二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练-2026年中考数学一轮复习

二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 考点目录 二次函数与相似三角形问题综合 二次函数与角度问题综合 考点一 二次函数与相似三角形问题综合 例1.(2025河南安阳·模拟预测)如图，矩形A'0'C'B是矩形0ABC(边OA在x轴正半轴上，边0C在y轴正半轴 上)绕B点逆时针旋转得到的，O点在x轴的正半轴上，B点的坐标为1,3).0'C'与AB交于D点. B D (I)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O,O两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析 式： (2)求D点的坐标 (3)若将直线y=-3x沿y轴向上平移，分别交x轴于点E,交y轴于点F,交抛物线于点P,则以B、0、F、P为顶 点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由， (4)若将直线y=-3x沿y轴向上平移，分别交x轴于点E,交y轴于点F,已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分 上的一个动点，若以EF为直角边的△QEF与△OEF相似，直接写出点Q的坐标. 【答案】(1)y=x2-2x @) (3)能，P点坐标为1-1或(-1,3 ④点@的坐标足传)器0)〔）国1g9 【分析】(1)连接BO、B0',根据矩形的性质，勾股定理，旋转的性质得到O'(2,0),M(1,-1),运用待定系数法 求解即可； (2)得出BD=O'D,设BD=x,则O'D=x,AD=3-x,由勾股定理即可求解； 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 (3)根据题意运用待定系数法得到直线0'B的解析式为：y=-3x+6,根据平行四边形的判定方法分类讨论：当 FP=BO'时，四边形FPO'B是平行四边形；OP=BO',OP‖BO'时是平行四边形，结合图形分析即可求解； (4)根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当∠FEQ=90°时，若△FEQ∽aFOE;当∠FEQ=90°时，若 △FEQ∽aEOF;当∠EFQ=90°时，若aEFQ∽aEOF;当∠EFQ=90°时，若△EFQ∽aFOE;结合图形分析求解即 可 【详解】(1)解：如图1，连接B0、B0', ○ 图1 ×B(1,3, 0A=1,AB=3, 由勾股定理得：B0=32+12=√0， 由旋转得：B0=B0'=√10， 40'=B0-AB2=i0-32=1, ∴O'2,0),且直线AB是抛物线的对称轴， M(1,-1, 设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-1, 把0'(2,0)代入得：0=a2-1)2-1, 解得，a=1, 这个二次函数的解析式为：y=(x-1)-1=x2-2x; (2)解：如图1，由旋转得：∠AB0=∠B0'C',∠AB0=∠ABO', .∠BO'C=∠ABO', :.BD =0'D 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 设BD=x,则0'D=x,AD=3-x, 在RI AD0'中，由勾股定理得：x2=(3-x)+12, 解得：x= 3 AD=3-x=3- 54 331 (3)解：如图2，设直线O'B的解析式为：y=c+b, B D A GM(P) 图2 2k+b=0 把0'(2,0、B(1,3)代入得： k+b=3, k=-3 解得： b=6 直线0'B的解析式为：y=-3x+6, ~直线EF是y=-3x平移所得， EFI‖OB, 过P作PG⊥y轴于G, .EF BO', ∠FE0=∠B0'0, OE PG, ∠FEO=∠FPG, ∠B0'0=∠FPG, FP BO', 当FP=BO'时，四边形FPO'B是平行四边形， ÷△BAO'≌△FPG(AAS, 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 GP=A0'=1, 当x=1时，y=12-2×1=-1, …P(1,-1; 如图3， B (EF 图3 y=-3x 由题意得： y=x2-2x' x2=-1 解得： x=0 y=0’ (=3, ∴P(-1,3, ∴0P=V32+12=V0, :.0P =BO', OPI‖BO', 四边形BPFO'是平行四边形， 即当直线y=-3x向上平移0个单位时，F、E与O重合，以B、O、F、P为顶点的四边形是平行四边形， 此时P(-1,3), 综上所述，P点坐标为1，-1或(-1,3)； (4)解：分四种情况： ①如图4， 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 O外Ei衣 图4 当∠FEQ=90°时，若△FEQ∽△FOE, 由题意可知： OE 1 0F=3' 、OE=E=1」 OF FE3' 过Q作QH⊥x轴于H, ∠FEQ=90°， ∴.∠FEO+∠QEH=90°， ∠F0E=90°， .∠FE0+∠0FE=90°， ∴∠QEH=∠OFE, △FOE∽△EHQ, OE OF HO EH' OE HO 1 "OFEH3' 设HQ=a,则EH=3a, ∴EQ=V10a, ∴EF=3V10a, 在RtAOEF中，OE2+OF2=EF2, 即02+30E2=310a', ∴0E=3a（负值舍去)， :.0H=0E+EH =6a, ∴Q(6a,a, 把Q6a,a代入到y=x2-2x得：a=36a2-12a, 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 13 解得：4=0（舍），0=36， 1313 ∴.6a=6× 366’ (1313) 0636 ②如图5， ONE 图5 当∠FEQ=90°时，若△FEOAEOF, OE EF 1 OF EO 3' 设0E=a,则OF=3a,EF=√10a, ∴EQ=3V10a, 同理得△EOF∽△QHE, :0H=0E1 EHPF3' :.EH=30H, OH2+EH2=EO2 QH2+30H2=310a, ∴HQ=3a,EH=9a, ∴010a,3a, 把010a,3a代入到y=x2-2x得：3a=100a2-20a, 解得：Q=0(舍)，a,=100 23 .10a= 23 10 3a= 69 100 (2369 …0 (10'1009 ③如图6， 6 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 Hh- OE 图6 当∠EFQ=90°时，若△EFQ∽aEOF, OE EF 1 OF FO3' 过Q作QH⊥y轴于H, 设0E=a,则0F=3a,EF=0a,FQ=310a, 同理得：FH=3a,HQ=9a, s09a,6a, 把29a,6a代入到y=x2-2x得：6a=81a2-18a, 8 解得：a,=0（舍)，a2= 27 273,6a=6x8=16 9a=9x8=8 2791 0g ④如图7， 图7 当∠EFQ=90°时，若△EFQ∽aFOE, OE FO1 OF EF3' 过Q作QH⊥y轴于H, 设FH=a, 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 同理得：HQ=3a,FQ=0a,FE=3V10a,0E=3a,0F=9a, ∴0(3a,10a, 把03a,10a代入到y=x2-2x得：10a=9a2-6a, 16 解得：a,=0(舍)，a2= 9 3a=3×0=3,10a=10×。=/60 99 016160 (3’9 综上所述，点Q的坐标是 )得网g9} 例2.(2025·宁夏银川模拟预测)如图，抛物线y=ax2+2V3x+c与x轴交于原点和点A(4,0)，,抛物线的顶点为点B. (1)求抛物线的解析式及点B的坐标： (②)AOB是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)若动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿折线A0-OB的路径运动.动点N从点B出发，以每秒1 个长度单位的速度，沿线段BA运动，当M、N其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，设它们运动的时间为 t(S),连接MN，MN分割AOB,若分割出的三角形与AOB相似，求t的所有取值. 【答案】①y=-5x+25x,B2,2) 2 (2)AOB是等边三角形，见解析 国的值为等或号 8 【分析】(1)将点(0,0)，(4,0)代入y=ax2+25x+c,即可求解； (2)由两点间距离公式分别求出OA,OB,AB的长即可； 3)分两种情况：当0≤1≤2时，M点在04上，由4N=4M,可得4-1=21，即可求出1=子；当2<≤4西 M点在OB上，由BN=BM,得8-21=1，即可求出1 【详解】(1)解：将点(0,0)，(4,0)代入y=ax2+2V3x+c, 6 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 c=0 16a+8V3+c=0 c=0 as-3, 2 .y= +2Bx 2 y=52+2W3x=y- 2r-22+25, B2,25); (2)解：AOB是等边三角形，理由如下： A(4,0,B2,25), A0=4,B0=4,AB=4, .AB=AO=BO, :△AOB是等边三角形； (3)解：①当0≤1≤2时，点M在OA上运动， AM=21, :MN分割△AOB得到的△AMN与aAOB相似， 又：△AOB是等边三角形， .△AMN也是等边三角形， :AM AN AN AB-BN =4-t, 2t=4-1, 解得1=3' 4 ②当2<t≤4时，点M在0B上运动， .M运动的总路程为2t,其中A0长为4， .0M=21-4, ∴.BM=OB-OM=4-2t-4)=8-2t, :MN分割△AOB得到的aBMN与△AOB相似， 又：△AOB是等边三角形， △BMN也是等边三角形， 0 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 :BM =BN, BN =t, 8-2t=t, 解得1=3 8 综上所述，满足条件的1的值为安， 例3.22s江苏苏州校拟颜测)知图。开口向下的范物线y=是x-mx-2引与x辅正负半轴分别交于A、8点， 与y轴交于C点，且AB=20C; (1)直接写出A点坐标（一，0），并求m的值： (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点E,在y轴负半轴上有一点F,使以点C、点E、点F为顶点的三角形 与△BOC相似，如果存在，求出F点坐标，如果不存在，说明理由； 段BC上有一点P,连结PO、PA,若tan∠AP0)则直接写出点P坐表 【答案】(1)2，-4 a)或a】 481978619 62525'2525 【分析】D令y=-m-2)=0,可解得：■或r=2,所以42,0，Bm0)当x=0时，y=-3,根据 3 4 AB=20C,建立关于m的方程，求解即可： (2)设点E的横坐标为，则，-子+0<-4，分情况述行讨论，根据相似三分形的性质进行列方程求解： 8 3》求出直线8c的解新式为：，3，取点DQ,连淡4D,测m∠400-8，作过点0,4，D 点的圆，圆心为ML2),该圆与线段BC交于点P,点P即为所求，设Px子x+3),利用半径列出方程求解即可。 【详解】1）解：由题意可知，当)=-mx-2=0, 解得x=m或x=2, 10二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 二次函数与相似三角形问题综合、二次函数与角度问题综合专项训练 考点目录 二次函数与相似三角形问题综合 二次函数与角度问题综合 考点一 二次函数与相似三角形问题综合 例1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． (1)如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； (2)求D点的坐标． (3)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． (4)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 例2．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，抛物线与轴交于原点和点，抛物线的顶点为点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)若动点从点出发，以每秒2个长度单位的速度沿折线的路径运动．动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度，沿线段运动，当、其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，设它们运动的时间为，连接，分割，若分割出的三角形与相似，求的所有取值． 例3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，开口向下的抛物线与轴正负半轴分别交于、点，与轴交于点，且； (1)直接写出点坐标（ ，0），并求的值； (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点，在轴负半轴上有一点，使以点、点、点为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在线段上有一点，连结、，若，则直接写出点坐标（ ， ） 变式1．（2025·江苏连云港·模拟预测）在四边形中，，，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，使点在轴上． (1)求过三点的抛物线的函数表达式； (2)求的外接圆的圆心的坐标，并求的半径； (3)过的顶点作一条直线，将分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多可以画___________条； (4)设为射线上任意一点，点为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则说明理由． 变式2．（25-26九年级下·山东枣庄·开学考试）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标． 变式3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 二次函数与角度问题综合 例1．（2026·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为，求出满足条件的P点坐标； (3)在（2）满足的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 例2．（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 例3．（2026·福建泉州·一模）如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 变式1．（2026·天津河西·一模）已知抛物线(，，为常数，)的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），点，与轴交于负半轴的点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时， ①若存在点，满足，求此时的值； ②若有点，满足，求此时的值． 变式2．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 变式3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $