质，平行四边形的性质，垂直平分线的性质与判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键． 变式1．（2024·上海闵行·二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】四边形其他综合问题 【分析】由的面积为m可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵的面积为m ∴边BC上的高为 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或MN上一重合重合， 如图：过A作AD⊥BC，垂足为D ∵等边三角形ABC,BC=4 ∴∠ABC=60°,BC=4，∠BAD=30° ∴BD=2, ∴AD==2 ∴，即m=4； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即m=8 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 变式2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、四边形其他综合问题 【分析】（1）按照“邻等对补四边形”的定义逐个判断即可； （2）首先根据题意写出已知条件和求证，然后作于E，延长线于F，证明，再用角平分线的判定证明即可； （3）首先得出，然后根据至少有一组邻边相等分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）已知条件：四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：． 证明：作于E，延长线于F，    ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是邻等对补四边形， ∴ ①如图所示，当时，连接    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； ②如图所示，当时，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴ ∴； ③如图所示，当时，连接，    ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 一、单选题 1．如图，某数学兴趣小组打算测量公园内两地之间的距离，但两地之间有一个水池，于是兴趣小组的同学们在处取点，连接，，测出，的中点之间的距离是，则两地之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 由分别是，的中点，得到是的中位线，由三角形的中位线定理即可求出两地之间的距离． 【详解】解：∵分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵点E、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即． 故选：A． 3．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 4．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】由题意分析可知，点F为主动点，运动轨迹是线段AB，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G的轨迹也是一条线段， 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH， 从而可知△EBH为等边三角形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBE=90°， ∴∠GHE=∠FBE=90°， ∴点G在垂直于HE的直线HN上， 延长HG交DC于点N， 过点C作CM⊥HN于M，则CM即为CG的最小值， 过点E作EP⊥CM于P，可知四边形HEPM为矩形， 则CM=MP+CP=HE+EC=1+2=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段最值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型． 5．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点.若，的周长是，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．根据厘米，可得出，继而求出，判断是的中位线，即可得出的长度． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵点E，F分别是线段的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：C 二、填空题 6．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键．根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解即可． 【详解】解：由题意可知，即， ∴． 故答案为：6． 7．在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 8．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 9．如图，在中，，cm，cm，点在边上，，垂足为，点是的中点，则 cm． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识， 根据勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的中位线定理即可得出答案 【详解】解：，cm，cm， 点是的中点， 故答案为：4 10．如图，在四边形中，，连接，点E，F分别是的中点，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，与三角形的中位线有关的计算，勾股定理求出的长，三角形的中位数定理求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴； 故答案为：4． 11．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，直角三角形的性质．连接，过点D作与G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，再由平行四边形的性质可得，，从而得到，再由直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作与G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 12．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 根据题意，对点M在和上的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上时， ∵，且， ∴点到的距离为定值5， 即； 当点在上时， 过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 连接，则， ∵点在上， ∴， 则当时，的值最小为3． 综上所述，的最小值为3． 故答案为：3． 14．如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为 米． 【答案】5.8 【分析】本题主要考查重心的概念及全等三角形的性质与判定，熟练掌握重心的概念及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，则有，由重心可知，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，如图所示： ∴， 根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知， ∴正方体货物点G到直线的距离为； 故答案为5.8． 15．如图，中，，，．点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推，利用规律可求出第2022个三角形的周长． 【详解】解：∵中，，，， ∴的周长是16， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴分别等于的一半， ∴的周长是， 同理，的周长是， …， 以此类推，的周长是， ∴第2022个三角形的周长． 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 ． 【答案】2 【分析】延长BF交CD的延长线于H，可证EF是△BCH的中位线，由中垂线的性质可得BC＝CH＝8，可求DH＝3，由“ASA”可证△ABF≌△GFH，可得AB＝GH＝5，可求解． 【详解】解：如图，延长BF交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5，AB∥CD， ∴∠H＝∠ABF， ∵EF∥AB， ∴EF∥CD， ∵E是边BC的中点， ∴EF是△BCH的中位线， ∴BF＝FH， ∵∠BFC＝90°， ∴CF⊥BF， ∴CF是BH的中垂线， ∴BC＝CH＝8， ∴DH＝CH﹣CD＝3， 在△ABF和△GHF中， ， ∴△ABF≌△GFH（ASA）， ∴AB＝GH＝5， ∴DG＝GH﹣DH＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 17．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，若AC＝BD＝3，则EG2＋HF2＝ ． 【答案】9 【分析】连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=3，得到EH=EF=GH=FG=，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值 【详解】解：如图，连接EF，FG，GH，EH，设EG与HF相交于点O， ∵E、H分别是AB、DA的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH=BD=， 同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线， ∴EF=GH=AC=，FG=BD=， ∴EH=EF=GH=FG=， ∴四边形EFGH为菱形， ∴EG⊥HF，且垂足为O， ∴EG=2OE，FH=2OH， 在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=， 等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=×4=9， ∴（2OE）2+（2OH）2=9， 即EG2+FH2=9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的基本性质，本题的关键是连接EF，FG，GH，EH，得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 三、解答题 18．如图，点D、F分别为AC、BC的中点，，，求证： 【答案】证明见解析． 【分析】先根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 19．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 20．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 21．如图，在中，，点、分别是边、上的点，连接、，，点、、分别为、、的中点．求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据等角对等边得及AB=AC，得到BD=EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=BD，FH∥EC，FH=EC，从而得到FG=FH． 【详解】证明：∵， ∴， ∵, ∴，即． ∵点、、分别为、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的有关性质，等腰三角形等边对等角的性质，解答时应根据题意找到相应三角形的中位线． 22．如图，中，于点，点分别是的中点，连接．若四边形的周长是30，的周长是21，求的长．    【答案】12 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．首先根据易知均为直角三角形，结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，，进而解得的长度，然后根据“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∵ 四边形的周长是30， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 23．如图，在中，，分别是，上的中线与相交于点O． (1)求证：，； (2)边上的中线是否过定点O？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)边上的中线过定点O，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定． （1）分别作，的中点，，连接，，，，根据三角形的中位线的性质得出，，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质，即可得证． （2）作边上的中线交于，同理可得点O与点重合，即边上的中线过定点O． 【详解】（1）证明：分别作，的中点，，连接，，，，    ∵点，分别是边，上的中点， ∴，， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，． （2）解： 边上的中线过定点O，理由如下： 如图，作边上的中线交于， 由以上解答过程可知，， ∴点O与点重合， ∴边上的中线一定过点O． 24．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 25．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 26．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． (1)如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是的中点，求证：四边形是平行四边形； (2)如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与的中点F，G，H组成正方形； (3)在（2）条件下求出正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）连接，由、是、的中点，为中位线，得到，且，同理得到，且，由此证明即可； （2）由（1）可知四边形为平行四边形，根据正方形判定方法，邻边相等的矩形是正方形，结合三角形的中位线定理，得到为直角三角形，进而确定点的位置，即作图即可； （3）根据勾股定理和三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵、是、的中点， ∴且， 同理，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：点的位置、四边形，如图所示： 由（1）知，四边形是平行四边形， ∵是的中位线，， ∴， 又，， ∴，， ∴， ∵． ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴平行四边形是正方形； （3）解：由（2）可知：正方形的边长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 三角形的中位线与重心（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形的中位线 1.中位线与中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图，在 中，、 分别是边 、 的中点，于是线段 就是 的一条中位线.每一个三角形有三条中位线. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 2.三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3.关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 4.三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 【知识点02】三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 【题型一】与三角形中位线有关的求解问题 例1．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，中，已知点分别是的中点，那么下列判断中错误的是（   ）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是菱形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果是等腰直角三角形，那么四边形是正方形 变式1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）如图1，在梯形中，，，，，，点F是线段的中点，点G是线段上的一个动点（不与点F重合），连接并延长，交线段的延长线于点P． (1)如果，求PD的长． (2)如图2，点E是的中点． ①如果设，，求y与x的函数关系式并写出定义域． ②连接和，如果，求的长． 【题型二】与三角形中位线有关的证明 例2．（24-25八年级下·上海·期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 变式1．（24-25八年级下·上海金山·期末）如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件 （只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【题型三】三角形中位线的实际应用 例3．如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 变式1．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则 m． 变式2．（22-23八年级下·上海·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长． 【题型四】重心的概念 例4．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 变式1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 变式2．如图，点E在矩形ABCD内，且EB=EC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作边BC的中点M； (2)在图2中，作边CD的中点N． 【题型五】重心的有关性质 例5．（23-24八年级下·上海青浦·期末）两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为 ． 变式1．如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【题型六】中点四边形 例6．（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为 米． 变式2．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【题型七】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 例7．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 变式1．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【题型八】（特殊）平行四边形的动点问题 例8．如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 ． 变式1．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 变式2．（22-23八年级下·上海松江·期末）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)． （1）求证：图中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长： （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由． 【题型九】四边形中的线段最值问题 例9．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 变式1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 变式2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【题型十】四边形其他综合问题 例10．在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　） A．组1判断正确，组2判断正确 B．组1判断正确，组2判断错误 C．组1判断错误，组2判断正确 D．组1判断错误，组2判断错误 变式1．（2024·上海闵行·二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是 ． 变式2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    一、单选题 1．如图，某数学兴趣小组打算测量公园内两地之间的距离，但两地之间有一个水池，于是兴趣小组的同学们在处取点，连接，，测出，的中点之间的距离是，则两地之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 3．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B． C． D． 4．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．2.5 5．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点.若，的周长是，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 二、填空题 6．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 7．在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则 ． 8．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 9．如图，在中，，cm，cm，点在边上，，垂足为，点是的中点，则 cm． 10．如图，在四边形中，，连接，点E，F分别是的中点，，则 ． 11．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ． 12．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 13．如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为 ． 14．如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为 米． 15．如图，中，，，．点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 ． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 ． 17．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，若AC＝BD＝3，则EG2＋HF2＝ ． 三、解答题 18．如图，点D、F分别为AC、BC的中点，，，求证： 19．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 20．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 21．如图，在中，，点、分别是边、上的点，连接、，，点、、分别为、、的中点．求证：． 22．如图，中，于点，点分别是的中点，连接．若四边形的周长是30，的周长是21，求的长．    23．如图，在中，，分别是，上的中线与相交于点O． (1)求证：，； (2)边上的中线是否过定点O？为什么？ 24．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 25．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 26．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． (1)如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是的中点，求证：四边形是平行四边形； (2)如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与的中点F，G，H组成正方形； (3)在（2）条件下求出正方形的边长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $