2026年中考数学一轮专题复习之二次函数（角度综合问题专练）

二次函数角度综合问题专练 一、解答题 1.知图。二次通数y=0+:+÷0的图象与辅交于点-3.0和点B,与y铺胶于 1 点C,对称轴为直线x= 6 B 图1 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)如图1，连接AC、BC,在直线AC上方且y轴左侧抛物线上有一动点P,过点P作 PD∥BC,交AC于点D,过点P作PE∥AB,交y轴于点E,点F是线段AB上一动点， 当PD+号PE最大时，求此时P点的坐标和此时2PF+A的最小值： ⑧在2)的条件下，当PD+PE取得绿大值时。函数)心：沿射线4C方向平 移得到函数y,新函数的图象仍过点C,新函数图象与x轴交于点M、N(点M在点N左 侧)，P的对应点是P,连接P'C,p'N,点K为抛物线y上的一动点，且满足 ∠P'WK=∠PP'C,请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中 一种情况的过程， 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y 1 x22x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A, 3 该抛物线的顶点为M,直线y=- x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM, B M 图1 备用图 (1)求b的值及点M的坐标， (2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mr+n,且与x轴负半轴交于点C,取点 D(2,0),连接DM,求证：∠ADM-∠ACM=45°， 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=二x-2与x轴交于点A,与y轴交于点C,与抛物 2 线L:y= 5x2+br+c交于点T5,)和点06， (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r(r>0)个单位，得到抛物线L,，若抛 物线L经过点D 且点D在抛物线L的对称轴左侧，求抛物线L的函数表达式： (3)在(2)的条件下，记抛物线L的对称轴为直线1，作点C(0,-2)关于直线1的对称点B, 连接AB,在直线AB上是否存在点P,满足∠ADP=∠CAO?若存在，求出点P的坐标， 若不存在，请说明理由 4.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y=ax2+bx+4a≠0)分别交x轴于A 1 ,B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C,连接AC,BC,其中OA=4,tan∠OCB= 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交直线AC于点D,PE∥y轴 交直线AC于点E.点M、点N是直线BC上的动点，满足点M在点N的右侧且MW=西 2 ,当△PDE周长最大时，求P的坐标及OM-PN的最大值； (3)如图2，在第(2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线BC方向平移√17个 单位长度得到抛物线y,将点C向下平移一个单位长度得到点F,点Q为抛物线y上且在 抛物线y对称轴左侧的一动点.若∠PAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF,直接写出所有符合条 件的点Q的横坐标 5.已知抛物线y=ax2+bx-6与x轴交于点A,点B(点A在点B的左侧，点B在原点O 右侧)，与y轴交于点C,且0B=0C,抛物线的对称轴是直线x=2· D A B A 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点A作AD∥BC交y轴于点D,在直线 AD上有一动点M,当四边形PBMC面积的最大时，求P点坐标及PM- AM的最小值： 3 (3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移22个单位长度，得到新抛物线，点E为点A 经过平移后的对应点；在抛物线片上是否存在点M,满足∠BEM+∠AC0=45°，若存在， 直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由 6.如图1，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点B,与y轴 交于点C,经过B、C两点的二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于另一点A, B A B G 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点D、E在直线y=-x+3上，点F是第二象限位于抛物线上一点，点G在x轴上若四边 形DEFG是正方形，求点F的坐标， (3)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使得LCBP+LAC0=45°，若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4a≠0)与x轴交于点A,B(2,0)两点， 与y轴交于点C,点A在x轴的负半轴上，OA=OC,点D是抛物线的顶点，连接AD MN B D 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥BC交y轴于点E,过点P作 PF∥y轴交AD于点F,点M,N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧 MN=1,H0,-8 1 连接PN,M,当PF+ 2PE取得最大值时，求P点的坐标及 PN+MH的最小值； (3)将抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)沿射线BC方向平移√5个单位长度，得到新抛物线y,过 点A作AR⊥BC于点R,点Q是新抛物线y上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所 有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B1,0)两点， 与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与 射线AC交于点E,连接BE、BP,当△PBE面积最大时，求点P的坐标； (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个 单位长度得到新抛物线y,点P为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当 ∠QBA=∠OPP'-∠BAC时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-二x2+bx+c与x轴交于点A-2,0),B(4,0), 2 交y轴于点C. V (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作PM1BC于点M,过点P作x轴的平行 线交扣岁线于点N么，为)转上的动点。&在的下方.满足F一 连接BE,PF, 当2√2PM+PN取得最大值时，求PF+EF+BE的最小值； (3)在(2)成立的情况下，将抛物线沿着射线AC方向平移√5个单位长度，点K为平移后抛 物线上的一动点，Q点坐标为 连接PQ,当∠PQB=∠QBK时，请直接写出K点的 坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2++c与x轴交于A,B两点(A在B的 左侧)，与y轴交于点C,其中A1,0),C(0,-5) B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PQ∥x轴，交直线BC于点Q.点M是 抛物线对称轴上的一动点，连接PM,BM,当PQ取得最大值时，求MB-MP的最大值； (3)将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使抛物线y与射线BC交于C,D两点. 点K为抛物线y上的一动点，当∠KDC+∠ACO=45时，请直接写出所有符合条件的点K 的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程 11.已知二次函数y=ax2+bx+6的图象与x轴交于点A(-8,0)、B(2,0),与y轴交于点C, 其对称轴与直线AC交于点I,与x轴交于点H, 图1 图2 (1)求该二次函数的解析式： (2)如图1，P为直线AC上方、对称轴左侧的抛物线上一点，作PQ∥y轴交直线AC于点Q ,M、N、D分别为对称轴、y轴和直线BC上的动点，且始终满足MN∥BC,连接PM D当PO-9I取得最大值时，求点P的坐标及PM+M 最小值： (3)如图2，将抛物线沿着射线AC方向平移5个单位长度，得到新抛物线y,延长AC交新 抛物线y于点K(点K在新抛物线对称轴的右侧)，在新抛物线y上有一点R,当 LBC0+∠RKA=45°时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R的横坐标 其中一种情况的过程 1 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-二x2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与 y轴交于点C,对称轴为直线x=-1, 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式， (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作直线PD∥y轴，交直线AC于 点D,E为y轴上一动点，且满足DC=DE,点F为x轴上一动点，连接PF.当 PD+CE取最大值时，求点P的坐标及PF+5BF的最小值： 5 (3)如图2，将原抛物线沿射线AC方向平移√5个单位得到新抛物线y,新抛物线y与直线 AC分别交于M、N点，点G在新抛物线y上，连接GM.若∠GMN+∠CA0=45°，请直 接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y=ax2+bx+3(a≠0)分别交x轴于A, B两点，交y轴于点C,连接AC，BC,其中S。4Oc=3,抛物线对称轴为直线x=2· B (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC交直线BC于点D,PE∥y轴 交直线BC于点E·点F是直线x轴上的动点，当△PDE周长最大时，求√PF+AF的最小 值 (3)将抛物线y=ax2+bx+3沿∠C0B的角平分线方向平移2√2个单位长度得到新抛物线y, 平移后的抛物线y顶点为K且与y轴交于点Q，,点M为抛物线y上一动点.若 ∠KQB=2∠QBA+∠MKQ,请直接写出符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的 其中一种情况的过程 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+ca≠0)与x轴分别交于 A(-4,0、B(2,0),与y轴交于点C. O B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PD∥y轴交AC于点D,过D作 DE∥BC交x轴于点E,线段MN在直线AC上移动且MN=2√2，当PD 25DE取得最 大值时，求此时点P的坐标及△PMN的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移3√2个单位得到新抛物线y,点C的对应点为点H ,平移后的新抛物线y的对称轴上有一点F(m,-2),点G为新抛物线y上一动点，若 ∠CHG=∠CAF,请直接写出点G的坐标，并写出求G的坐标的其中一种情况的过程 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-k与抛物线y=x2-2x交于A,B两点， 与x轴交于点C VA 备用图 (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当k=1时，直线AB与y轴交于点D,与直线x=2交于点E.若抛物线y=(x-h)2-1与 线段DE有公共点，求h的取值范围； (3)当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T,使得TC总是平分∠ATB？若存在，求 出点T的坐标；若不存在，请说明理由 16.如图，直线y=mx+n与抛物线y=-x2+bx+c交于A(-2,0),B(2,2)两点，直线AB与 y轴交于点C (1)求抛物线与直线AB的解析式： (2)点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q,连接PB,当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍 时，求点P的坐标 (3)点M为坐标轴上的动点，当∠AMB=45°时，直接写出点M的坐标， 17.如图1，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A 点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1, M 图1 图2 图3 (1)求抛物线所对应的函数表达式： (2)如图2，连接BC,P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交BC于点 M,作PF⊥y轴交BC于点N,求△MPN的边MN上的高的最大值 (3)如图3，连接AC、BC,在抛物线上是否存在一点Q,使得∠ACO+∠QBC=45°，若存 在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A-4,0),B两点， 与y轴交于点C(0,-2),抛物线的对称轴是直线x= 、3 2 B (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接OP与直线AC交于点Q,点D,E为抛物 线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且DE=2,连接DP,AE,当巴取得最大值 OO 时，求点P的坐标及PD+DE+AE的最小值 ⑧在(2)中取得最太值的条件下，将抛物线三r+br+ca≠0)沿射线4C平移5 单位长度得到新抛物线y,点G为点A的对应点，连接PG,PC,BG·点M为新抛物线 y上的动点.若∠GBM=∠BAG+∠CPG-45°，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标， 并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程 答案 1.(1)y=- x21 4 **Z (2)P(-2.1,2PF+AF的最小值为√5+1 345 3)K(3,3)或-749 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； ②先分别末出4-30.812,0.0》 再求出直线4C的解折式为)方x+子 2 过点P作PH⊥x轴于点T,交AC于点H,过点D作DM⊥PT于点M,证明 ∠MDH=∠CA0,∠DPH=∠BC0,再利用三角函数设PM=3a,得出MD=4a,PD=5a, Mm-D-2a,pH=50,得5P0-pm,设P--子+引-31<0.则 H+引求出PD+PE=-1,利用=次函数性质求出最大时P(-2,过点A 在x轴下方作LBAQ=30°，过点F作FR⊥AQ于点R,得出 2PF+AF=2PF+4F2(PF+FR),由点到直线的最短距窝可得当P、P、R共线 且PR⊥AQ时PF+FR最小，设此时F为F,R为R',即2PF+AF最小值为2PR',求解 即可 ③)利用平移求出新抛物线为y=×+子+号求出M-0,N60,连接PP,P CP',NP',过点P作PT⊥x轴于点T,过点P作P'Z⊥x轴于点Z,利用平移得出 并证明四边形∠PACp'是平行四边形，得出LPAC=∠PP'C,再证明 ∠CAO=∠PNZ,当点K在直线p'N上方时，设K为K,直线NK,交y轴于点L,得出 ∠K,NZ=∠PAO,利用三角函数求出L(0,6),即可得出直线LN的解析式为y=-x+6,与 抛物线解析式联立即可；当点K在直线P'N下方时，设K为K2,过点P作P'W∥NK,交 NK,于点W,利用等腰三角形判定和平行性质得出WN=WP',设W(s,-S+6),列式求出 m4725 (12'12 求出直线P"P的解析式为y=-x+37,利用P'W∥NK,求出直线K,的 t 14 解析式为y=+号。再与抛物线联立即可。 1 6 7 【详解(1)解：二次函数y=ar+bx+引a≠0)的图象与x轴交于点4-3,0，对称铺为 直线x=一2 1 3 0=9a-3b+ 2 b 1' 2a-2 1 a=- 解得 4 1 b=4 1 ∴y=- 213 44+ (2)解：令y=0, x+ 2 解得x=-3,x2=2, A-3,0),B(2,0),即OA=3,OB=2, 3 令x=0.解得y= 设直线AC的解析式为y=x+rk≠0)， f代入43o.c》 [0=-3k+r 得 3 r=- 2 解得 2 ∴直线4C的解析式为y=2x+2' 如图，过点P作PH⊥x轴于点T,交AC于点H,过点D作DM⊥PT于点M, .MD∥x轴， .∠MDH=∠CAO, PD∥BC, ∴.∠PDC=∠BCD, PH⊥x轴， .PH∥y轴， .∴.∠PHD=∠ACO, .LPDC-LPHD=∠BCD-LACO,即∠DPH=∠BCO, C.tan ZMDH-MH-tan /C40-CO-tan /DPM-MD=tan/BCO- BO 4 MD PM C031 设PM=3a,则MD=4a, PD-PM+MD-5a.MH=TMD=2a, .PH =5a, .PD=PH, 设P--+引-31<.则时引 PE∥AB, pE=0--40-小=4 4 4 PD+2PE=--1 4 4 当 大 1 比时，=-2-4-2+1 4 此时P(-2.1, 过点A在x轴下方作LBAQ=30°，过点F作FR⊥AQ于点R, .FR-AF 2PF+F=2p+4小=2PF+ 由点到直线的最短距离可得当P、F、R共线，且PR⊥AQ时PF+FR最小， 设此时F为F,R为R',即2PF+AF最小值为2PR', LBA0=30°， .∠AFR'=∠PFT=60°， .∠FPT=30°， ..PF'=2FT,PT=3FT=1. 3,Pp=25 FT= 3 316 六AF'=01-07-F7=3-2-5-1 3 .2PR'=2(PF'+F'R'）=2× 25,1V3 =1+3 326 即2PF+AF最小值为1+√5； y C M P E B O 由函数yax2bx 沿刻线4C方向平移得到画数，且40：0C=3:-2:1 2 3 设抛物线V二中，水平向右平移2m个单位，竖直向上平移m个单位 44 新抛物线为y=-x+ 225 4 +22m月 +m 16 242 3 解得m=。或0（舍）， 则2m=3, 故新抛物线解析式为y=-x x+ 2 1 53 令y=0,故0=-x2+二x+ 4 4 2 解得x=-1,x2=6, .M(-1,0),N6,0, 如图，连接PP',AP,CP',NP',过点P作PT⊥x轴于点T,过点P作PZ⊥x轴于点Z, 由P的对应点是P,即P到点P是水平向右平移3个单位长度，竖直向上平移？个单位长 度， 2*31+》即》 3 0C可得A到点C是水平向右平移3个单位长度，竖直向上平至 长度， ·AP水平向右平移3个单位长度，竖直向上平移？个单位长度得到CP', .AP=CP,AP∥CP', .四边形∠PACP'是平行四边形 ∴.∠PAC=∠PP'C, tan∠CM0=OC=1 5 AO2'tan∠p'WZ= P'Z P'Z 21 ZNON-OZ6-1-2 ∴.tan∠CA0=tan∠p'Wz, .CA0=∠P'NZ, 当点K在直线p'N上方时，设K为K,直线NK交y轴于点L, ∠P'NK,=∠PP'C,∠PAC=∠PP'C, .LP'NK=∠PAC, ∠CA0=∠P'NZ, ∴.∠P'NK,+∠P'NZ=∠PAC+∠CAO,即∠KNZ=∠PAO, .∴.tan∠K,NZ=tan∠PAO, ON -I. OL PT 即Y 63-2 得0L=6,即L(0,6, ∴.设直线LN的解析式为y=px+6p≠0， 代入N(6,0),得0=6p+6,解得p=-1, 直线LN的解析式为y=-x+6, .53 y=- 联立 y=-x+6 解得 x=6 (舍)， x2=3 y=0 y3=3' .K3,3, 当点K在直线P'N下方时，设K为K,过点P作P'W∥NK,交WK,于点W, K .∠WP'N=∠P'NK2, 由对称性可知∠P'NK,=∠P'NK2, ∴.∠P'NK,=∠WP'N, ..WN=WP', 设W(5,-s+6), ）2 1-*s-6=6-+-6 得日 即铝阁》 设直线P'W的解析式为y=qx+gq≠0)， 「2547 代入w1212 4725 得 12129+8 2=9+8 1 解得 7 8=14 37 直线p'w的解析武为y三气r+ P'W∥NK, ∴设直线NK,的解析式为y= 7+e, 1 代入N(6,0),得0=-三×6+e, 7 6 解得e= 1 直线NK,的解析式为y= t×.6 7 7 1 53 y=-x2+x+ 联立 4 42 161 y=- -x+ 7 7 3 x2= 解得 x1=6 7 y=0 (舍 45 y2= 49 7345 K2-749) 综上，点K的坐标为K(3,3或 345 7’49 2.(1)b=3,M(3,-3 (2)见解析 【分析】(1)令y=0求出A点坐标，待定系数法求出b的值，求出对称轴，进而求出点M 的坐标 (2)设直线CM与y轴交于点E先求出直线CM的解析式为y=-x-3 从而得到点 22 c-30,点E0) 即可求出sim∠0CE=OE=5,再求出DH=CDsin∠HCD=5 CE 5 即可得到sin∠HMD= HD-2,则∠ADM-LACM=LHMD=45°· DM 2 详解①)解y2x。 .当y 2x0.解得≤=0,5=6. .A6,0), 把4(6,0)代入y= 2x+b,得- 2×6+b=0,解得6=3： ·抛物线的对称轴为直线×= 2 3 2× 当x=3时，y=2-2x=-3 3 ∴点M的坐标为(3，-3) 1 (2)证明：由(1)可知，直线AB的解析式为y= 2+3 “直线AB向下平移后过点M(3,-3), 1 :设直线CM的解析式为y=-。x+n, 2 ∷-3=- ×3+n, 3 ·n= 2 :直线CV的解折式为y- 设直线CM与y轴交于点E, 13 y=-2-2 心令=0，解得x=-3,令r=0,则y= 2 3 点c(-3,0,点E0,-2月 3 :0C=3,OE= 2 :CE=0E2+0c-35 sin∠ocE- OE√5 CE 5 过点D作DH⊥CM于点H, D :D(2,0),C(-3,0,M(3,-3, E H M 图2 CD=5,DM=V3-22+(-3-02=√10 :DH=CD.sin∠HCD=V5, ：sin∠HMD= HD DM 2 ∠HMD=45°， .∠ADM-∠ACM=∠HMD=45°. 3.(1)见解析 2y=-r+2x 2 阅将在，点P4引或4》 【分析】(1)先求出点T的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答： (2）表示出平移后的抛物线解析式， 将1 代入求解，再两种情况讨论即可： (3)过点P作DM⊥OA于点M,作DP∥AB交AB于点P,可得∠OAC=∠MAD=∠ADP, 求得点P,再将△ADP沿AD翻折得到△ADP,延长DQ交AB与点P,求出另一个点P即 可 【详翻1证明：把点75代入=-2，得1=5-2- 1 2 2 7》 把73》 Q(6,1代入y=-x+x+c,得 2 11 ×52+5b+c 2 2 1 1=- ×62+6b+c 2 「b=6 解得 c=-17' :抛物线的籍行式为y=方+6-17=x-6+1, 2 抛物线的顶点为6,1，即点Q为抛物线L的顶点； (2)解：将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r(r>0）个单位，得到抛物线 L 一抛物线么的解折式为y=x-6++1+1。 把代入y=x-6+1+1,得-+2. 解得5=4或2=6， 当万=4时，抛物线的辉折式为)=x-2引+2，对称轴为直线=2。 则点D在抛物线L的对称轴左侧，符合题意： 6时，抛物线L的解析式为y二，2+2，对称轴为直线 则点D在抛物线L的对称轴右侧，不符合题意； 抛物线L的解析式为y= 2x-22+2=5x+2x 2 (3)解：存在， 令0=2x-2, 解得x=4, A(4,0), y=-2x-2+2. 直线1为直线x=2. :作点C(0,-2)关于直线1的对称点B, B(4,-2), 如图，当点P在x轴上方时，过点D作DM⊥OA于点M,作DP∥AB交AB于点P, 0C=201=4DM-,MA=4-1=3. 2 DM AM OC OA :∠AMD=∠AOC, △AMD∽△A0C, ∠CA0=LMAD, :DP∥AB, LADP=LMAD=∠CA0, 此时P引 如图，当点P在x轴下方时，将△ADP沿AD翻折得到△ADQ,延长DQ交AB与点P, 根据翻折可得∠ADP=∠ADP,=∠CAO」 过点Q作OG⊥AB于点N,延长NQ交DM于点G, 根据翻折可得AP=4Q= 2 ,DQ=DP=3,∠APD=∠AQD=90°， ∴.∠DQG+∠AQN=90° ∠DQG+∠QDG=90°， .∠AQN=∠QDG, ∠ANQ=∠QGD=90° .△AQN∽△QDG, AN ON A0 1 OG DG OD 2 ..2AN=OG,2ON DG, 设Qa,b),则0N=4-a,GQ=a-1,DG 3-b,AN=-b, -2b=a-1 可得 2(4-a=2 [14 a-5 解得{ 9 b=10 传 设直线DQ的解析式为y=kx+b, 把》©8)代入可得 3=-k+b 4 k=- 2 3 914k+b 解得 17 10-5 b= 6 4 :直线DQ的解析式为y= 10 3+ 3 当x=4时，y=-4x .175 ×4+1 3 6 2 4》 4.(1)y=-x2-3x+4 2)P(-2,6.7页 3)7-V265 6 【分析】(1)求出C(0,4)得到0C=4,由正切的定义求出0B=1,即B(1,0),由题意可得 A-4,0),再利用待定系数法计算即可得解； (2)求出直线AC的解析式为y=x+4,直线BC的解析式为y=-4x+4,由勾股定理可得 CE4k2从而得出s∠c03号0s∠AC0E设Pmm-3m+44<m<0 2 ,则Em,m+4),∠PED=∠AC0,求出PE=-m2-4m.得到PD=-5m2-2N2m 2 E2m2-22m,表示出△PDE周长=PE+PD+DE-2+儿m+2+42 由二次函数的性质可得，当m=-2时，△PDE周长最大为4V2+1,此时P(-2,6);将点P 沿直线CB平移7个单位长度得到点P,连接PM、OM、OP,则P向右平移；个单位 长度向下平移2个单位长度得到点P,即P(4, 由平移的性质可得PP'=MN, Pp'∥MN,从而可得四边形PP'MN为平行四边形，由平行四边形的性质可得PN=P'M, 由OM-PN=OM-P'M≤Op'并结合勾股定理计算即可得解； (3)由题意可得F(0,3),抛物线y=-x2-3x+4关于原点0对称的解析式为 25 求出y'=x2-x-2,由∠PAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF,得出 ∠BCQ=∠FAO+∠OCB,根据点Q为抛物线y上且在抛物线y对称轴左侧的一动点，作 QT⊥y轴于T,此时∠BCQ=∠OCQ+∠OCB,从而可得∠FAO=∠OCQ,设 -n-3 n,2-n-2则0T=-n,CT=-n+n+6.由an∠FA0=4:得出n2++6求 解即可 【详解】(1)解：在y=ax2+bx+4a≠0)中，当x=0时，y=4, .C(0,4, .0C=4, tan∠0cB= 4 OB 1 0C4' .0B=1,即B(1,0), 0A=4, .A-4,0） 将A-4,0),，B(1,0)代入二次函数的解析式y=ax2+bx+4a≠0)可得， a+b+4=0 16a-4b+4=0 a=-1 解得！ 1b=-3 ∴.二次函数的解析式为y=-x2-3x+4; (2)解：设直线AC的解析式为y=kx+b,k≠0)， 将A-4,0),C(0,4)代入直线AC的解析式可得 -4k+b=0 b=4· 「k=1 解得 b=4' .直线AC的解析式为y=x+4 设直线BC的解析式为y=kx+b2(k≠0)， k+b,=0 将B1,0),C(0,4)代入直线BC的解析式可得=4· [k=-4 解得 b2=4' ∴直线BC的解析式为y=-4x+4, .A-4,0),C(0,4), .0A=4,0C=4, .AC=0A2+0C2=4V2, sin∠4c0=40.4-V5 C04√2 AC4万=2，Cos∠ACO= AC 42 2 点P是直线AC上方抛物线上的一动点， ∴.设Pm,-m2-3m+4(-4<m<0), PE∥y轴交直线AC于点E, .E(m,m+4,∠PED=∠AC0, .PE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m 点P作PD⊥AC交直线AC于点D, .PD=PE.sin /PED-(-w-4m)x2m 2 2 DEPE-cos∠PED=-m2-4mX号=-2m2-2W2m 2 ∴·△PDE周长=PE+PD+DE agf号- =-(2+1m2-42+1m =-(2+1(m+22+42+1, -(2+<0, 当m=-2时，△PD周长最大为4V2+1,此时-m2-3m+4=-(-22-3x-2)+4=6, .P(-2,6i 如图，将点P沿直线CB方向平移T个单位长度得到点P,连接PM、OM、OP, 2 B .直线BC的解析式为y=-4x+4, 点P向右平移；个单位长度向下平移2个单位长度得到点P,即P(4),则 PP'=MN= 7 由平移的性质可得：PP'∥MN, .四边形PPMN为平行四边形， .PN P'M, OM -PN =OM -P'M s OP', .OM-PN的最大值为 +(4-0)2=3 (3)解：将点C向下平移一个单位长度得到点F, .F(0,3, 抛物线)=--3+4关于原点0对称的解析式为y=-3-4(--的 :将抛物线关于原点0对称后沿着射线BC方向平移√17个单位长度得到抛物线y, .将抛物线关于原点0对称后向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到y, 3 、2 .y'=x2-3x-4=x +1 25+4-x 1)2 9 4 =x2-x-2, 2 4 2 '∠PAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF, ∴.∠PAF+∠FAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF, ∴.∠BCQ=∠FAO+∠OCB, 如图，点Q为抛物线y上且在抛物线y对称轴左侧的一动点，作QT⊥y轴于T, VA :'∠BCQ=∠OCQ+∠OCB, ∴.∠FAO=∠OCQ 设gn,n2-n-2,则QT=-n,CT=4-n2-n-2=-n2+n+6, tan∠FA0=OF_3 A04 tan∠OCg=tan∠FA0=-n 3 -n2+n+64 解得：M=7-y265或n=7+y265(不符合题意，舍去)： 6 6 点0的横坐标为7-V265 6 5.0y=5x2-2x-6 aa》片 3(6,-4), 58156 7’49 过程见解析 【分析】(1)先求出点C坐标，再得出点B坐标，结合对称轴，利用待定系数法求解即可； (2）先求出直线BC的表达式为y=x-6,由AD∥BC,得出S△CBM=SACBA=24,可得 Spwc=24+SAPCB·则当△PCB面积取最大值时，四边形PBMC的面积也有最大值.过点P 作P0y辅较aC于点Q,板P-2-6j0<16.则01-1.得出 S心号P0B=+91.利用=次函数性质求出最大时P3) 过点M作 2 MN1x轴。交x轴于点N.得出5AM=MN,则PM-互 AM=PM-MN,当P,M, 2 N共线时，PM-5HM取最小值PV,即可求解， (3)先利用平移求出新抛物线解析式为=7-4x+2,再求出E(0,2),证明 △AOC≌△EOB.得出∠ACO=∠OBE,当点M在BE下方时，设EM,交x轴于点G,得出 LEG0=45°，求出直线EG的表达式为：y=-x+2,与y联立求解即可；当点M在BE上 方时，在EM上取-点太使得EK=BK,求出K(?》 可得直线BK的表达式为 y=-号.证明EM,少KB,可得直线EM,的表达式为：yx+2,与联立求解即可 【详解】(1)解：当x=0时，y=-6, C(0,-6). .0C=6. 0B=0C, .0B=6, B(6,0）. 由抛物线过点B(6,0),抛物线的对称轴是直线x=2, 36a+6b-6=0 (1 a= 得 b=2 ，解得 2 2 b=-2 所以抛物线的表达式为y=号x2-2x-6; 2 (2)解：由B(6,0),抛物线的对称轴是直线x=2, 点A的横坐标为2×2-6=-2， .A-2,0), 设直线BC的表达式为：y=kx+m(k≠0)， 6k+m=0 k=1 则 解得 m=-6 m=6 :直线BC的表达式为y=x-6, AD I BC, ∴.△CBM与△CBA同底等高， 5.caw=S.c4=2×[6-(-2]x6=24 S四边形PBMC=ScBM+SPCB=24+S.PCB· :当△PCB面积取最大值时，四边形PBMC的面积也有最大值 过点P作PQ∥y轴交BC于点Q, M 9B衣 设P-2-6j01<61.则0-. 0=46--2-6+， 3 :当1=乡-9、3时S有最大值此时，=x3-2x3-6=- 2a-3 过点M作MN⊥x轴，交x轴于点N. 0B=0C,∠B0C=90°， .∠0BC=∠0CB=45°， .ADI BC, LBAD=∠0BC=45° △AMN是等腰直角三角形 -AM =MN, 2 ·PM -AM PM MN 2 :当P.M,N共线时.PM-5AW取最小值PN 2 此时PN⊥x轴 此时PM-5AM的最小值为5 58156 (3)解：当M点的坐标为(6，-4， 7’49 满足LBEM+LAC0=45°，理由如下： :0B=0C,LB0C=90°， CB=√20B=V20C, ∴.将原抛物线沿射线CB方向平移2√2个单位长度，即水平向右平移2个单位长度，再竖直 向上平移2个单位长度， 新抛物线解行式为x-2-2x-2引-6+2-4x+2 :A(-2,0),由平移可得E(0,2). 0A=0E, 又OC=OB,∠A0C=∠E0B, △A0C≌aEOB(SAS. :∠AC0=∠OBE, 当点M在BE下方时，设EM交x轴于点G, :∠BEG+∠AC0=45° ∠BEG+∠0BE=45°，即∠EG0=45°， .∠EG0=∠GE0=45°， .EG=0G=2,则G2,0), 如图，可设直线EG的表达式为：y=px+gp≠0)， 代入G(2,0),E(0,2.则{。9=2 2p+g=0:解得 p=-1 9=2 :直线EG的表达式为：y=-x+2, 由题意可得：点M1为直线EG与y的交点， 1 令y=y得：-x+2=。x2-4x+2. 2 解得：x=6,x2=0(舍去) ·yM,=-6+2=-4. M,(6,-4); 当点M在BE上方时，在EM,上取一点K,使得EK=BK,如图， 设K(r,-r+2), 由EK=BK,得r2+(-r+2-22=(r-6)2+(-r+22, 解得 设直线BK的表达式为：y=r+d(∫≠O), 「6f+d=0 f= 代入160，引奥解得 6 2 2 d=- 6 :直线BK的表达式为：y=x- 77 由题意可得∠BEM,=∠BEM2, EK BK, .∠BEM1=∠KBE, .∠BEM,=∠KBE, .EM,∥KB, :设直线EM,的表达式为：y=+w, 将E(0,2代入，得w=2,即直线EM2的表达式为：y=三x+2, 令y=y得： x+2=x2-4x+2 1 2 解得：x= ,名=0（舍去. 58 158+2= 156 7 49 58156 ：M,749月 58156 综上，当M点的坐标为(6，-4) 7’49 6.(1)y=-x2+2x+3 ②( 3)存在， 或(2,3) 【分析】(1)先求出B,C的坐标，然后用待定系数法求解即可 (2）连接EG,DF,设F(m.-m2+2m+3,根据DF=2yp求解即可； (3)作CF‖AB,BF IlOC,根据P在BC上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】(1)解：当x=0时，y=3 .C(0,3, 当y=0时，0=-x+3,x=3, B(3,0) :二次函数y=-x2+bx+c的图象过B,C两点， c=3 [b=2 0=-32+36+c·解得： c=31 即：y=-x2+2x+3; (2)解：B3,0,C(0,3) .0B=0C, ∴.∠0BC=∠0CB=45°， 四边形DEFG是正方形， ∴.∠GDE=90°，GD=DE, ∴.∠DGB=∠GDE-∠0BC=45°， ∠DGB=∠OBC, ∴.GD=DB=DE, 连接EG,DF, GD⊥BE, ..GE =GB, .∠GEB=∠0BC=45°， .∠EGB=90°即：EG⊥OB, 四边形DEFG是正方形， .DF⊥EG,即：DF OB ∴DF,EG互相垂直平分，DF=2yF, 点F是第二象限位于抛物线上一点， ∴.设F(m.-m2+2m+3, -m2+2m+3=-xD+3,解得：xD=m2-2m, DF=xp-xg=m2-2m-m=m2-3m, .m2-3m=2-m2+2m+3, 2 解得：m=行m=3(舍)。 》 3)答：存在， 或(2,3)，理由如下 过点C作CF I AB,过点B作BFOC ∴.四边形COBF是平行四边形， .∠COB=90°，OC=OB .四边形COBF是正方形， 当y=0时，0=-x2+2x+3, .X1=-1,x2=3, .A-1,0)即：0A=1, 如图：当P在CB下方时，过点B作射线BA'使∠OBA'=∠AC0交OC于点A交抛物线于点P ,此时∠CBP+∠AC0=45°， '∠AOC=∠A'OB,OC=OB, .△AC0≌△A'B0ASA), .∴.OA'=0A=1 即：A'0,1, 设直线AB的解析式为：y=kx+n, 3k+n=0解得：k= n=1 3n1, 1 即：y=x+l, 1 y=-x+1 3 y=-x2+2x+3 2 x=3 y=0 (舍)或 3 11 9 当P在CB上方时， 作点A关于BC的对称点D, ,四边形COBF是正方形， 点D在CF上，DF=OA'=1,OB=CF, .D(2,3, x=2时，y=-22+2×2+3=3, .D在抛物线上， '△DFB≌△A'OB(HL), ∴.∠DBF=L'BO=∠ACO, 当P与D重合时，∠CBP+∠AC0=45°，此时，P(2,3, 综上：存在， 211 3'9 或(2,3) 7.@r+-4 (2P点坐标为 2 3)V3-2或-10+v85 3 【分析)(1)先求出C(0,-4),再根据0A=0C,A在x轴负半轴，求出A-4,0),将 A-4,0)、B2,0)代入抛物线即可求解 (2)先求出顶点 D-1,-2 从而求出直线AD解析式，根据PE∥BC, BC=V22+42=2V5,得出LPEC=∠BC0,从而得 sim∠PEc=A=sin∠Bco=OB-2=5 PE 53求出E5PE,设P,m 5 3 则Fm,2m-6 即可表示出PF+ 1 27 7 PE=-2m2-2m-2,得出当m= 时 5 PF+5PE取得最大值，求出P点坐标为 711 5 (28 将P向左移1个单位得 则PP'=MN=L,PP'∥MN,证出四边形PP'MN是平行四边形，则 P,作点0 21 关于y轴的对称点H'0, 8 ,得PN+MH=p'M+MH'≥P'H' ,则当点P,M,H'共线时，PN+MH最小，最小值为P'H',求出PH',即可解答. ;报据范意得出抛物线)+：-4x4-号沿谢线8C方向平移5个单位长度 1 即将抛物线)=+x-4向下平移2个单位长度。再向左平移1个单位长度，求出新抛物 线解析式为：儿=方+2x号，分①当点0位于直线4R上方时，②当点0位于直线R下 方时，分别画图求解即可， 【详解】(1)解：在抛物线y=ax2+bx-4中，令x=0,则y=-4,则C(0,-4), 0C=4, ,0A=0C,A在x轴负半轴， .A-4,0）, 16a-4b-4=0 将A(-4,0)、B(2,0)代入抛物线得 4a+2b-4=0' 解得：a=2b=l, ∴抛物线表达式为：y=x+x-4 2 2)解：地物线表达式为：y=+-4 顶点 设直线AD解析式为y=x+b, 9 3 2 =-k+b k= 则 2 解得： 0=-4k+b b'=-6 3 ∴直线AD解析式为y= x-6, 2 C(0,-4, 设直线BC解析式为y=kx-4, 则0=2k'-4,解得：k'=2, .直线BC解析式为y=2x-4, .PE//BC,BC=2+42=25. ∴.∠PEC=∠BCO, .sin∠PEC= =sin∠Bco-oB-2=5 PE BC255 5PE 5 .PF=yF-yp=)m2、J 1 m-2, 2 m-2, 2 2 2 这是开口向下的=次画数改当侧=号时。作+5E取得最大值 将m=号代入得y= 8 ∴P点坐标为 711 28 ww=1,芳P向左移1个单位限P号》 连接PM, E H A B衣 则PP'=MN=1,PP'∥MN, ∴.四边形PPMN是平行四边形， .∴.P'M=NP 作点H0烈)关于精的对称点H0) 8/ 连接MH',P'H' 则MH=MH', .PN MH P'M MH'>P'H', 当点P,M,H'共线时，PN+MH最小，最小值为P'H', P'H'= 922111 0 V145 2)+8+8) 2 一PN+MH的最小值为4 3)解：BC=V22+4=2V5,B(2,0),C(0,-4), 一抛物线y+x-4=x+?沿射线8C方向平移5个单位长度，即将担物线 2 y=2产+x-4向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度 新抛物线解析式为：y=x+1+12-9-2=)x+2x-9 2 21 ①当点Q位于直线AR上方时， AR⊥BC, .∠ARC=90°， ∠1=∠2，LA0K=LARC=90°， .∴.∠OAK=∠KCR, 即∠QAR=∠OCB,点Q是y与x轴的交点， 在+2x号中，令+2 2 解得：x=-V3-2(舍去)或x=V3-2, .点Q的横坐标为√3-2 ②当点Q位于直线AR下方时， 如图，∠LAK=∠OAK, '∠OAK=∠KCR, tan∠O4K=OK-tam∠kCR=tmn∠0CB=OB-) OA 0C2 A-4,0) .A0=4, .0K=2, 过点K作KG⊥AL,则KG=OK=2, 设KL=x,GL=y,则x2=y2+4, :tan∠AL0=A0=tan∠GLK=GK OL GL ,4=2.即x=2y-2, 2+x y .(2y-2)2=y2+4, 解得：少或=0舍去. x=3x22-10 3 0L=10+2= 16 3 3 a9》 设直线机的解折式为y收-台。奥0=4松台解得： 3 心直线AL的解析式为y=-4x-16 3 3 联立y= -和%+2}理得3+2045-0 解得：x=-10+5或=10：V85合去，此时∠0R为钝角). 3 3 点0的横坐标为-10+V⑧5 3 综上，点0的横坐标为3-2或-10+v85 3 32 8.四)y=-23 (2)P(-2,3) (3)点Q的坐标为(-1,3)或-1-25，-3-3V5) 【分析】(1)利用待定系数法计算即可得出结果； (2）过P作PF∥y轴，交BD于F,求出C(0,2),从而可得直线AC解析式为y= x+2, 123 y=- 进面得出直线0的解折式为y分联立 2+2 ,可得D(-5,-3,设 11 2x-2 y= (11 3x+2,则Fx2PF=-2x-2x+2表家出 2 2 S.Pm=PF(a-xp)=- +2+2 ,结合二次函数的性质可得当x=-2时，S0最大， 由SEBD是定值，且SPBD=SPBE+S,EBD,可得SAPBE最大，即可得出结果； (3)设OP与AC交于点L,由勾股定理可得AC=2√5，结合二次函数图象平移的性质可得 y=-++4,先证明∠04=乙40P,从而可得B00P,求出P等折式为 -1x+x+4 y'= 少、3 产a0解武为v专x+之当V时，联立。 2 2 计算即可得 33 J=- 二x+ 22 出Q-1,3)；设9关于x轴对称点为9(-1，-3)，求出 1 1 y'=-1x2+x+4 x-号，联立3232，计算即可得出结果 33 直线Bg解析式为y=一x-, 2 y=-x- 2”2 【详解】(1)解：抛物线y=ar2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B1,0)两点， 16a-4b+2=0 a+b+2=0 1 a=- 解得 3 b=- 2 1 3 ∴.抛物线为y=-二x2-。x+2 22 (2)解：如图，过P作PF∥y轴，交BD于F, 在y= -12-3 2* 2x+2中，令x=0,则y=2 ∴.C(0,2 设直线AC解析式为y=kx+2k≠0)， 把A-4,0)代入，得-4k+2=0, 1 解得k= .直线AC解析式为y=二x+2, 2 BD∥AC, 1 ∴设直线BD的解析式为y=x+m, 把B山，0)代入，得)+m=0 1 解得m=- 1 ∴直线BD的解析式为y=一x- 22 22 x+2 联立{ 11 y=2-2 [x=-5x=1 y3或 解得 y=0 .D(-5,-3 设P方-+则兮》 .'PF= 12- swF6-n--2x+-列-+2+ -1<0, .当x=-2时，SPD最大， 'S.EBD是定值，SPBD=SPBE+S,EBD, SAPBE最大 ∴当△PBE面积最大时，P(-2,3) (3)解：设OP与AC交于点L, A-4,0,C(0,2), .AC=V0A2+0C2=25, ∵将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y, 抛物线y=-1x2_3x 21 )x+213+25,向上平移1个单位长度，再向右平移2个单 2x+2+ 8 8 D=—>x2±2子 点P为点P的对应点， .PP∥AC, .∠0Pp'=L0LC, ,'∠AOP=∠OLC-LBAC,且∠QBA=∠OPP'-∠BAC, ∠QBA=∠AOP, .∴.BQ∥OP 设OP解析式为y=mx 把P(-2,3)代入，得-2m=3, 3 m=-2' OP解析式为y=-3 3 设BQ解析式为y= x+n, 2 把B1,0)代入，得-3 +n=0, 2 3 :.n2' 33 B0解析式为y=-2x+2 1 y'= 12+ x+4 2 2 当y=y时，联立 33 y= -2x+2 x=-1 y3或 解得 x=5 y=-6 (舍去) .9-1,3); 设2关于x轴对称点为2(-l,-3),直线Bg'解析式为y=ax+d, a+d=0 把B(1,0),Q(-1,-3代入，得 -a+d=-3' 3 a=- 解得 2 3 d=- 2 直线g解折试为y弓-片 1 1 y'= x2+ x+4 联立 2 2 33 y=2x-2 x=-1+25 x=-1-25 解得 (舍去)或 y=-3+3V5 y=-3-3√3 0-1-25,-3-35 综上所述，点Q的坐标为(-1,3)或(-1-25，-3-35 1 9.(1)y=-。x2+x+4 ny +5原 3)点K的坐标为4-13,23-2或(-3，-2-23) 【分析】(1)把A,B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； (2)先求出C(0,4),进而求出直线BC的解析式为y=-x+4, 设P*+4>. D(x,-x+4),如图1，设直线PN交直线BC于点D,根据PN∥AB,可知点P与点D的 级坐标相等，则+1+4=+4，计算PD的长，计算 2V2PM+PN=2PD+PN=-(t-3+7,连接PE,作P关于y轴的对称点P（-3,2),连接 EP,当B,E,B三点共线时，PF+EF+BE有最小值，其最小值是PB的长，即可解答； 《3)先求平移后地物线解折式y=2+2+45。再求抛笏线y与轴的交点坐标、可 得OB'的长，求出∠QBK=∠PQB=45°，当点K在x轴的上方，设Km,2 1 m2+2m+4.5 ,则B'℉=0B'-0F=2+√3-m,得-二m2+2m+4.5=2+V13-m,解方程求出m的值 即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标 【洋解1山得将4-20.84,0代入y=+r+c叶得 2 4-2b+c=0 2x16+46+c=0 b=1 解得 c=4 抛物线解析武为y=-x2+x+4; 2 (2)解：抛物线的对称轴是：直线r=-2+4-1, 2 当x=0时，y=4, .C0,4, 设直线BC的解析式为y=k+b', [b=4 4k+b'=0 「k=-1 解得 b=4 ∴直线BC的解析式为y=-x+4, 设P*+4小>. 如图1，设直线PN交直线BC于点D,D(x,-x+4), P 图1 :C(0,4,B(4,0), .0B=0C=4, ∠B0C=90°， .△BOC是等腰直角三角形， ∴.∠0BC=45°， PN∥AB, .PN=2t-1)=21-2,∠PDM=∠ABC=45°，点P与点D的纵坐标相等， 吃2子+1+4x+9 x=2-t. 2 PD=1-x=1-+1=-+2, 2 2 'PM⊥BC, .∠PMD=90°， ∴，△PDM是等腰直角三角形， ∴.PD=√2PM, 22PM+Pw=2PD+PW=2-+2+21-2=-+6-2=--3+7 当1=3时，2PM+PN有最大值，此时点P的坐标为3，引》 把点P的坐标为 向下平移，个单位得P3,2). 连接PE,作R关于y轴的对称点P(-3,2),连接EP, .PEPE, PR=EF=2 ，PP∥EF, ∴.四边形PPEF是平行四边形， ..PE=PF, PF+EF+BE=RE+1+BE=BE+1+BE 当B,E,B三点共线时，PF+EF+BE有最小值，其最小值是BB+】 2 -3,2,B(4,0), ∴.PB=V4+3)2+(2-02=V49+4=V53, PF+EP+BE的最小值是+5原 图解=++4=x-+号 2 2 ∴.将抛物线沿着射线AC方向平移√5个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2 个单位， 平移后的银物线的解行式为：少--2+号=古+2x+45. 令y=0,则-1x2+2x+45=0. 2 解得：x=2+√3或x=2-V13 设点B为函数y与x轴正半轴的交点， B'(2+13,0. 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作PE⊥x轴，过点K作KF⊥x轴于点F, B 由(2)知 OE-3,PE-5 e 00= QE=0E-00=3 .PE=OE, .POE是等腰直角三角形， .∠PQB=45° ∠QBK=∠PQB, .∠QBK=45°， ∴·△KFB是等腰直角三角形 ..KF B'F, 设Km+2m+45 则B'F=0B-0F=2+V13-m, -1m2+2m+45=2+5-m. 2 解得m=4-√3或m=2+√13（此时K与点B重合，不合题意，舍去） 、 2㎡+2m+45=23-2. K(4-13,213-2 ②点K在x轴的下方时，同理可得m=-厅，+2m+45=2而-2. .K-V13,-2-213 综上，点K的坐标为(4-V3,23-2或-√3，-2-23 10.(1)y=-x2+6x-5 (23v2四 4 3训-4，-5列或525 4221 【分析】(1)把A(1,0),C(0,-5),代入抛物线解出即可. (2)根据PQ∥x轴，用含t的式子表示出PQ,通过配方求出PQ取最大值时的P的坐标， 再根据抛物线的对称性转化MA=MB,此时MB-MP=MA-MP,根据三角形三边关系知 MA-MP≤AP,当A、P、M共线时MA-MP有最大值，从而求出最大值为AP的长度. (3)根据沿直线BC进行平移，设出新抛物线的解析式，从而求出直线与抛物线的交点D, 再根据LOCA+LACB=45°，∠KDC+∠ACO=45得到LKDC=∠ACB,进而得到 DK∥AC,根据直线平移的性质可知直线DK和直线AC的k相等，求出DK的解析式，最 后求出K的坐标，第二种情况是在直线BC下方，过D作DK'交抛物线于K交y轴于H, 使得∠CDK=∠ACB=45°-∠ACO,过D作DG⊥y轴，根据∠ACO=∠GDK得到 化求出H的坐标联立直线和平移后的地窃线，从而末出K的坐标 【详解】(1)解：已知抛物线y=-x2++c过A1,0),C(0,-5), -12+a+c=0 解得 a=6 将A(1,0),C(0,-5)代入解析式得 c=-5 c=-5 .抛物线的解析式为y=-x2+6x-5· (2)解：连接AM, 当y=0时，-x2+6x-5=0, 解得x=1,x2=5, A1,0), .B5,0; 设直线BC的解析式为y=+b(k≠0)， 把B(5,0),C(0,-5)代入得 「5k+b=0「k=1 6”5解得65 直线BC的解析式为y=x-5, 设P(t,-t2+6t-5), PQ∥x轴， .yo=yp, .-t2+6t-5=x-5, .x=-t2+6t, 0-6-+-=f49--+头 “当1时。Q取最大值空 an 由抛物线的对称性可知A,B关于抛物线的对称轴对称，且M在对称轴上， .MA=MB, ∴.MB-MP=MA-MP 根据三角形三边关系知MA-MP≤AP, .当A、P、M共线时MA-MP有最大值，最大值为AP的长度， .AP 9,2252613√29 4 MA-MP的最大值为3V29 (3)解：①当K在直线BD上方时，过D作DK∥AC交抛物线于K, B 抛物线是沿直线BC进行平移， ∴设向右平移t个单位，向上平移个单位， ∴.新抛物线的解析式为y=-(x-3-)2+4+1, 新抛物线过C(0,-5), ∴.-(0-3-t)2+4+t=-5, 解得1=-5，t=0(舍) .平移后的抛物线解析式为y=-(x-3+5)2+4-5=-x2-4x-5; 联立方程组 y=x-5 y=-2-4r-5得：-x2-5x=0. 解得x=0,x2=-5, 新抛物线与直线交于C,D两点，且C(0,-5), x0=-5, .D(-5,-10) C(0,-5),B(5,0 .0B=0C=5, .∠0CB=∠0BC=45°， ∴∠0CA+∠ACB=45°， 当∠KDC+∠AC0=45°时， .∠KDC=LACB, .DK∥AC, A1,0),C0,-5. ∴.同法可求出直线AC的解析式为y=5x-5, 根据直线平移的性质可知直线DK和直线AC的k相等， 设DK的直线解析式为y=5x+b,新抛物线上的K(a,-a2-4a-5), 把D(-5,-10)代入得5×-5+b=-10, 解得b=15, ∴.直线DK的解析式为y=5x+15, .5a+15=-a2-4a-5, 解得41=-4，a2=-5 .D(-5,-10) .K(-4,-5) ②当K在直线BD下方时， B 过D作DK'交抛物线于K'交y轴于H,使得∠CDK=∠ACB=45°-∠ACO,过D作 DG⊥y轴于点G ∴.∠ACO=∠GDK, ∴.tan∠GDK'=tan∠ACO HG OA 1 DG OC 5 DG=5, .GH=1 .H(0,-9) 设过DK'的直线解析式为y=mx+n(m≠0)， 1 -5m+n=-10 0xm+n=-9' 解得 m25 n=-9 DK'的直线解析式为y=三x-9, 5 1 y=-x-9 联立方程组 5 整理得5x2+21x-20=0, y=-x2-4x-5 解得x=-5,2= D(-5,-10) 2.K' 4221 5-25 4 221 综上，点K的坐标为(-4，-5)或 5’25 11.(1)y= 329、 x+6 8 4 (2)点P 1028 3’3 PM+MN+ND+DH的最小值3iO0+5 3 (3)点R的横坐标为 3或、 2 过程见解析 33 【分析】(1)使用待定系数法求函数的解析式即可； {2)先计算出AC的解析式为y=x+6,则-3， 3 15 设点P的坐标为 3 2之2 则点0的坐标为m,二m+6,由计算可得 8 PQ-3QI-- 1028 坐标为33) 以MP、MN为边向下构造平行四边形MNEP,作点H关于BC的对称 点H',连接BH',DH',EH',连接HH'交BC于点J,作HF⊥x轴于点F,作 NG⊥MH于点G,容易得到△BC0∽△NWG,则MG=9,MN=3V10,由点M到点N的 平移远程可得( ·由轴对称的性质可得，BC垂直平分线段HH',则DH=DH', BH=BH',HJ=HJ,∠BJH=90°.通过△BHD∽△BC0和△BIH∽△HFH可得，点 H'(6,3),则m'-5N.结合已知条件可得 3 PM+MW+ND+DH=3V10+EN+ND+DH'≥3V10+EH',因此当E、N、D、H'四点 共线时.PM+MN+ND+DH取得最小值3O+57 3 (3)根据点A、C的坐标确定平移方式为向右平移4个单位，向上平移3个单位，则新抛 物线y=意x-+9联立方程可得点K49),分类讨论，当点在直线4C下方时， 在AB上取点E,使得∠BCE=45°，过点E分别作AC、BC的垂线，垂足为G、F,容易判 断△CF是等腰直角三角形，结合三角函数和勾股定理可计算出BF= 0,30 2 BE=5,则点E(-3,0),OE=3.同理可得EG=3=OE,因此∠0CE=∠GCE,结合题干 可得∠RKA=∠GCE,则CE∥KR,计算得直线CE的斜率为2，进而可得直线RK的函数解 析式为y=2x+1,联立方程可得点R的横坐标为- ；当点R在直线4C上方时.设RK交 22 y轴于点H,作LAK于点L,利用相似三角形可计算得H= 20,I=名，升三25 11' Γ11 9 ,从而得到点H的坐标为 求出直线RK的函数解析式，再与抛物线联立，可求得点 R的横坐标为 82 33 【详解】(1)解：将点A-8,0)、B(2,0)代入y=ax2+bx+6,得， 0=64a-8b+6 0=4a+2b+6' a=-3 解得 8 9 b=-4 ·二次函数的解析式为y=-3x_9 x+6; 8 4 (2）解：y= _32_9 841 +6s- 8x+3到+75 该抛物线的对称轴为直线x=-3, ∴.点H的坐标为(-3,0)， 将x=0代入y=3x-9 +6,得y=6 84 点C的坐标为(0,6， .A-8,0),B(2,0),C(0,6),H-3,0) 0A=8,0B=2,0C=6,BH=5, 设直线AC的函数解析式为y=kx+b, 将点A-8,0),C0,6代入y=kx+b,得， [0=-8k+b 6=b 3 解得 k24 b=6 ∴直线AC的函数解析式为y= x+6, 将=-3代入y=子46。得y= 3 4 点1的坐标为 设点P的坐标为m,3m-9 m+6, 则点0的坐标为m子m+6】 P0=-m2 3 m+6-3, 9 8 +6-m 由勾股定理可得， 0r--+6-9-m+ 由题意可知，-8<m<-3, 515 ∴.Q1=-gm- 4 4 P0-201=-3m2-3m 8 2 m+2 =-3m+10217 m 8 +3+3 …、 80 当m=9时。PQ-0取得最大值}光时点P的坐标为9 1028 如图，以MP、MN为边向下构造平行四边形MNEP,作点H关于BC的对称点H',连接 BH',DH',EH',连接HH'交BC于点J,作HF⊥x轴于点F,作NG⊥MH于点G, 三 H EO '点N在y轴上，且NG⊥MH, 又MH为直线x=-3, .NG=3,∠NGM=90°=∠B0C, MN∥BC, ∴.∠MNC=∠BCO, MH∥y轴， ∴.∠NMG=∠MNC=∠BCO, ∴.△BC0∽△NMG, 0B、 OC NG MG MG ∴.MG=9, 在RIAMNG中，Mw=√MG2+NG2=3Vo, 在RtaB0C中，BC=V0B2+0C2=210, .'MG=9,NG=3, 点M向右平移3个单位，再向下平移9个单位得到点N, 又四边形MNEP是平行四边形， ∴.点P向右平移3个单位，再向下平移9个单位得到点E,且PM=EN ∴点E的坐标为 11 3'3 点H与点H'关于BC对称， .BC垂直平分线段HH', .DH=DH',BH=BH',HJ=HJ,∠BJH=90°=∠BOC, '∠HBD=∠CB0, .△BHD∽△BC0, =3 ,B= 2 2 .H册'=2HJ=3V10, HF⊥x轴， .∠HFH=90°=∠BJH, '∠BHJ=∠HHF, .△BH∽△HFH, 、BJ HJ BH5 用==丽=30 .HF=3,HF=9, ..0F HF OH =6. 点H'的坐标为6,3)， 由勾股定理可得， EH MN=310,DH DH',PM EN, .PM +MN ND+DH =3v10+EN ND+DH'310+EH', .当E、N、D、H'四点共线时，PM+MN+ND+DH取得最小值 3Vi0+EH'=3Ni0+57 1028 综上，此时点P 3’3 PM+MN+ND+DH的最小值3NO+5匝， 3 (3)解：A-8,0),C(0,6, 又AC=V82+62=10, ∴沿着射线AC方向平移5个单位长度等价于向右平移4个单位，向上平移3个单位， 新物线=x4-4小药3 8 联立直线AC与抛物线y,得， 3 y=x+6 4 8 x=4sx=-4 解得 或 y=9或y=3' ·点K在新抛物线对称轴的右侧，即xx>1, ∴点K的坐标为(4,9)， ①当点R在直线AC下方时，如图，在AB上取点E,使得LBCE=45°，过点E分别作AC、 BC的垂线，垂足为G、F, G 由(2)可得，0A=8,0B=2,0C=6,BC=2V10, EF1BC,∠BCE=45°， ∴.△CEF是等腰直角三角形， .CF=EF, 在R1a0BC中，an∠OBC=OC =3, OB .在RtABEF中，EF=BFCan∠OBC=3BF, BC CF BF =4BF =210, BF= 2 2.EF =3BF =310 2 由勾股定理可得，BE=√BF2+EF2=5, ∴点E的坐标为(-3,0) .OE=3,AE=5, 在Rta0AC中，sin∠0AC=OC_3 AC 5 3 .在RIAAEG中，EG=AE·sin∠OAC=5× =3, 5 ..OE EG 在Rt△CEO和RtCEG中， OE=EG CE=CE ∴.RIACEO≌RtACEG(HL), .∠OCE=∠GCE, ∠0CE+∠BC0=45°，∠BC0+∠RKA=45°， ·∠RKA=∠OCE=∠GCE, .∴.CE∥KR, 设直线CE的函数解析式为y=k,x+b,, 将点E(-3,0),C0,6代入y=k2x+b2,得， 0=-3k2+b2 6=b2 解得 k=2 b2=61 .直线CE的函数解析式为y=2x+6, 设直线RK的函数解析式为y=kx+b, 'CE∥KR, ∴.k=k2=2,即直线RK的函数解析式为y=2x+b, 将点K(4,9)代入y=2x+b,得b=1, ∴直线RK的函数解析式为y=2x+1, 联立直线RK与抛物线y,得 y=2x+1 y=- x-+ 8 22 x=4 X=- 解得 或 y=9 41 y=- 3 点R的横坐标为- 22 3 ②当点R在直线AC上方时，如图，设RK交y轴于点H,作I⊥AK于点I, G 由勾股定理可得，CK=V4-0)2+(9-6)2=5, HI⊥AK, ∴.∠HIK=∠HIC=90°， .∠AC0=∠HCI, .△AC0∽△HCI, :C7 HI 即I- HI OC OA' 6-8 c=2m, 4 同理①可得，∠RKA=∠OCE, .∴.△HKI∽△EC0, =，即= OE OC 36 .KI 2HI, .'CK =CI +KI =5, 3H+2H=5, 解得HⅢ= 20 4 .CI =3HI= 15 11 由勾股定理可得，CH=VCI2+HI2= 25 11 ∴点H的坐标为 0 11 设直线RK的函数解析式为y=k4x+b4, 将点H 91 011 K(4,9)代入y=k4x+b4,得 9=4k4+b 91 =bs 11 2 解 k 91 ∴直线RK的函数解析式为y= 2 91 11 联立直线RK与抛物线y,得 2.91 y= -x+ 1111 少=-x-12+99 8 82 解得 x=4 x=- 33 y=9 2839 363 ∴点R的横坐标为 82 33 综上所述，点R的横坐标为 3 或、82 33 1 3 12.(1)抛物线的函数表达式为y=-二x2-x+ 2 2点P的坐标为2引 PF+F的强小值务6 5 (1975 3点G的坐标为1,3)或749 【分析】(1)利用待定系数法求出b,C,即可得出结果 (2)先求出直线4C的函数表达式令点D的坐标为， 点P坐标为 2 -+》 可得PD表达式，过点D作DG⊥y轴交于点G,可得二CE=CG,故得 出PD+二CE的表达式，得出其最小值时点P的坐标，过点B作平行线BH∥AC,过点F作 FK⊥BH交BH于点K,连接PB,证出FK=5FB,故PF+5BF的最小值为PF+FK 的最小值，即P、F、K三点共线时，PF+FK最小，过点P作PL⊥BH交BH于点L,求 出PL的值即可得出结果， (3)由(2)可知，沿射线AC方向平移√5个单位等同于向右移动2个单位，再向上移动1 个单位，得出新抛物线y表达式，过点M作MH∥x轴，当点G在直线AC左上方时 ∠G,MN+∠CAO=45°，过点G作G,F⊥MH交MH于点F,由直角等腰三角形的性质求出 G坐标，作点G关于直线MN的对称点K,延长MK交抛物线y于点G,由对称的性质， 求出点K坐标，得出直线MK表达式，求出交点G,坐标， 【详解()解：超物线y”=+6加+e的对称轴为直线：=-1， b 2× 2 解得b=-1, 即y=-x2-x+c, 2 将点L0代入=号-+e 1 得到0=- -1+c, 3 解得c= 2 故抛物线的函数表达式为y=- 3 2-x+ 2 2 (2)解：对于抛物线y= x2-x+ 2 当y=0时，解得x=-3或x=1, 即点A-3,0), 当x=0时，y= 3 得点C0,2 令直线AC的函数表达式为y4c=+b, 代入A-3,0), 0=-3k+b k= 3-b 解得{ b= 2 直线AC的函数表达式为yc= ”2 令点D的坐标为宁+引 则点P坐标为-1+》 过点D作DG⊥y轴交于点G,如下图所示： 图1 DC=DE, .co-CE-) 当PD+二CE取最大值时，t=-2, 此时点2》 过点B作BH∥AC,过点F作FK⊥BH交BH于点K,连接PB,如下图所示： 图1 BH∥AC, .∠CAO=LKBF, 1 令直线BH的函数表达式为ym= x+b, 代入B1,0), 得0分+b,第得6=分 1 1 .直线BH的函数表达式为yH=。x- 2 2 0A=3,4C=35 0c=3 2 sin∠KBF=F B,sin∠CA0=OC-V5 AC 5 .FK_5 FB 5 FK5FB PF+5BF的最小值为PF+FK的最小值， 即P、F、K三点共线时，PF+FK最小， 过点P作PL⊥BH交BH于点L, 故PF+5BF的最小值为PF+FK的最小值即PL的值 a1a-1 令点L的坐标为a,2a-2 点2》 B1,0, PL⊥BH, .PB2=PL2+LB2. 2-r+2-a+侵*o-旷+-八 化简得5a2-a-4=0, 解得a=1(舍去)或a=-4 点L的标为 即PF+ PBF的最小值为V5 5 (3)解：由(2)可知，沿射线AC方向平移√5个单位等同于向右移动2个单位，再向上 移动1个单位 A(-3,0), .M(-1,1, 且新抛物线y表达式为=-2-(x-2到+31=+x+ 2 过点M作MH∥x轴，当点G在直线AC左上方时，∠G,MN+∠CAO=45°，过点G作 G,F⊥MH交MH于点F,如下图所示： 图2 MH∥x轴， ∴.∠CAO=∠NMH, .∠GMN+∠NMH=∠G,MF=45°， G,F⊥MH, .MF=G F, 令点F坐标为，川，则G)+s+ 2 2 3 .MF=s+1,GF=- 2 s2+8+ 即s+1=- 2+5+3 2 化简得s2-1=0 解得s=1或s=-1(舍去)， 此时点G坐标为1,3)； 作点G关于直线MN的对称点K,延长MK交抛物线于点G,如下图所示： 图2 令K(m,n, 可得MK=MG,GK中点在直线AC上， 22+22=(m+1)2+(n-)2 m m=-3 n=-1(舍) 95 3+n_11+m）,3,解得 2=222 n= 1-5 即K 97 5'5 令直线MK的表达式为yMK=kx+b, 代入M(-1,1), 1 1=-k+b k= 得 79, 解得 > 55+b' b= 7 8 直线MK的函数表达式为yMK=x+ 7 7 联立yMK= 7x+和片= 18 1 5 7 x2+x+ 2 5 得1x+8=-12+x+ 721 2 化简得7x2-12x-19=0, 解得x=-1(舍去)或x=9 119,875 得w=7X7+749 1975 ∴点G,坐标为 7’49 综上，点G的坐标为1,3)或749 1975 r+x+3 1 13.(1)y=- 3-8-30)或；50 39 【分析】()先求得0C=3.再由5ac01x0C=3,求出0A=2,即可得到A-2,0, 再根据抛物线的对称轴求出点B(6,0),即可设y=ax+2)(x-6),再代入C(0,3),即可求 解抛物线表达式， 2)廷长PE交x轴于点G,可术直线BC:y=+3.而BC=DB+0C-35.设 P如子m+m+3则E心m+3)那么PE=m-+子奥当=3时，PE取 得最大值〉，证明△PDE∽△BOC,求出PD=25PE,DE=5PE,则△PDE周长 =Pm+DE+PE-号5PE+5PE+PE=+号]PE.因此可得当PE取得最大值时， △PDE周长取得最大值，此时P3,) 过点A作BC的平行线，延长PD交平行线于点J, 过点F作FILAJ于点I,连接P1,则由sin∠F41=sin∠0BC得到FI=5 AF,故 5PF+AF=5 -AF 那么5PF+AF=√5(PF+FI)≥√5PI≥V5PJ,故 V5PF+AF的最小值为5PJ,设PJ交x轴于点K,由△PGk∽△BOC求得GK=15 8 PK=155.则k=4Ksin∠FAI=5,那么PI=PK+K=5,即可求解 P P √5PF+AF的最小值： 3)先求出平移后的抛物线)/=-x-4+6,则顶点K4,6.Q0,2引.当点M在0K上 方抛物线上时，过点Q作OS∥OB,过点B作BS⊥OS,然后延长BS至点P,使得PS=BS ,连接OP,可证明∠@=∠，则MK/PO,求出P(6,4),则oy=3+2,设 wy=写x+1,代入K4,6)求得1wy写+14，再与抛物线/=寻x-4+6联立求解 1 M即可；当点M在QK下方抛物线上时，则L4=∠3，设直线KM交QP于点Z,则 ZO=ZK, 2（写+2得到方1：-0传+2-2=-4+2-6求 73,引.那么ay=3x-6,再与抛物线)/=x-4+6求解M即可 【详解】(1)解：对于y=ax2+bx+3,当x=0时，y=3 .C(0,3),则0C=3, SA40C=104xOC=3 2 .0A=2, .A-2,0）, 抛物线对称轴为x=2, ∴抛物线与x轴的交点B(6,0), 设y=a(x+2)(x-6), 代入C(0,3),则-12a=3 解得a1 4’ 1 y=-4x+2(x-6列 “抛物线的解析式为y=+3 (2)解：延长PE交x轴于点G, FG 设直线BC:y=kx+b, 代入点B(6,0),C(0,3得： 1 6k+b=0 k=- 解得 2 b=3 b=3 ∴直线BC:y= 2+3, B(6,0),C(0,3 .OB=6,OC=3, .BC=V0B2+0C2=3V5, 设Pmm+a+3》 PE∥y轴交直线BC于点E 1 Em-m+3 .PE=-m2+m+3- 1 4 2 4 :、1 <0,0<m<6, 4 .当m=3时， PE取得银大性程 PE∥y轴 .∠OCB=∠PED, PD⊥BC, .LPDE=∠B0C=90° .△PDE∽△BOC, PD DE PE BO OC BC PD_DE PE 6335 PD-25PE.DE-5PE 5 △PE周长-=PD+DE+PE-号5nE+5PE+PE-(+g5PE ∴当PE取得最大值时，△PDE周长取得最大值， 此P) 过点A作BC的平行线，延长PD交平行线于点J,过点F作FI⊥AJ于点I,连接PI, ∠FA1=∠OBC, .sin ZFAI=sin∠OBC 0C-I。3V5 BC AF 35 5 心M=5 AI∥BC,PD⊥BC .PJ⊥AI, ∴.V5PF+AF=5(PF+FI≥V5PI≥V5PJ, .√5PF+AF的最小值为√5PJ, 设PJ交x轴于点K, PD⊥BC,∠B0C=90 .∠PKG=∠0CB=90°-∠0BC '∠PGK=∠B0C=900 ∴.△PGK∽△BOC .PG_GK PK ·BO=CO=BC 15 ·4=GKPK 6=335 GK=15 PK=155 8 AK=AG-GK=2+3-15_25 88 .KJ=AK.sin∠FAI= 2555 858 PJ=PK+KJ=55】 2 5PF+AF的最小值为5=V5x5=25 2 2 (3)解：∠C0B的角平分线与x轴正方向夹角为45°， ∴.当抛物线y=ax2+bx+3沿∠C0B的角平分线方向平移2√2个单位长度时，相当于向上平 移25× 2=2个单位长度，向右平移2个单位长度， y=-x2+x+3=-(x-2)2+4, 4 4 平移后的抛物线/=x2-2+4+2.即y=x-4+6 ∴.顶点K(4,6). 令x=0,则y=2 90,2, 当点M在QK上方抛物线上时，过点Q作QS∥OB,过点B作BS⊥QS,然后延长BS至点 P,使得PS=BS,连接OP .∠1=∠QBA,QP=QB ∴.∠1=∠2=∠QBA ∴.∠PQB=2∠QBA '∠3+∠PQB=∠KQB ∴.∠3+2∠QBA=∠KQB .∠KQB=2∠QBA+∠MKQ ∴.∠MKQ=∠3 .MK∥Pg. QS∥OB,BS⊥QS,PS=BS .P(6,2+2,即P(6,4), 0(0,2), .同(2)可求10y=x+2, 3 设1wy=3+t. 代入K(4,6)得， 3*1=6 解得1=14 …lx:y=x+l4, 3 与抛物线y=-x-42+6联立得， 1 4 号+14=}+2x+2 4 领得5 ,x3=4(舍去). w[9) 当点M在QK下方抛物线上时，则∠4=∠3， 设直线KM交QP于点Z, .Zo=ZK, 设z时+2列 -o妒*2-2八--4f+6+2-6 解得z=3 .Z3,3 同理可求lk2:y=3x-6, 与抛物线y=x-4+6联立得、寻x-4+6=3x-6 解得x=-8,x2=4(舍去)， ∴.M(-8,-30, 综上：符合条件的点M的坐标为(-8，-30)或 850 39 14.y=-+4 -或[3g】） 【分析】(1)将A(-4,0小、B(2,0)代入y=ar2-x+c(a≠0)得到关于a、c的二元一次方程 组求解即可解答； (2)利用坐标与图形以及勾股定理可得BC=2√5，易得∠AED=∠0BC,如图：过D作 DF⊥AB于F,则sin∠AED=sin∠OBC= 2V5 5 进而得到DF=25DB,即 5 PD-25DE=PD-DP:再求出直线AC的函数解析武为y=x+4. 5 设点P2,p2-p+4-4<p<0,则D,p+4,Fn,0.Pn=r-2p. FD=p+4,易得PD-DF=p++行：再根据=次函数的性质可确定点p的值，进 而确定点P的坐标；如图：过P作PH∥BC,在PH上截取PP=MN=2V2,此时四边形 PMNP是平行四边形可得PM=PN,则求出PM+PN=PN+PN最小值即可；点P是P向 9 右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即P-山，2)：如图：作点P关于直 线AC的对称点P,连接PN,PP,易得当PN、P共线时，PN+PN有最小值PP, 即PM+PN的最小值为PP；再求出的坐标，最后运用两点间距离公式求出PP的长， 进而求出aPMN的周长的最小值； (3〉先说明将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线y,即 新抛物线/=x-2八+；易得F2-2小、H3,7列：再送明∠=∠4H1.如图：过 作FL上x轴于L,则L2,0,易得am∠1AF名：再分当点G在仙有侧和左侧两种情 况作答即可· 【详解】(1)解：抛物线y=ax2-x+ca≠0与x轴分别交于A-4,0)、B(2,0) [0=16a+4+c q=- 2 解得！ 0=4a-2+c c=4 抛物线的解析式为：y= 22-x+4 《2)解：地物线y=-x+4与)轴交于点C .C0,4,即0C=4, A-4,0、B2,0), .0B=2, BC=V0C2+BC2=25 sin∠0BC=OC=4_2V5 BC25-5 DE∥BC, .∠AED=LOBC, 如图：过D作DF⊥AB于F,则sin LAED=sin∠OBC-25 5 Dr-25.即Dr-25DE. DE 5 5 PD-25 DE=PD-DF. 设直线AC的函数解析式为y=+b, 0=-4k+b 则 k=1 4=b ， 解得： 1b=4 ∴直线AC的函数解析式为y=x+4, 设点PP,p2-p+4-4<p<0.则Dn,p+4.Fn.0, Pm=p2-p+4-(p+4到=-p-2p.D=p+4-0=pt4, pn-25DE=Pm-DF=p-2p-p+到=p+3+号 当刀=3时，PD-25DE最小，比时P-3引 D(-3,1; 5 要求△PMN的周长的最小值，即求PM+PN+MN的最小值，即求出PM+PN的最小值， 如图：过P作PH∥BC,在PH上截取PP=MN=2V2,此时四边形PMNP是平行四边形， H .PM PN, .PM+PN=PN+PN的最小值， A-4,0、C(0,4) .0A=0C=4,即∠0AC=45°， 如图：过P作PG∥x轴，过P作PG‖y轴， PH∥BC, .∠PPG=45°， PG-RG-PR-Sin ZEPG-2x=2. ∴点P是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的， 即-) 如图：作点P关于直线AC的对称点卫，连接PN,PP, .PN=BN. .PN+PN 2 PP 当PN、P共线时，PN+PN有最小值PE,即PM+PN的最小值为PP, 点P与点D关于直线AC对称， ∴.∠PPP,=90°，即∠GPP=90°-∠GPP=45°， ∴.∠DPP,=90°-∠GPP=45°， .DP=DP P引 D(-3,1. DB=PD=;-1= 3 2 3+》即（别r -1-9 PM+PN的最小值为 2 PM+PN+MN的最小值为5V +22=92 aPMN的，周长的最小值为 2 (3)解：A-4,0、C(0,4), .0A=0C=4,即∠0AC=45°， ·将抛物线沿射线AC方向平移3√2个单位得到新抛物线y, .将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线y, 新超物线y=x-那-(x-列+4+3=x-2+ ∴.平移后的对称轴为x=2,即F(2,-2) 点C的对应点为点H, .H3,7), 如图：过H作H11x轴于1，则I(3,0),HI=7, A-4,0 .A1=3-（-4)=7, .A1=H1=7, .∠HAI=∠AHI, .FB=2,AB=2-(-4=6, tan ZI4F- 21 如图：当点G在HI右侧时， ∠CHG=LAHI+LKHG=∠CAF=LHAI+LIAF, .LKHG=∠IAF, tan∠KHG=tan∠IAF=l 设G8g-2+)g>.如图：过G作Gx1m于K则K-g-2+) K=7-g-2+]g-2-分oK=g-3, .an∠KHG=HK3 KG 1 8-3 1 8-22-】3,解得：g=7. .1 2 .G(7,-5) 如图：当点G在HI左侧时，如图：过H作对称轴的垂线HJ交对称轴于J,则J2,7,在 对称轴上取一点，使得LUHJ=∠IAF,连接HU交新抛物线于G, am∠UW=m∠AF=-3W=3-2=1. ∴.tan∠UHJ= 2 设直线HU的函数解析式为y=kx+b, 71=2k+b 1 则 3 解得 3 7=3k+b b=8 1 小直线HU的函数解析武为)y=3x+8, y= 3t+8 5 x=3 联立 =-2+5 解得 或 y=7 (不合题意舍弃)， 67 y= 9 售) 综上.点G的坐标为7-5到或[得智)】 15.(1)1,-1 2,-h≤2+万 (3)抛物线的对称轴上存在T(1,-2),使得TC总是平分∠ATB. 【分析】(1)把一般式化为顶点式即可得出抛物线顶点坐标； (2)求出D,￡点的坐标，得抛物线的顶点坐标在直线y=-1上移动，根据抛物线 y=(x-h)2-1与线段DE有公共点，得到抛物线与直线AB有一个交点开始，将抛物线向右 移动直至抛物线与线段DE只有一个交点为E(2,1)时，均满足题意，求出两个临界值即可得 出结果 (3)先求出C点坐标，联立抛物线与直线AB,根据根与系数的关系可得x4+xg=k+2, xxa=k,过点B作BH⊥CT,过点A作AG⊥CT,设T(1,,根据正切的定义，由 tan∠ATG=tan∠BTH列出比例式，整理后代入可得2+t)k=0,根据等式成立与k无关可 得1=-2 【详解】(1)解：：y=x2-2x=(x-1)2-1; ∴抛物线y=x2-2x的顶点坐标为1，-1 (2)解：当k=1时，则：y=x-1, ∴.令x=0,则y=-1,令x=2,则y=1, .D(0,-1,E2,1, y=(x-h)2-1, 顶点在直线y=-1上移动， y=(x-h)2-1与线段DE有公共点， 联立少=(x--1,整理得：-2h+x+=0. y=x-1 六△=(2h+12-4h2=0,即：h=-1 41 此时抛物线为y=(x+-1,与直线)=-1的交点是，3 44 在线段DE上，满足题意， y=(x-h)2-1 y=x-1 y=-1 将)=(：--1从A=开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E2,1)时。 y=(x-h)2-1与线段DE均有公共点， y=(x-h)2-1 y=x-1 E .当y=(x-h)2-1过点E(2,1时，(2-h2-1=1, 解得：h=2-√2或h=2+√2， “当-A≤2+5时，超物线)=任--1与线段DE有公共点， (3)结论：存在： .y=kx-k, .当y=0时，x=1, .C(1,0). 抛物线的对称轴为直线x=1, ∴点C在抛物线的对称轴上， 设抛物线和直线AB交点A(x4,kA-k),B(xg,kxB-k), 联立抛物线和直线AB解析式得 =-整理得：-k+2+k=0 y=x2-2x' x+Xg=k+2,x=k, 假设存在点T,使得TC总是平分∠ATB,则T一定在AB下方，过点B作BH⊥CT,过点 A作AG⊥CT, TC平分∠ATB, .∠ATG=∠BTH, ∴.tan∠ATG=tan∠BTH, BH AG TH TG 设T(1,),则：BH=1-xB,TH=kcB-k-t, AG=x-1,TG=kx-k-t, 1-X8 x4-1 kg-k-t kx-k-t' 整理得：-2kx4xB+2k(xB+xA)-2k+1(xB+x4)-2t=0, ∴.-2k2+2k(k+2)-2k+1(k+2-2t=0, .2+t)k=0,